Problème simple -> solution incroyablement complexe

[RemDeba]

Mon prof d'optique avait envoyé une simulation avec un mec qui devait sauvé un gars de la noyade pour comprendre le principe de fermat et j'ai voulu effectuer le calcul moi-même voici un schéma du truc,
Capture d'écran 2023-11-09 211553.jpg
Mais après avoir posé l'équation je n'arrive pas à résoudre l'équation x/15Sqrt[100+x]-(-x)+5/5Sqrt[100+(5-x)^2]=0, je demande à Wolfram Alpha, et là je vois une solution incroyablement complexe :
Capture d'écran 2023-11-09 212003.png
La solution peut elle aussi compliqué pour un problème si simple ? Ou me suis-je juste planté dans le calcul?
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[gg0]

Bonjour.

C'est l'inconvénient du calcul formel. Il calcule, dans un cadre qui n'est pas forcément le tien, des solutions obtenues par une méthode générale. Et ne fait que des simplifications élémentaires ...
Par exemple, il y a des i dans ta solutions, parce que la résolution est faite dans C, l'ensemble des complexes, dans lequel toutes les équations de degré au plus 4 ont des solutions algébriques. Et la formule donnée est ensuite à interpréter. le peux-tu ? Si tu ne peux pas, Wolfram ne te sert à rien !!

Bizarre, ton équation, avec ce 5/5 inutile avant la deuxième racine.

Cordialement.

[pierre_18]

Bonjour.
Si on appelle phi_a et phi_b les angles formés par les segments AB et CB avec la normale à la droite de separation entre les milieux a et b, il faut que sin(phi_a)/sin(phi_b) = v_a = v_b. Où v_a et v_b sont les vitesses dans les milieux a et b. Si c'est l'ordonnée du point B qui est demandée, le calcul doit être un peu hard.
Pierre

[gg0]

Bonjour.

Je viens de regarder la question en détail, je ne sais pas d'où sort l'équation de RemDeba. Pour ma part, je tombe sur l'équation :
(100+y^2)^(1/2)*y/15+(200-20*y+y^2)^(1/2)*(-10+y)/5=0
En LaTeX :

Wolfram donne comme solution approchée 7,8898, et une forme exacte très compliquée, avec des racines cubiques sous des racines carrées, et très mal simplifiée. mais sans aucune trace de complexes (pas de i). J'ai aussi essayé avec mon Maple d'il y a 25 ans, l'expression est différente mais pas plus engageante.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Kondelec]

Je ne vois pas en quoi la solution est complexe : Elle est du niveau collège.
Si la vitesse est 3 fois plus faible dans l'eau alors il suffit de refaire exactement le même schéma, avec 10/3m coté eau et tracer une droite entre le départ et l'arrivée.

[Kondelec]

Avec un schéma : Le problème revient à trouver l'ordonnée à l'origine de la droite passant par AC'

[GBZM]

Bonjour,
La "solution" de Kondelec est fausse, pour deux raisons.
1°) Si on va trois fois moins vite dans l'eau, il faut multiplier par 3 les distances dans l'eau et pas les diviser par 3.
2°) Si on se contente de dilater par 3 dans une direction (perpendiculaire au rivage), ça ne multiplie pas par 3 les distances dans l'eau.

En prenant 5m comme unité de longueur, l'équation à résoudre est l'annulation de la dérivée de , soit . La solution comprise entre 0 et 1 est à peu près, 0,76118, ce qui fait 3,806 m. Il est clair que 7 et quelques m est aberrant puisque c'est plus grand que 5.

[GBZM]

Ma première raison va dans le mauvais sens, mais la deuxième reste : la solution 3,75m de Kondelec est incorrecte.

[gg0]

Heu ... si on va 3 fois moins vite, ça correspond à une distance de sable trois fois plus grande, faite à la même vitesse; donc pas 10/3, mais 30. Je suis très dubitatif, car ça va donner une intersection "en bas" et donc plus long dans l'eau que dans le sable. Et un y=5/4. en fait, ce n'est pas une question de distance, mais de temps. Avec D=Vt, on voit que les temps sont inverses des vitesses.

Et je viens de m'apercevoir que j'ai travaillé avec une largeur de 10 au lieu de 5, donc mes équations du message #4 sont fausses. Je le reprends.

Cordialement.

[edit : croisement avec GBZM]

[gg0]

Message #4 modifié avec 5 :
(100+y^2)^(1/2)*y/15+(125-10*y+y^2)^(1/2)*(-5+y)/5=0
En LaTeX :

Wolfram donne comme solution approchée 3,8059, Maple aussi.


Le 7,8898 était cohérent avec une largeur de 10, mais évidemment pas avec l'énoncé du problème.

Cordialement.

[Kondelec]

Effectivement je viens de vérifier, ma solution ne fonctionne pas (même si le résultat est proche)

Ce problème illustre en fait la loi de Descartes, le sinus de l'angle "d"entrée" est égale à celui de l'angle de sortie*l'inverse du rapport des vitesses

Bonjour,
La "solution" de Kondelec est fausse, pour deux raisons.
1°) Si on va trois fois moins vite dans l'eau, il faut multiplier par 3 les distances dans l'eau et pas les diviser par 3.

non, tu as tout faux...Tu n'a jamais observé quelque chose plongé dans l'eau ?

[Biname]

Salut,
La dérivée de la somme des temps doit être nulle pour trouver le min ou le max, non ?
donc d(t_plage)/dx = -d(t_eau)/dx
détails avec python sympy

 Cliquez pour afficher

Variables:
V_p : vitesse du sauveteur sur la plage
V_e : vitesse du sauveteur dans l'eau

Coordonnées des points:
Position du sauveteur : (0, 0)
Position du noyé : (d, a + b)
Rivage : y = a
Point d'entrée dans l'eau : (x, a)

Temps de traversee sur la plage (t_a): sqrt(a**2 + x**2)/V_p
Temps de traversee dans l'eau (t_b): sqrt(b**2 + (-d + x)**2)/V_e

Derivee de t_a par rapport a x (dt_a/dx): x/(V_p*sqrt(a**2 + x**2))
Derivee de t_b par rapport a x (dt_b/dx): (-d + x)/(V_e*sqrt(b**2 + (-d + x)**2))

Num_dx_p : x
Den_dx_p : V_p*sqrt(a**2 + x**2)
Num_dx_e : -d + x
Den_dx_e : V_e*sqrt(b**2 + (-d + x)**2)

Member Left : V_e*x*sqrt(b**2 + (-d + x)**2)
Member Right : V_p*sqrt(a**2 + x**2)*(d - x)

sq_left : V_e**2*x**2*(b**2 + (-d + x)**2)
sq_right : V_p**2*(a**2 + x**2)*(d - x)**2

equ_1 : V_e**2*x**2*(b**2 + (-d + x)**2) - V_p**2*(a**2 + x**2)*(d - x)**2 = 0

dev_equ_1 : V_e**2*b**2*x**2 + V_e**2*d**2*x**2 - 2*V_e**2*d*x**3 + V_e**2*x**4 - V_p**2*a**2*d**2 + 2*V_p**2*a**2*d*x - V_p**2*a**2*x**2 - V_p**2*d**2*x**2 + 2*V_p**2*d*x**3 - V_p**2*x**4 = 0

Polynome en x ordonne :
-V_p**2*a**2*d**2 + 2*V_p**2*a**2*d*x + x**4*(V_e**2 - V_p**2) + x**3*(-2*V_e**2*d + 2*V_p**2*d) + x**2*(V_e**2*b**2 + V_e**2*d**2 - V_p**2*a**2 - V_p**2*d**2) = 0

Valeurs des paramètres : {a: 10, b: 10, d: 5, V_p: 4.166666666666667, V_e: 0.8333333333333334}

Équation développée avec substitutions : -16.6666666666667*x**4 + 166.666666666667*x**3 - 2083.33333333333*x**2 + 17361.1111111111*x - 43402.7777777778 = 0

Racines réelles du polynôme : [4.22003614873112, 6.03953567350437]

Vérifications des solutions t(x+1) et t(x-1) > t(x)
Pour x = 4.22003614873112 m :
Temps total : 14.6413985184245 s
Temps total pour x+1 : 14.7102149984333 s
Temps total pour x-1 : 14.7099694162491 s

Pourquoi cette deuxième solutions ? t_eau devient négatif car V_eau de signe différent de V_plage ????
Pour x = 6.03953567350437 m :
Temps total : 14.8684143794440 s
Temps total pour x+1 : 15.1820644655430 s
Temps total pour x-1 : 14.6876321706427 s

Biname

Toujours à l'eau le noyé ?

[Kondelec]

Il y a un problème dans ton programme, la solution est celle donnée au message #10, j'ai également vérifié de mon coté.

[Biname]

Il y a un problème dans ton programme, la solution est celle donnée au message #10, j'ai également vérifié de mon coté.

Vérifions : (V en m/s >>> 4.16667 et 0.83333)
msg #10
d1 = sqtr(3.8059² + 10²)= 10.700 m
t1 = 10.700/4.16667 = 2.658 s
d2 = sqrt((5-3.8059)² + 10²) = 10.071 m
t2 = 10.071 / 0.83333 = 12.085 s
t_tot = t1 + t2 = 14.653 s

msg #12
d1 = sqtr(4.2200² + 10²)= 10.854 m
t1 = 10.854/4.16667 = 2.605 s
d2 = sqrt((5-4.2200)² + 10²) = 10.030 m
t2 = 10.030 / 0.83333 = 12.036 s
t_tot = t1 + t2 = 14.641 s

msg #12 arrive 12 ms avant msg #10

Biname

[Biname]

Il y a un problème dans ton programme, la solution est celle donnée au message #10, j'ai également vérifié de mon coté.

Zoom python matplotlib

[Kondelec]

La distance parcourue dans l'eau est (10^2+y²)^0.5
Sur le sable elle est égale à (10^2+(5-y)^2)^0.5
On divise ces distances par leurs vitesses respectives pour avoir la durée (15/3.6 et 5/3.6 pour avoir en m/s).
Il suffit de chercher la durée minimale (comme je suis feignant je l'ai fais au solveur)

[Kondelec]

et avec les calculs (pas eu le temps d'éditer)

[Biname]

La distance parcourue dans l'eau est (10^2+y²)^0.5
Sur le sable elle est égale à (10^2+(5-y)^2)^0.5
On divise ces distances par leurs vitesses respectives pour avoir la durée (15/3.6 et 5/3.6 pour avoir en m/s).
Il suffit de chercher la durée minimale (comme je suis feignant je l'ai fais au solveur)

Mon erreur : je prends 3km/h et non 5 km/h (0.833m/s = 3000/3600)
Correction :

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Équation développée avec substitutions : -15.4320987654321*x**4 + 154.320987654321*x**3 - 1929.01234567901*x**2 + 17361.1111111111*x - 43402.7777777778 = 0

Racines réelles du polynôme : [3.80590928664587, 6.93475380397739]

Pour la deuxième racine en ~x=7 ? La vitesse devient négative ???

[GBZM]

Tout simplement, l'élévation au carré introduit des solutions parasites : n'est pas équivalent à .

[stefjm]

Jolie illustration des principes de Fermat et de moindre action (Maupertuis).

https://fr.wikipedia.org/wiki/Principe_de_Fermat
https://fr.wikipedia.org/wiki/Princi...moindre_action

Pour la valeur négative, ce peut-être lié à l'image virtuelle de l'optique géométrique.
Les principes physiques énergétiques font intervenir des carrés. D'où les théorèmes de moindre action qui font état d'action extrémale (minimum ou maximum).
En général, seule une des solutions est stable, et c'est la solution physique recherchée.