Théorème d'unicité des mesures

[Alphasaft]

Bonjour,

Je suis tombé sur un cours sur la théorie de la mesure qui construit la mesure de Lebesgue comme la restriction à la tribu borélienne de R^d de :



où les désignent des pavés de R^d et vol leur volume (produit des cotés)

On démontre ensuite pour l'unicité le théorème d'unicité des mesures que je ne réécrirai pas (https://www.xif.fr/public/maths/probas/clmon-uni.pdf, c'est un autre pdf qui ne contient que le théorème, ça vous évite de devoir reparcourir de A à Z l'original pour le retrouver).

Le truc c'est que je ne comprends pas l'utilité du théorème, dont la démonstration est longue et nécessite d'introduire de nouvelles notions.
En effet, il suffit de constater que si est une autre mesure de Lebesgue, . De là, puisque pour tout borélien A et tout pavé P , il vient . Et on conclut en utilisant que quelle que soit la mesure considérée, où désigne l'hypercube centré en 0 et de coté n.
Est-ce ma démonstration qui est fausse, ou bien est-ce que le théorème d'unicité des mesures est prouvé en tant que théorème en lui-même, dont on tire l'unicité de celle de Lebesgue comme corollaire ?
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[MissJenny]

Je suis tombé sur un cours sur la théorie de la mesure qui construit la mesure de Lebesgue comme la restriction à la tribu borélienne de R^d de (etc)

justement la mesure de Lebesgue n'est pas définie sur la tribu borélienne.

[Alphasaft]

Oui, effectivement, mais ça ne change rien à mon propos, si ?