Preuve qu'on peut prendre la partie réelle d'une solution complexe pour avoir la solution physique ?

[invitee60eabae]

Bonjour.

Avant toute chose, je veux être bien clair : je ne suis pas là pour demander à quoi servent les nombres complexes en physique. Je sais que ça sert en particulier pour faciliter considérablement les calculs dans n'importe quel système physique faisant intervenir des oscillations (oscillateur en mécanique, électromagnétisme, électricité, physique des ondes...), je sais que c'est beaucoup plus facile de dériver et combiner des exponentielles complexes que des sinus et cosinus réels, et qu'ensuite une fois qu'on a fait tous les calculs on peut prendre la partie réelle afin d'avoir la solution physique visualisable et mesurable (ou encore multipler la quantité complexe avec son conjugué pour avoir une grandeur physique réelle, comme l'intensité I² = AA* où A est l'amplitude complexe et A* le conjugué dans le cadre de l'optique ondulatoire). Je sais aussi qu'on fait la mécanique quantique avec les nombres complexes. Bref, je connais déjà tout ça.

Ma question est vraiment très précise : pourquoi a-t-on "le droit" de prendre la partie réelle d'une solution complexe afin de retrouver et visualiser la grandeur "physique" ? D'autres personnes que moi ont visiblement posé la même question, mais je suis toujours resté sur ma faim concernant la réponse : j'ai en tête en particulier un topic de huit pages qui n'a finalement absolu pas répondu à la question de base, ce qui est assez frustrant.

En effet, je n'ai jamais été satisfait durant tout mon cursus universitaire à ce sujet : aucun prof ne m'a expliqué pourquoi on a le droit de finalement "remplacer" les solutions réelles par des solutions complexes, puis de travailler avec ces solutions complexes bien plus facilement manipulables (ça ok, c'est effectivement beaucoup plus simple), pour finalement prendre la partie réelle à la fin.

Maintenant, à force de réfléchir, je commence à comprendre, mais il me manque encore des éléments pour comprendre, donc je vais vous exposer mon petit raisonnement, en essayant d'être rigoureux à la fois mathématiquement et physiquement (car, là encore, je trouve que beaucoup de profs que j'ai eus en physique ne se foulaient pas trop pour la rigueur mathématique de leur raisonnement, ça me laissait aussi sur ma faim).

Je vais partir d'une situation hyper classique, à savoir l'équation différentielle typique d'un oscillateur harmonique :

x''(t) + omégazéro²*x = 0

Du point de vue mathématique, selon le corps de nombres qu'on considère, on a :

- deux solutions réelles x1(t) = cos(omégazéro*t) et x2(t) = sin(omégazéro*t). La solution générale est la combinaison linéaire x(t) = A*cos(omégazéro*t) + B*sin(omégazéro*t), où A et B sont deux constantes réelles.

- deux solutions complexes x1(t) = exp(i*omégazéro*t) et x2(t) = exp(-i*omégazéro*t). La solution générale est la combinaison linéaire x(t) = A*exp(i*omégazéro*t) + B*exp(-i*omégazéro*t), où A et B sont deux constantes (qui peuvent être aussi bien réelles que complexes).

Voilà, pour l'instant, je suis resté purement dans le point de vue mathématique. Maintenant, je vais mettre un peu de physique là-dedans. Evidemment, les solutions physiques qu'on va retenir sont les solutions réelles, pas les solutions complexes. Toutefois, manipuler des solutions complexes s'avère beaucoup plus pratique au niveau des calculs, donc il faut maintenant que je montre que j'ai le droit de travailler avec ces solutions complexes car les solutions physiques qui m'intéressent sont finalement "incluses" dans ces solutions mathématiques complexes. En effet, il faut se rappeler qu'un nombre, ce n'est rien moins qu'un nombre complexe dont la partie imaginaire est nulle, donc le corps des réels est finalement inclus dans le cors des complexes.

Il faut donc être conscient que lorsqu'on résout une telle équation différentielle linéaire du second ordre (ici à coefficients constants et sans second membre), n'importe quelle combinaison linéaire des deux solutions x1(t) et x2(t) est aussi solution de l'équations. Ainsi, j'ai choisi arbitrairement des constantes A et B pour avoir la combinaison linéaire x(t) = A*x1(t) + B*x2(t), mais je peux vraiment choisir mes constantes A et B absolument comme je veux, à partir du moment où ça reste des constantes (que je peux donc aussi bien appeler "Alfred" que "trucmuche", on s'en fout).

Dans ce cas, je vais "m'amuser un peu" et choisir une combinaison linéaire de la forme : x(t) = (A/2+B/(2i))*exp(i*omégazéro*t) + (A/2-B/(2i))*exp(-i*omégazéro*t).

Bon, ma combinaison linéaire est un peu tordue à première vue, mais bon : j'ai le droit car les quantités "(A/2+B/(2i))" et "(A/2-B/(2i))" sont des constantes parmi une infinité d'autres (et j'ai choisi d'opter pour des constantes A et B réelles, après tout j'ai le droit aussi).

Evidemment, mon choix de combinaison linéaire n'est pas du tout innocent. En effet, on obtient :

x(t) = (A/2)*(cos(omégazéro*t) + i*sin(omégazéro*t) + cos(omégazéro*t) - i*sin(omégazéro*t)) + (B/(2i)*(cos(omégazéro*t) + i*sin(omégazéro*t) -cos(omégazéro*t) + i*sin(omégazéro*t))
x(t) = A*cos(omégazéro*t) + B*sin(omégazéro*t)

Voilà, je viens de montrer que parmi toutes les combinaisons possibles, il y a également des combinaisons linéaires réelles.

Maintenant, il faut montrer que, plutôt que de faire ça, ça reviendrait finalement à la même chose que de prendre la partie réelle d'une solution complexe. Et... c'est malheureusement là que je suis bloqué. En effet, si je pars de la solution complexe générale et que je prends juste "Re(A*exp(i*omégazéro*t) + B*exp(i*omégazéro*t)", je trouve "A*cos(omégazéro*t) + B*cos(omégazéro*t) = (A+B)*cos(omegazéro*t)" : pas de "sinus"(je n'ai que du cosinus), une seule constante (vu que "A+B", je peux le remplacer par une constante arbitraire). Du coup, je ne comprends pas, il y a un truc qui m'échappe.

Est-ce qu'il y a une faille quelque part dans mon raisonnement, ou quelque chose que j'ai oubliée ?
-----

[invite6dffde4c]

Bonjour.
Toutes les grandeurs physiques sont réelles.
Le passage aux complexes est une astuce qui consiste à ajouter une équation similaire à celle d’origine (avec des constantes et variables réelles), multipliée par ‘j’, et les additionner.
Cela donne une équation similaire d’une variable complexe, dont seule la partie réelle a un sens physique. Le gros avantage est celui de transformer les fonctions trigonométriques en exponentielles. Ce qui simplifie (souvent) la solution des équations.
La partie imaginaire que l’on a ajoutée ne modifie en rien la partie réelle. « Les parties réelles et imaginaires ne se mélangent pas ». Donc, à la fin, c’est la partie réelle de la solution qui donne la solution de la variable réelle.

Dans le cas du formalisme des impédances, on n’a même pas besoin d’extraire la partie réelle de la solution, car tout ce dont on a besoin est de l’amplitude et de la phase qui se déduisent directement de la solution complexe.
Au revoir.

[invite69d38f86]

@LPFR

je suis d'accord toutes les quantités physiques sont réelles . mais l'ajout d'une quantité complexe en parallele n'est
maleureusement pas la seule technique utilisée en physique.
ainsi avec les fentes de Young en MQ seules les probabilités p sont les quantités réelles mesurables
et la ce qu'on invente ce n'est pas jp mais on introduit un truc du genre racine de p mais complexe.
Il existe une école de puristes qui refuse d'utiliser les amplitudes de probabilités. ils ont pour
cela inventé des regles d' "addition" exotiques pour les probabilités qui dépendent des conditions physiques des
expériences.

[stefjm]

Ma question est vraiment très précise : pourquoi a-t-on "le droit" de prendre la partie réelle d'une solution complexe afin de retrouver et visualiser la grandeur "physique" ? D'autres personnes que moi ont visiblement posé la même question, mais je suis toujours resté sur ma faim concernant la réponse : j'ai en tête en particulier un topic de huit pages qui n'a finalement absolu pas répondu à la question de base, ce qui est assez frustrant.

Cela marche bien pour les systèmes linéaires pour lesquels la partie réelle et imaginaire ne se mélangent pas.

Maintenant, il faut montrer que, plutôt que de faire ça, ça reviendrait finalement à la même chose que de prendre la partie réelle d'une solution complexe. Et... c'est malheureusement là que je suis bloqué. En effet, si je pars de la solution complexe générale et que je prends juste "Re(A*exp(i*omégazéro*t) + B*exp(i*omégazéro*t)", je trouve "A*cos(omégazéro*t) + B*cos(omégazéro*t) = (A+B)*cos(omegazéro*t)" : pas de "sinus"(je n'ai que du cosinus), une seule constante (vu que "A+B", je peux le remplacer par une constante arbitraire). Du coup, je ne comprends pas, il y a un truc qui m'échappe.

Est-ce qu'il y a une faille quelque part dans mon raisonnement, ou quelque chose que j'ai oubliée ?

Il me semble que A et B sont des complexes aussi, d'ailleurs vous l'affirmez au dessus, puis vous faites comme s'ils étaient réels...
Si vous êtes parti d'une équation différentielle à coeff réel, cela impose des conditions de conjugaison sur A et B.

[A voir en vidéo sur Futura]

[stefjm]

J'ai retrouvé l'intervention de Mipama, une mathématicienne, sur le sujet qui vous occupe aujourd'hui.
http://forums.futura-sciences.com/ph...ml#post4733549

[invite69d38f86]

Bonjour.
En effet, si je pars de la solution complexe générale et que je prends juste "Re(A*exp(i*omégazéro*t) + B*exp(i*omégazéro*t)", je trouve...chappe.

Est-ce qu'il y a une faille quelque part dans mon raisonnement, ou quelque chose que j'ai oubliée ?

tu es parti d'une solution du type A/2 + Bj etc avec laquelle tu as des sinus
tu prends ici une autre solution A exp + B exp dans la quelle on a que des cosinus pas de surprise ni de contrexemple donc

[Deedee81]

Salut,

@LPFR
je suis d'accord toutes les quantités physiques sont réelles . mais l'ajout d'une quantité complexe en parallele n'est
maleureusement pas la seule technique utilisée en physique.

Pourquoi dis-tu "malheureusement" ?

[invitee60eabae]

Bonjour.
Toutes les grandeurs physiques sont réelles.
Le passage aux complexes est une astuce qui consiste à ajouter une équation similaire à celle d’origine (avec des constantes et variables réelles), multipliée par ‘j’, et les additionner.
Cela donne une équation similaire d’une variable complexe, dont seule la partie réelle a un sens physique. Le gros avantage est celui de transformer les fonctions trigonométriques en exponentielles. Ce qui simplifie (souvent) la solution des équations.
La partie imaginaire que l’on a ajoutée ne modifie en rien la partie réelle. « Les parties réelles et imaginaires ne se mélangent pas ». Donc, à la fin, c’est la partie réelle de la solution qui donne la solution de la variable réelle.

Dans le cas du formalisme des impédances, on n’a même pas besoin d’extraire la partie réelle de la solution, car tout ce dont on a besoin est de l’amplitude et de la phase qui se déduisent directement de la solution complexe.
Au revoir.

Ok, donc je vais reprendre mon équation différentielle de départ et faire ce que tu as dit.

Je reprends mon équation différentielle de départ (je reste vraiment dans le cas des équations différentielles linéaires, comme le disait stefjm) :

équation différentielle 1 : x''(t) + omégazéro²*x(t) = 0
équation différentielle 2 : i*x''(t) + i*omégazéro²*x(t) = 0

Je les additionne, ce qui donne :

x''(t) + omégazéro²*x(t) + i*x''(t) + i*omégazéro²*x(t) = 0

Jusque-là, je suis d'accord.

Maintenant, si je remplace x(t) par x(t) = A*cos(omégazéro*t) + B*sin(omégazéro*t) et x''(t) = -omégazéro²*(A*cos(omégazéro*t) + B*sin(omégazéro*t)), je vais additionner tout ça et voir si ça fait égal à 0 :

-omégazéro²*(A*cos(omégazéro*t) + sin(omégazéro*t)) + omégazéro²*(A*cos(omégazéro*t) + B*sin(omégazéro*t)) + i*(-omégazéro²)*(A*cos(omégazéro*t ) + sin(omégazéro*t)) + i*omégazéro²*(A*cos(omégazéro* t) + sin(omégazéro*t))

Effectivement, toute cette somme est bien égale à zéro.

Malheureusement, je n'arrive pas à regrouper les termes pour faire apparaître les exponentielles complexes. Pour chaque "A*cos(omégazéro*t)", je n'ai pas de "i*A*sin(omégazéro*t)", mais du "i*B*sin(omégazéro*t)" et du "i*A*cos(omégazéro*t)". De même, pour chaque "i*B*sin(omégazéro*t)", je n'ai pas de "B*cos(omégazéro*t)", mais du "B*sin(omégazéro*t)" et du "A*cos(omégazéro*t)"

Bref, je n'arrive pas à faire apparaître des exponentielles complexes du type "A*exp(i*omégazéro*t)" ou "B*exp(i*omégazéro*t)", donc je ne peux pas montrer que le fait de prendre une équation différentielle réelle, de l'ajouter ensuite à une autre équation multipliée par "i", ça revient à prendre la partie réelle d'exponentielles complexes. C'est ça qui me pose un problème conceptuel, je n'arrive pas à voir d'où ça vient.

Il me semble que A et B sont des complexes aussi, d'ailleurs vous l'affirmez au dessus, puis vous faites comme s'ils étaient réels...
Si vous êtes parti d'une équation différentielle à coeff réel, cela impose des conditions de conjugaison sur A et B.

(je réponds aussi en même temps à alovesupreme)

J'ai fait un raisonnement en deux étapes indépendantes, pour voir si, oui ou non, c'est équivalent ou pas :

- la première, c'est de partir d'une solution générale mathématique avec n'importe quelle constante A et B (complexe ou réel), puis j'ai pris le cas particulier de la combinaison linéaire "(A/2+B/(2i))*x(t)", car il s'agit d'une combinaison valable et incluse dans la solution mathématique la plus générale, ce qui m'a permis de montrer que les solutions réelles sont bel et bien "incluses" dans les solutions complexes.

- la deuxième, j'ai essayé de faire comme on fait en physique : on part d'une solution complexe du type "A*exp(i*omégazéro*t) + B*exp(-i*omégazéro*t)" et j'essaie d'en prendre la partie réelle (comme on me l'a appris), mais non, ça ne marche pas. Bon, à vrai dire, les physiciens prennent plutôt une solution complexe de la forme "A*exp(i*(omégazéro*t+phi) " où "phi" est une phase constante. Si je prends la partie réelle de ce truc, ok, je trouve bien "x(t) = A*cos(omégazéro*t) + B*sin(omégazéro*t)" (ce qui est tout à fait équivalent à écrire la solution sous la forme "x(t) = A*cos(omégazéro*t+phi", c'est juste que la constante n'aura pas la même valeur dans les deux cas, mais on s'en moque car ça marche pour n'importe quelle constante arbitraire, ce sont les conditions initiales qui les détermineront selon la forme de la fonction qu'on va choisir).

Mais le truc, c'est que dans ma première étape, je suis parti d'une solution du type "A*exp(i*omégazéro*t) + B*exp(-i*omégazéro*t)", pour montrer qu'il y a une combinaison qui donne des solutions réelles de la forme "x(t) = A*cos(omégazéro*t) + B*sin(omégazéro*t)". Or, si je prends cette même solution générale de départ "A*exp(i*omégazéro*t) + B*exp(-i*omégazéro*t)" et que j'essaie d'en prendre la partie réelle, je n'ai que du "cos", pas de "sin" qui apparaît, et avec une seule constante au final.
Et je n'arrive pas non plus à montrer que la forme "A*exp(i*omégazéro*t) + B*exp(-i*omégazéro*t)" est équivalente à la forme "A*exp(i*omégazéro*t+phi)" (si j'en prends la partie réelle, ok, je trouverais la solution réelle "x(t) = A*cos(omégazéro*t+phi" qui est équivalente à une solution de la forme "A*cos(omégazéro*t) + B*sin(omégazéro*t)". Tout ce que j'ai réussi à montrer dans mon calcul, c'est que les formes complexes "A*exp(i*omégazéro*t) + B*exp(-i*omégazéro*t)" et "A*exp(i*omégazéro*t+phi)" ne sont pas du tout équivalentes (or, c'est justement cette seconde forme complexe que les physiciens utilisent pour simplifier leurs calculs et prendre ensuite la partie réelle afin d'avoir la solution physique).

Bref, je n'arrive pas à voir où ça cloche dans mon raisonnement, ça me rend un peu fou. ^^

Sinon, j'ai lu le message de la mathématicienne Mipama dont vous parliez sur l'autre fil : très intéressant, je suis assez d'accord avec elle, mais le problème, c'est qu'elle ne parle justement pas de la "partie réelle de la solution complexe qui serait la solution physique du problème".

[coussin]

Oula, vous vous prenez la tête pour rien. Cos() est solution. Sin() aussi. Votre équation est linéaire, toute combinaison linéaire de ces deux solutions est solution. En particulier la combinaison linéaire cos()+i*sin(). Comme toute ODE, c'est les conditions aux limites qui déterminent uniquement la solution.

[invitee60eabae]

Oula, vous vous prenez la tête pour rien. Cos() est solution. Sin() aussi. Votre équation est linéaire, toute combinaison linéaire de ces deux solutions est solution. En particulier la combinaison linéaire cos()+i*sin(). Comme toute ODE, c'est les conditions aux limites qui déterminent uniquement la solution.

Donc dans ce cas, une combinaison linéaire du type "cos() + i*sin()", ça n'a rien à voir avec cette histoire de "Prendre une équation réelle et l'ajouter à une autre multipliée par i" comme expliqué par LPFR, non ?

[yvon l]

Je me permets, à titre d’exemple, de montrer la richesse de la représentation complexe pour comprend le fonctionnement des circuits électriques alternatif.
Prenons le cas d’un moteur synchrone dont le rotor (un aimant) est accroché au champ tournant produit par un système de courant triphasé.
En régime établi, la partie exponentielle, solution des équations différentielles disparaît (si le système est stable). Reste des valeurs sinusoïdales pour I et U qui peuvent être représentées par des vecteurs tournants ou des nombres imaginaires.
Ceci devient intéressant lorsqu’on analyse les transferts d’énergies mécanique/électriques dans ce moteur.
La puissance transférée à un instant donné est le résultat de la multiplication de la grandeur intensive u et de la grandeur extensive i (valeur instantanée).
Si ces grandeurs sont représentées par des vecteurs ou par une notation complexe, on voit que seule la partie réelle correspond à un transfert définitif d’énergie sous la forme d’un couple associé à la vitesse du moteur (moteur parfait). La partie imaginaire correspond à un échange d’énergie électrique-mécanique-électrique… entre les bobines du moteur et le réseau électrique. Le bilan énergétique de cette partie est nul et correspond à ce qu’on appelle de l’énergie réactive. Si on regarde du coté mécanique, on voit que la force qui agit sur le rotor du moteur peut se décomposer en une force «*active*» radiale (qui participe au couple) et une force «*réactive*» qui lui est perpendiculaire. Cette dernière tend à faire éclater le rotor. En quelque sorte on peut donner une représentation complexe au couple.

[stefjm]

Bref, je n'arrive pas à voir où ça cloche dans mon raisonnement, ça me rend un peu fou. ^^

Je vais dire autrement ce que j'ai déjà dit : J'ai l'impression que vous noter A et B à la fois les constantes complexes et les constantes réelles, ce qui est une mauvaise idée.
En complexe, A et B sont conjugué pour donner une solution réelle car w0 est réel.

[stefjm]

Je me permets, à titre d’exemple, de montrer la richesse de la représentation complexe pour comprend le fonctionnement des circuits électriques alternatif.
Prenons le cas d’un moteur synchrone dont le rotor (un aimant) est accroché au champ tournant produit par un système de courant triphasé.
En régime établi, la partie exponentielle, solution des équations différentielles disparaît (si le système est stable). Reste des valeurs sinusoïdales pour I et U qui peuvent être représentées par des vecteurs tournants ou des nombres imaginaires.
Ceci devient intéressant lorsqu’on analyse les transferts d’énergies mécanique/électriques dans ce moteur.
La puissance transférée à un instant donné est le résultat de la multiplication de la grandeur intensive u et de la grandeur extensive i (valeur instantanée).
Si ces grandeurs sont représentées par des vecteurs ou par une notation complexe, on voit que seule la partie réelle correspond à un transfert définitif d’énergie sous la forme d’un couple associé à la vitesse du moteur (moteur parfait). La partie imaginaire correspond à un échange d’énergie électrique-mécanique-électrique… entre les bobines du moteur et le réseau électrique. Le bilan énergétique de cette partie est nul et correspond à ce qu’on appelle de l’énergie réactive. Si on regarde du coté mécanique, on voit que la force qui agit sur le rotor du moteur peut se décomposer en une force «*active*» radiale (qui participe au couple) et une force «*réactive*» qui lui est perpendiculaire. Cette dernière tend à faire éclater le rotor. En quelque sorte on peut donner une représentation complexe au couple.

Exemple intéressant.

[yvon l]

Petite précision. Le couple "actif" est proportionnel au courant actif et la force "réactive" est proportionnelle au courant réactif (les 2 forces, comme la représentation des 2 courants sont perpendiculaires).

[invitee60eabae]

Bon, ça y est, je pense que je suis en train de voir le bout du tunnel et que je commence vraiment à comprendre ce qui clochait dans mes raisonnements. ^^

Je reprends. L'équation différentielle de départ est donc : x''(t) + omégazéro²*x(t) = 0"

C'est une équation différentielle qui fait intervenir des réels, vu qu'on se place dans l'espace de phase des réels dans lequel sont définis nos grandeurs physiques. Les solutions physiques sont x1(t) = cos(omégazéro*t) et x2(t) = sin(omégazéro*t), qu'on peut combiner linéairement pour engendrer (alors, je ne suis pas encore sûr du vocabulaire à adopter, corrigez-moi le cas échant) un espace vectoriel ou sous-espace vectoriel engendré par les vecteurs de la base x1(t) et x2(t).

Mais si on veut résoudre cette équation, on peut également choisir de résoudre l'équation analogue complexe, vu que les réels sont inclus dans les complexes (cette fois, A et B sont des constantes a priori complexes). Vu que x1(t) et x2(t) sont solutions, je peux choisir une combinaison linéaire du type "A*cos(omégazéro*t) + i*A*sin(omégazéro*t). Après tout, n'importe quelle combinaison faisant intervenir x1(t) et x2(t) font partie de "l'espace des solutions mathématiques" (je sens que les mathématiciens vont hurler ^^), donc je peux aussi bien choisir "A*x1(t) + B*x2(t)" que "A*x1(t) + B*x1(t) + C*x2(t) + D*x2(t)" vu que je peux factoriser par x1(t) et x2(t), donc définir de nouvelles constantes du style "A' = A+B" et "B' = C+D" : ça revient exactement au même, donc autant prendre simplement "A*x1(t) + B*x2(t)", sachant que je peux remplacer B par "i*A" car ce ne sera qu'une combinaison parmi tant d'autres qui est solution de l'équation différentielle (d'un point de vue mathématique, je ne mets pas encore de physique là-dedans).

Je peux aussi choisir comme combinaison "x(t) = A*cos(omégazéro*t+phi) + B*cos(omégazéro*t+phi)" car ça donne :

x(t) = A*[cos(omégazéro*t)*cos(phi) - sin(omégazéro*t)*sin(phi)] + B*cos(omégazéro*t)*cos(phi) - sin(omégazéro*t)*sin(phi)]
x(t) = cos(phi)*(A+B)*cos(omégazéro*t ) + sin(omégazéro*t)*(-A-B)

Je peux renommer "cos(phi)*(A+B)" comme une autre constante "A'" et "cos(phi)*(A-B)" comme une autre constante B', pour avoir un truc de la forme "x(t) = A'*cos(omégazéro*t) + B'*sin(omégazéro*t)", donc on retrouve bien les vecteurs cos(omégazéro*t) et sin(omégazéro*t) de la base lorsque j'ai écrit la solution sous la forme "x(t) = A*cos(omégazéro*t+phi) + B*cos(omégazéro*t+phi)" qui est donc bien solution de l'équation différentielle.

Maintenant, je peux prendre une nouvelle combinaison linéaire qui sera elle aussi solution d'une équation différentielle analogue qui sera cette fois dans l'espace C, à savoir la combinaison :

x(t) = A*cos(omégazéro*t+phi) + i*A*sin(omégazéro*t+phi) (c'est une solution de l'équation différentielle complexe, et je précise que A est un réel)

ce qui donne, avec la notation exponentielle :

x(t) = A*exp(i*omégazéro*t+phi qui est solution de l'équation différentielle complexe.

Or, vu que les réels sont inclus dans les complexes, et que les nombres complexes ont une propriété fabuleuse grâce à laquelle les parties "réelle" et "imaginaire" ne se mélangent jamais, alors c'est gagné : on résout d'abord l'équation différentielle complexe, puis on "cherche les bébés réels" qui n'ont pas été altérés par les parties "imaginaires" qui ne communiquent pas avec les parties réelles. Voilà pourquoi les physiciens travaillent avec des fonctions de la forme "x(t)=A*exp(i*omégazéro*t+phi)" (on a bien deux constantes A et phi vu qu'on a affaire à des dérivées secondes, donc avec deux constantes déterminées plus tard par les conditions initiales) et voilà pourquoi on a le droit de prendre la partie réelle qui donne donc :

x(t) = Re(x(t)) = A*cos(omégazéro*t+phi), sachant que cette forme peut se réécrire sous la forme "A*cos(omégazéro*t) + B*sin(omégazéro*t)" faisant bien apparaître les deux vecteurs "cos(omégazéro*t)" et "sin(omégazéro*t)" de la base réelle des solutions.

Bon par contre, dans l'autre topic, je n'ai pas compris cette histoire de "conj-1", je cite la phrase en question :

"Pour V=R et V'=C, on (ou meme R^n et C^n) cette procédure est facile car alors l'espace des solutions à valeur dans V est simplement le noyau de conj-1, où conj est l'operateur de conjugaison complexe. C'est pour cela que ca arrive souvent meme si on cherche des solutions à valeurs dans R, de d'abord résoudre dans C, puis de prendre les invariants sous la conjugaison. Mais la résolution consiste bien en ces deux etapes. Et oublier la seconde, c'est ne pas résoudre le probleme."

Bref, je crois que j'ai à peu près compris maintenant, mais je voulais savoir ce que vous en pensez quand même (il y a sûrement du vocabulaire mathématique à corriger dans mon raisonnement).

[albanxiii]

Bonjour,

Donc dans ce cas, une combinaison linéaire du type "cos() + i*sin()", ça n'a rien à voir avec cette histoire de "Prendre une équation réelle et l'ajouter à une autre multipliée par i" comme expliqué par LPFR, non ?

Je pense que LPFR, que je salue, voulait écrire "solution", et pas équation.

La méthode du passage aux complexe fonctionne quand les équations en jeu sont linéaires, comme l'a dit stefjm. Dans les autres cas, cela ne fonctionne pas en général.
En électromagnétisme par exemple, on peut résoudre les équations de Maxwell en complexes. Mais il faut faire attention quand on calcule la puissance rayonnée par une onde, par exemple, puisque cela est une forme quadratique (et non linéaire) en champ.

Dans le cas des équations différentielle, l'exponentielle complexe est vecteur propre de l'opérateur de dérivation, ce qui permet de simplifier les calculs.

[invitee60eabae]

S'il voulait dire "solution", dans ce cas ça fait sens, je comprends mieux. ^^

Sinon, effectivement, il faut que les équations différentielles soient linéaires, je ne l'avais pas assez précisé, mais oui, tu as bien raison de le rappeler car autrement ce n'est pas aussi simple que ça.

Cela dit, je sais aussi que prendre la partie réelle d'une fonction complexe pour retrouver la grandeur physique après avoir mené des calculs plus simples qu'en manipulant de purs réels, ce n'est pas le seul intérêt de la notation complexe : dans certaines situations, la partie imaginaire peut aussi nous donner des informations importantes sur les liens entre plusieurs grandeurs physiques (je crois que c'est le cas de l'exemple des vecteurs de Fresnel cité par Yvon à la page précédente - si c'est bien de ça dont il parlait vu qu'il n'a pas prononcé le nom exact, mais ça me dit quelque chose, cette histoire de "puissance réactive").

En tout cas, merci pour les réponses, ça m'ôte d'un poids qui me pèse depuis des années sur des choses qui me chiffonnaient dans la manière de passer d'une grandeur complexe à une grandeur réelle physique. Là maintenant, ça va beaucoup mieux, je commence vraiment à comprendre.

[stefjm]

Une remarque déjà faite dans d'autres fils : On peut aussi prendre la partie imaginaire qui est solution également.

Un peu de modélisation physique.
Un signal physique existe en tant que tel.
On peut au choix lui associer
- une fonction réelle de la variable réelle, ex cos(t)
- une fonction réelle de la variable complexe, ex exp(i.t)
- une fonction, voir distribution, complexe de la variable complexe, ex
- transformée de Fourier, Laplace, Melin
etc...

Pour la discussion mathématique, il faudrait demander le déplacement du fil en maths du supérieur.

[stefjm]

Dans le cas des équations différentielle, l'exponentielle complexe est vecteur propre de l'opérateur de dérivation, ce qui permet de simplifier les calculs.

en complément
Dans les cas linéaire, les pôles réels donnent des réponses en exp réelle (constante de temps) et les pôles imaginaires purs en exp imaginaire pure ou sin+cos (pulsation naturelle).
Un pôle complexe donne le produit des deux réponses.

Ps : pôles : solutions de l'équation caractéristique de l"EDO.

[stefjm]

En tout cas, merci pour les réponses, ça m'ôte d'un poids qui me pèse depuis des années sur des choses qui me chiffonnaient dans la manière de passer d'une grandeur complexe à une grandeur réelle physique.

Un oscilloscope peut aussi bien visualiser un cos (sinusoïde) qu'une exp d'argument imaginaire pure (cercle).
L'un n'est pas plus ou moins physique que l'autre.

[invitee60eabae]

Oui, ce n'est pas faux effectivement.

Pas simple, quand même, ces histoires de liens entre "grandeur mathématique" et "grandeur physique", selon le point de vue qu'on adopte et selon le mode graphique qu'on choisit.

Disons qu'il y a des situations où la représentation sinusoïdale est plus intuitive (c'est ce qu'on voit si on "photographie" une corde en train de vibrer, ou tout simplement la houle de l'océan), et d'autres où c'est plutôt la représentation circulaire (voire elliptique) qui est plus intuitive (c'est ce qu'on voit quand on observe le mouvement d'un rotor par exemple). Donc selon les cas, certaines représentation "réelles" ou "complexes" semblent plus "physiques" que d'autres, mais il est clair que si on reste dans le cas d'un courant alternatif, dans la vraie vie on ne "voit" ni une sinusoïde, ni un cercle : c'est juste une représentation mathématique de la chose, pour pouvoir ensuite en mesurer des grandeurs physiques qui nous intéressent.

[invite6dffde4c]

...
Je pense que LPFR, que je salue, voulait écrire "solution", et pas équation.
...

Bonjour.
Non. J’ai bien dit que je pars des équations de départ et que j’ajoute une équation similaire multipliée par ‘j’.
Vous avez un exemple (pour les impédances) ici :
https://fr.wikipedia.org/w/index.php...mp.C3.A9dances
Et un autre (pour les oscillations forcées en mécanique) ici (page 1-7) :
http://forums.futura-sciences.com/at...n-ondes1-a.pdf
Au revoir.

[stefjm]

La page archivée wiki mériterait un toilettage pour garder ce qui est très bien et virer ce qui l'est beaucoup moins, ie le mélange de vocabulaire math phys, très confusant.

[stefjm]

Pas simple, quand même, ces histoires de liens entre "grandeur mathématique" et "grandeur physique", selon le point de vue qu'on adopte et selon le mode graphique qu'on choisit.

Si le theme vous intéresse, vous êtes le bienvenu.

http://forums.futura-sciences.com/ph...-physique.html

http://forums.futura-sciences.com/ph...-physique.html

http://forums.futura-sciences.com/ph...-grandeur.html

http://forums.futura-sciences.com/physique/626952-grandeur-dimensionnee-absolue-adimensionnee-relative.html

Disons qu'il y a des situations où la représentation sinusoïdale est plus intuitive (c'est ce qu'on voit si on "photographie" une corde en train de vibrer, ou tout simplement la houle de l'océan), et d'autres où c'est plutôt la représentation circulaire (voire elliptique) qui est plus intuitive (c'est ce qu'on voit quand on observe le mouvement d'un rotor par exemple). Donc selon les cas, certaines représentation "réelles" ou "complexes" semblent plus "physiques" que d'autres, mais il est clair que si on reste dans le cas d'un courant alternatif, dans la vraie vie on ne "voit" ni une sinusoïde, ni un cercle : c'est juste une représentation mathématique de la chose, pour pouvoir ensuite en mesurer des grandeurs physiques qui nous intéressent.

Eh oui. Vous avez bien compris.

[b@z66]

Je ne vois pas trop où est ton problème avec la notation complexe. On part d'un problème avec des données réelles basées si la trigonométrie(cos, sin & Co), on prend un raccourci par les complexes en identifiants les parties réelles de départ aux nouvelles données complexes, on fait les calculs sous cette forme qui peuvent paraître plus simple, et on récupère à la fin le résultat final réel en l'extrayant du résultat final complexe. Cela est rendu possible pour les problèmes linéaires puisque dans ces cas là, les parties réelles se combinent toujours entre elles indépendamment des parties imaginaires. Cela s'applique par exemple en électronique en se basant sur les lois de Kirchoff et les caractéristiques linéaires des composants.
Du point de vue précédent, on justifie donc la valeur réelle dans la valeur complexe mais pas encore la valeur imaginaire. L'intérêt complet de la notation complexe réside dans le fait que dans le cas de fonction de transfert(par Fourier ou Laplace), le rapport entre deux grandeurs complexes(correspondant à deux fonctions trigonométriques réelles) permet d'identifier l'argument de ce résultat au déphasage entre les deux fonctions réelles de départ et le module de ce résultat au rapport d'amplitude entre ces deux fonctions.
De plus, l'outil de la transformée de Fourier rappelle bien que pour caractériser une fonction sous forme harmonique, il est bien nécessaire de toujours avoir ces eux infos: amplitude et déphasage.

[stefjm]

On peux faire des rapports en complexe car l'exponentielle complexe ne s"annule jamais, ce qui est un plus par rapport aux fonctions sin et cos qui s'annulent périodiquement.
Un autre aspect est que les système linéaires sont caractérisés par leurs pôles complexes.

[yvon l]

Cela dit, je sais aussi que prendre la partie réelle d'une fonction complexe pour retrouver la grandeur physique après avoir mené des calculs plus simples qu'en manipulant de purs réels, ce n'est pas le seul intérêt de la notation complexe : dans certaines situations, la partie imaginaire peut aussi nous donner des informations importantes sur les liens entre plusieurs grandeurs physiques (je crois que c'est le cas de l'exemple des vecteurs de Fresnel cité par Yvon à la page précédente - si c'est bien de ça dont il parlait vu qu'il n'a pas prononcé le nom exact, mais ça me dit quelque chose, cette histoire de "puissance réactive").

Oui pour les vecteurs de Frenel
Considérons un vecteur unitaire attaché au point (0,0) d’un système de coordonnées orthogonale (y,x). Si je fais tourner le vecteur à une vitesse de w rd/s, la projection de son extrémité sur l’axe y va décrire des sinusoïdes au cours du temps.
A un instant donné l’amplitude (la projection) vaut A(t)=sin(w.t+phi)
La notation complexe du vecteur s’écrit Ac(t) = cos(wt+phi)+ i sin(wt+phi)

Bon, je reviens avec un l’exemple mécanique traditionnel d’un système ressort+masse+frottement (amortisseur) placé horizontalement.
L’étude, vue par un physicien consiste par exemple à déterminer la position de la masse au cours du temps en partant de conditions initiales.
Une autre façon de décrire le système est de partir des énergies mises en jeu.
Ceci permet une description plus fine du comportement.
Sollicitons le système en déplaçant la masse de sa position d’équilibre de façon à décrire un mouvement sinusoïdal autour de ce point. Pour cela une force doit être associée au mouvement. Cette force est également de forme sinusoïdale. Cette sollicitation est en fait un flux énergétique apporté de l’extérieur au système (sous forme d’un travail mécanique). En effet un mouvement associé à la force constitue un transfert d’énergie.
Lorsque le système est en équilibre dynamique, l’énergie dans le système proprement dit est constante. Dans ce cas un flux sortant doit égaler le flux entrant. Dans ce mécanisme ci-dessus le flux sortant n’est autre que l’énergie thermique engendrée par les frottements (flux dissipatif).

Revenons à la sollicitation du système par un mouvement sinusoïdal. Celle-ci peut être représentée par 2 vecteurs (de Frenel ), l’un pour le déplacement, l’autre pour la force . Mieux encore, comme on va s’intéresser à la puissance du flux. On prendra comme vecteurs la vitesse de déplacement V et la force associée Fr
Pour un système donné à une fréquence donnée, V =f(Fr)
D’autre part le produit V.Fr à la dimension d’une puissance de flux énergétique
Qu’en est-il de cette puissance
Si par exemple le système se réduit à la partie frottement (pas de masse). Le flux est purement dissipatif. La vitesse de déplacement et la force associée sont proportionnelles (coefficient de friction).
Ceci revient à dire que les 2 vecteurs tournent en confondant leur direction (en phase)
L’énergie associée pendant 1 alternance est toujours dans le même sens et correspond à la moyenne sur l’alternance du carré du sinus. Ceci donne un flux d’énergie par alternance de (V.Fr)/2 qui traverse le système et se dissipe en chaleur.
2)Si maintenant le système se réduit à une masse+ ressort (plus d’énergie dissipée en chaleur). En régime établi, le flux qui traverse le système est nul. L’énergie reste cantonnée dans le système sous forme de transfert cinétique-potentiel.(plus d’échange avec l’extérieur). A ce transfert interne correspond toujours une force associée à une vitesse de déplacement. Mais dans ce cas la force est maximum quand la vitesse est nulle (extremum des déplacements).Ceci correspond à placer les 2 vecteurs perpendiculairement l’un à l’autre. C‘est ce transfert interne qu’on appelle puissance réactive.
Les vecteurs V et Fr permettent de représenter le comportement du système à une fréquence donnée.
La puissance dissipative ou active du système est Pa= V.Fr.cos(phy)/2
la puissance interne ou réactive vaut Pr= V.Fr.sin(phi)/2.
Pour la description dans le plan complexe, il suffit de dire que le complexe est obtenu en décomposant le vecteur F en une composante parallèle au vecteur V et une composante perpendiculaire à ce même vecteur V. La composante parallèle constitue la partie réelle et la composante perpendiculaire constitue la partie imaginaire. La composante réelle donne la puissance active et la composante imaginaire la puissance réactive.
Ceci revient aussi à écrire une puissance complexe Pc= V.Fr.(cos(phy)+i.sin(phy)) /2

-En résumé, pour faire simple, la puissance active correspond à la puissance du flux qui transite par le système et la partie réactive à l’énergie piégée dans le système.

-En électricité par exemple les gens qui pilote le réseau EDF sont amenés à débusquer les énergies réactives qui se balade dans le système qu’est le réseau.

Si on étudie le système à toutes les fréquences on retrouve ces notions qui font penser à la transformée de Fourier.
Bonne lecture

[invitee60eabae]

Bonjour.
Non. J’ai bien dit que je pars des équations de départ et que j’ajoute une équation similaire multipliée par ‘j’.
Vous avez un exemple (pour les impédances) ici :
https://fr.wikipedia.org/w/index.php...mp.C3.A9dances
Et un autre (pour les oscillations forcées en mécanique) ici (page 1-7) :
http://forums.futura-sciences.com/at...n-ondes1-a.pdf
Au revoir.

D'aaaaccord ! Du coup, je comprends ce qui clochait dans mon raisonnement suite à ta réponse : moi je prenais tout le temps la même notation x et je les remplaçais bêtement par les solutions "cos(omégazéro*t" et "sin(omégazéro*t)", mais en fait non, il fallait travailler avec une autre grandeur (qui a juste une signification mathématique) qui sera une grandeur complexe résultant de la combinaison linéaire entre une solution réelle et une autre solution réelle multipliée par "i", et de là on déduit les solutions sous forme d'exponentielles complexes, dont on pourra tirer les solutions réelles trigonométriques.

Je ne vois pas trop où est ton problème avec la notation complexe. On part d'un problème avec des données réelles basées si la trigonométrie(cos, sin & Co), on prend un raccourci par les complexes en identifiants les parties réelles de départ aux nouvelles données complexes, on fait les calculs sous cette forme qui peuvent paraître plus simple, et on récupère à la fin le résultat final réel en l'extrayant du résultat final complexe. Cela est rendu possible pour les problèmes linéaires puisque dans ces cas là, les parties réelles se combinent toujours entre elles indépendamment des parties imaginaires. Cela s'applique par exemple en électronique en se basant sur les lois de Kirchoff et les caractéristiques linéaires des composants.
Du point de vue précédent, on justifie donc la valeur réelle dans la valeur complexe mais pas encore la valeur imaginaire. L'intérêt complet de la notation complexe réside dans le fait que dans le cas de fonction de transfert(par Fourier ou Laplace), le rapport entre deux grandeurs complexes(correspondant à deux fonctions trigonométriques réelles) permet d'identifier l'argument de ce résultat au déphasage entre les deux fonctions réelles de départ et le module de ce résultat au rapport d'amplitude entre ces deux fonctions.
De plus, l'outil de la transformée de Fourier rappelle bien que pour caractériser une fonction sous forme harmonique, il est bien nécessaire de toujours avoir ces eux infos: amplitude et déphasage.

Ce sont justement les parties de ton raisonnement (que j'ai mis en caractères gras) qui me posaient problème, car je ne comprenais pas pourquoi on avait le droit de le faire. En effet, dans mes cours, je trouvais que mes profs prenaient justement un "raccourci" dont le chemin m'échappait, que ça ressemblait à une sorte de tour de passe-passe "Je remplace les grandeurs réelles par des grandeurs complexes", mais je n'avais bien compris le lien entre le fait que ce sont des équations différentielles linéaires, qui de par leur nature permettent justement de combiner linéairement des fonctions (aussi bien réelles que complexes) qui seront aussi solutions de l'équation différentielle.

Sinon, je n'avais pas de problème sur la mise en application des calculs avec les grandeurs complexes pour soit simplifier des calculs, soit trouver des expressions de certaines grandeurs physiques qui nous intéressent (comme le déphasage), mais c'était la raison d'être de ce passage des réels aux complexes qui me posait un problème conceptuel.

@stefjm et yvon l : Je vous réponds plus tard, ça me fait beaucoup de choses à lire. ^^

[invite69d38f86]

Tondu je pense que tu n'as pas lu ma réponse numero 6
pose a = b = omega = 1 et regarde la valeur pour t = pi/2
meme sans s'occuper de parties réelles tu verras que tu as des valeurs differentes
normal les solutions sont differentes.
si tu pars deux fois de la meme solution tu as deux fois la meme reponse pas si l'on part de deux trucs differents

[invite814a7e57]

A ne pas oublier que parfois la partie imaginaire est tout simplement nécessaire pour contenir toute la physique de certaines quantités.

Par exemple, pour la susceptibilité électrique sa partie réelle contient les informations liées aux phénomènes de dispersion et la partie imaginaire correspond au phénomène d'absorption. Donc il ne faut pas oublier qu'on ne mesure que des quantités réelles mais qui peuvent être
modifiées par la partie imaginaire de quantités qui la définies (notamment si deux parties imaginaires se multiplient alors sa devient des nombres réels).