Polynome de degré 2 "irréductible"

[Liet Kynes]

Bonjour est-ce que l'on peut trouver le polynome de degré 2 avec une suite finie de termes ?

J'ai des suites qui sont construites avec des termes calculés par la formule
par exemple avec les fractions suivantes :
87381/1
145635/5
184471/19
35599/11
460639/427
219711/611
233855/1951
418047/10463
366079/27487
156671/35291
366591/247729
331775/ 672605
483327/2939533
409599/7473389
360447/19729747
327679/53808401
131071/64570081

J'obtiens la parabole suivante qui ne passe pas sous l'axe des abscisses et je cherche comment calculer l'équation polynomiale de la courbe de tendance donnée par le tableur pour chercher ensuite les solutions (de ce que j'ai pu lire il faut passer par le plan complexe pour ces polynomes) :
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[Paraboloide_Hyperbolique]

Bonjour,

Bonjour est-ce que l'on peut trouver le polynome de degré 2 avec une suite finie de termes ?

S'il n'y a que 3 points, il est toujours possible de trouver un polynôme de de degré 2 qui passe par ces points. S'il y en a plus, un tel polynôme n'existe pas en général. Il faut alors passer par une approximation (ce que fait excel j'imagine).

[jiherve]

bonjour
ptet bien qu'avec un coup de moindre carré , Cholesky et consorts?
si ma mémoire est bonne un polynôme de degré 2 avec une variable ne possède t il pas au plus 3 termes ?
JR

[Paraboloide_Hyperbolique]

ptet bien qu'avec un coup de moindre carré , Cholesky et consorts?

Oui, les moindres carrés c'est la méthode classique que l'on emploie en général en premier quand on doit ajuster un polynôme à plusieurs points.

J'obtiens la parabole suivante qui ne passe pas sous l'axe des abscisses et je cherche comment calculer l'équation polynomiale de la courbe de tendance donnée par le tableur pour chercher ensuite les solutions (de ce que j'ai pu lire il faut passer par le plan complexe pour ces polynomes) :

En calculant le discriminant à partir des coefficients fournis par excell, j'ai quelque chose comme -0,0003... Donc, à strictement parler, ce polynôme n'admet pas de racines réelles.

Cependant, vue la valeur du discriminant proche de zéro, il faudrait voir si il n'y a pas quelques soucis d'arrondis numériques*, soit dans les points donnés, soit dans la manière dont est imméthode d'approximation (ou les deux). Il se pourrait alors que le discriminant soit strictement nul et que donc le polynôme admette une racine réelle. Idéalement, il faudrait effectuer le calcul formellement (soit à la main, soit avec un logiciel de calcul formel comme XMaxima ou Mathematica).

*excell est notoirement connu pour avoir de gros soucis de ce côté-là. Effectuer des calculs numériques précis avec ce bestiau c'est presque l'assurance de se planter.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Liet Kynes]

Oui, les moindres carrés c'est la méthode classique que l'on emploie en général en premier quand on doit ajuster un polynôme à plusieurs points.



En calculant le discriminant à partir des coefficients fournis par excell, j'ai quelque chose comme -0,0003... Donc, à strictement parler, ce polynôme n'admet pas de racines réelles.

Cependant, vue la valeur du discriminant proche de zéro, il faudrait voir si il n'y a pas quelques soucis d'arrondis numériques*, soit dans les points donnés, soit dans la manière dont est imméthode d'approximation (ou les deux). Il se pourrait alors que le discriminant soit strictement nul et que donc le polynôme admette une racine réelle. Idéalement, il faudrait effectuer le calcul formellement (soit à la main, soit avec un logiciel de calcul formel comme XMaxima ou Mathematica).

*excell est notoirement connu pour avoir de gros soucis de ce côté-là. Effectuer des calculs numériques précis avec ce bestiau c'est presque l'assurance de se planter.

La parabole n'a pas de valeur qui passe sous l'axe des abscisses mais c'est vrai que l'on est proche de 0 pour le discriminant, je met les données en PJ.

Je soumettrai bien le truc à wolfram mais je ne sais vraiment pas comment le tableur fait pour obtenir un polynome.

[Paraboloide_Hyperbolique]

Juste une question: d'où viennent les abscisses ? Sans elles, pas de points et donc l'approximation polynomiale obtenue n'a guère de signification. (On pourrait créer à peu près n'importe quelle courbe et l'approximer par à-peu-près n'importe quel polynôme).

[Biname]

Salut,
Avec python numpy on obtient ceci (on suppose LOG = ln):

 Cliquez pour afficher

y_eq_a_sur_b_regr_poly_degre_02.png

y_eq_LOG(a_sur_b)_regr_poly_degre_02.png

y_eq_LOG((a_sur_b)exp2)_regr_poly_degre_02.png

y_eq_(LOG(a_sur_b)exp2)_regr_poly_degre_02.png

On voit que

est "quasi" linéaire, sauf deux valeurs "étranges", son carré est un polynôme du second degré qui donne évidemment une régression polynomiale du second degré quasi parfaite.

[Liet Kynes]

C'est pas simple..

En abscisse il s'agit des valuations 2-adiques des nombres de la première colonne . Dans le problème 3x+1

On passe d'un nombre impair à un nombre pair puis un impair.. en utilisant ce paramètre :
x Impair vers y pair: (3^ax+(3^a-2^a))/2^a puis y/2^b avec b la valuation 2 adique du nombre pair obtenu.

Les fractions correspondent des k plus petits couples d'entiers tel que a+b=k La série que j'ai donné correspond à k=18

Je mets en PJ la série k= 18 avec les formules pour plus de clarté et l'ensemble des séries de k=1 à k=18

Dans l'exemple de départ j'ai nommé les x et y en tant que a et b, pour éviter les confusions il vaut mieux rester sur a et b pour les valuations 2-adiques.

[Liet Kynes]

J'ai oublié de définir a dans mon message: a est la valuation 2-adique de x+1
En abscisse il s'agit des valuations 2-adiques des nombres +1 de la première colonne

[Liet Kynes]

Salut,
Avec python numpy on obtient ceci (on suppose LOG = ln):

 Cliquez pour afficher

On voit que

est "quasi" linéaire, sauf deux valeurs "étranges", son carré est un polynôme du second degré qui donne évidemment une régression polynomiale du second degré quasi parfaite.

C'est un peu ce que je cherchai à trouver, le fait que certaines valeurs ne sont pas dans la courbe , sur cette image le point de donné 9 n'est pas présent ?
https://forums.futura-sciences.com/a...y_degre_02.png

[Biname]

Salut,
pour les points 9 et 11, c'est moi : x_data ... 7, 8, 8, 10, 10, 12, ...
# Données
x_data = np.array([1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 8, 10, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 17])
a_data = np.array([87381, 145635, 184471, 35599, 460639, 219711, 233855, 418047, 366079, 156671, 366591, 331775, 483327, 409599, 360447, 327679, 131071])
b_data = np.array([1, 5, 19, 11, 427, 611, 1951, 10463, 27487, 35291, 247729, 672605, 2939533, 7473389, 19729747, 53808401, 64570081])

Avec,
x_data = np.array([1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17])
C'est beaucoup mieux ! Les points 9 et 11 ne manquent plus !

 Cliquez pour afficher

Pour y = a/b
y_eq_a_sur_b_regr_poly_degre_02.jpg
Pour y = ln(a/b)
y_eq_LOG(a_sur_b)_regr_poly_degre_02.jpg
Pour y = ln((a/b)²)
y_eq_LOG((a_sur_b)exp2)_regr_poly_degre_02.jpg
pour y = ln²(a/b) = (ln(a/b))²
y_eq_(LOG(a_sur_b)exp2)_regr_poly_degre_02.jpg

Désolé pour le faux espoir

[Biname]

Voici les résidus de la régression polynomiale du second degré :
[ 4.14953902e-05 3.94570638e-05 3.71648623e-05 -2.68090513e-04
5.87711196e-05 2.47968505e-05 2.34358514e-05 3.30767325e-05
2.40565874e-05 6.68536020e-06 1.05643759e-05 3.94623380e-06
-6.06179560e-06 -1.28295847e-05 -1.85228238e-05 -2.35675671e-05
2.56218555e-05]

latex_polynomial : 1.207e+00x^2 + -2.74e+01x^1 + 1.56e+02x^0

-2.6e-4 au pire, la régression est quasi parfaite ! y = a/b est une droite pour x = comptage des mesures.

[Liet Kynes]

On trouve donc des solutions sur le plan complexe ?

[Biname]

Dans ce cas, on élève une droite au carré : y = (cx + d)² a une racine en x = -d/c qui doit être une racine double, non ?
Le problème se trouve plutôt dans la façon de trouver les a et b et de tracer les courbes.

La régression présente deux racines réelles, très proches :
Régression polynomiale de degré 2 :
y = 1.207 x^2 - 27.41 x + 155.7
Coefficients :[1.20694909, -27.41399034, 155.66663804]
Racines : [11.35931825, 11.35414217]
Valeur minimale de la fonction : -8.084084385018286e-06
Position du minimum : [11.35672941]

Un peu moins de "chance" et on a deux racines complexes .

[Liet Kynes]

Ok merci pour ton aide, on fleurte mais cela reste avec des solutions réelles .