exo sur les Ensembles et relations

[invite5a9a6b90]

bonsoir,
c'est la première fois que je fais des exercices sur les relations d'ordre et d'équivalence, mais le prof corrige les exos comme si tout était logique sans justification.
J'ai vraiment du mal à comprendre ce chapitre en maths c'est pourquoi j'aurais besoin d'aide pour ces deux exos
exo1
énoncé : on considère la relation binaire R={(1;1),(2,3),(3,2)} sur X={1,2,3}. Déterminer si R est réflexive,symétrique, transitive.
D'après la correction du prof R n'est ni réflexive,symétrique, transitive.
J'aurais besoin des justifications

exo 2
Soient A={1,2,3,4} et B={1,3,5}, et soit le sous ensemble de A*B défini par(a,b) appartient à R ssi a<b
1.Ecrire la relation R comme un ensemble de paires ordonnées
2.Représenter R sur un diagramme A*B
3.Déterminer les relations R^-1.R et R.R^-1

pour la 1 et 2 ça va mais à partir de la 3 ça pose problème R^-1.R={(3,3),(3,5),(5,5),(5,3)} je ne vois pas du tout comment il a fait trouver ce résultat et R.R^-1=A² non plus.

Voilà vous devez penser que je suis nul et que je n'ai pas du tout les bases c'est ce que je pense aussi ^^
Je remercie d'avance ce qui pourront m'aider
Bonne soirée
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[gg0]

Bonsoir.

1) réflexive si chacun des nombres 1, 2 et 3 est en relation avec lui-même. or ta relation dit que 1 est en relation avec 1, 2 avec 3 et 3 avec 2. C'est tout ! donc 2 n'est pas en relation avec lui-même.
Par contre elle est symétrique mais pas transitive car 3 est en relation avec 2, 2 avec 3 mais pas 3 avec 3.

Ce n'est qu'une question de codage de la relation, et dans ce codage réflexive veut dire que pour tout élément x, (x,x) est dans la relation, symétrique que chaque fois que (x,y) est dans la relation, alors (y,x) est dans la relation. Pour transitive, c'est plus compliqué.

2) Là je suis aussi nul que toi, car je comprends ce que peut vouloir dire R^-1 (bien que n'ayant jamais appris cela) mais pas ce que signifie R^-1.R. Désolé.

Cordialement.

[invite5a9a6b90]

ok merci pour l'explication de l'exo 1
pour R.R^-1 d'après mon cours :
étant données deux relations R inclus E*F et R' inclus F*G, leur composition est la relation RR' (parfois notée R'¤R) de E vers G définie par RR'={(x,z) appartenant E*G | il existe y appartenant a F tel que (x,y) appartient R et (y,z) appartient à R'
si ça peut t'aider(je n'y comprends pas grand chose)

[PlaneteF]

pour R.R^-1 d'après mon cours :
étant données deux relations R inclus E*F et R' inclus F*G, leur composition est la relation RR' (parfois notée R'¤R) de E vers G définie par RR'={(x,z) appartenant E*G | il existe y appartenant a F tel que (x,y) appartient R et (y,z) appartient à R'
si ça peut t'aider(je n'y comprends pas grand chose)

Bonsoir,

On a : R = {(1;3), (1;5), (2;3), (2;5), (3;5), (4;5)}

Donc : R^-1 = {(3;1), (3;2), (5;1), (5;2), (5;3), (5,4)}


Et donc d'après la définition que tu donnes, on a bien : R^-1R = {(3;3), (3;5), (5;3), (5,5)}

Par exemple (3,5) appartient bien à R^-1R parce que (3;1) appartient à R^-1 et (1;5) appartient à R (l'élément en rouge gras étant le même).

Par contre, par exemple, (3;4) ne peut pas appartenir à R^-1R, parce que les 2 éléments qui pourraient convenir pour R^-1 sont ceux dont le 1^er élément est 3, donc (3;1) et (3;2) ...

... Sauf que pour (3;1) il faudrait alors que (1;4) appartienne à R, ce qui n'est pas le cas, ...
... et pour (3;2) il faudrait que (2;4) appartienne à R, ce qui n'est pas le cas non plus !


Toujours selon le même principe, on a bien :

RR^-1 = {(1;1), (1;2) ; (1;3), (1;4), (2;1), (2;2) ; (2;3), (2;4), (3;1), (3;2) ; (3;3), (3;4), (4;1), (4;2) ; (4;3), (4;4)}

= A²

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite5a9a6b90]

merci PlanetF pour cette explication détaillée, je comprends mieux maintenant d'où sort les résultat