existence et unicité (et théoreme du choix)

[ornithology]

Bonjour,

j'aimerais savoir s'il y a des théoremes assurant l'existence d'un objet mathématique grace a l'axiome du choix et qui démontrent ensuite son unicité.

j'aurais du mettre axiome et non théoreme dans le titre.
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[Médiat]

Bonjour,

Autrement dit vous voulez utiliser l'axiome du choix dans une situation où il n'y a pas le choix ...

[Deedee81]

Salut,

Peux-tu préciser la signification de "existence" ? (appartient ou inclut à un ensemble donné ou du style ?)

Sinon un exemple bateau : la fonction de choix.
C'est carrément l'énoncé de l'axiome du choix, voir wikipedia.

Par contre cette fonction n'est pas unique. Et pour ça il faudra être plus précis, sinon je prend UNE fonction du choix particulière et hop elle est unique. C'est très c.. mais ça répond à la question.

Peut-être qu'avec plus de précisions/infos il y aura des choses plus intéressantes

[Médiat]

je prend UNE fonction du choix particulière et hop elle est unique.

Mais on ne peut écrire une propriété que possède cette fonction de choix et que seule cette fonction de choix possède, donc cela ne répond pas vraiment à la question.

[A voir en vidéo sur Futura]

[ornithology]

Bonjour,

Autrement dit vous voulez utiliser l'axiome du choix dans une situation où il n'y a pas le choix ...

Oui tout a fait.
peut il y avoir des conditions qui font que ce qui apparait comme un choix n'en est finalement pas un?
on paut démontrer un existence puis tenir compte de conditions qu'il faut exclure tous les autres, pourquoi pas?
ceci dit si aucun théoreme d'existence et unicité n'utilise l'axiome du choix ca me va aussi.

@Deedee81, le therme existence ne pose pas de probleme en théorie des ensembles contrairement a la physique ou il est sulfureux.

[Médiat]

Si on peut démontrer l'unicité, il n'y a pas besoin d'axiome du choix, mais peut-être l'axiome du choix peut donner une démonstration facile alors que sans, ce serait compliqué (mais pas impossible).

[MissJenny]

je vais peut-être dire une bêtise, parce que je ne suis pas assez savant en maths mais il me semble que si tu t'intéresses à un objet qui peut être unique c'est que tu as des spécifications assez précises de cet objet (des contraintes en d'autres termes) et du coup l'axiome du choix n'est pas nécessaire.

par exemple l'axiome du choix permet de démontrer qu'il existe des bases d'un espace vectoriel donné mais ne dit rien de ces bases. Si tu cherches à prouver l'existence et l'unicité d'une base qui vérifie des conditions supplémentaires (par exemple qui diagonalise un certain ensemble d'applications linéaires) alors l'exploitation de ces conditions fera que tu auras une solution constructive et donc pas besoin d'invoquer l'axiome du choix.

[Deedee81]

Mais on ne peut écrire une propriété que possède cette fonction de choix et que seule cette fonction de choix possède, donc cela ne répond pas vraiment à la question.

ah oui, zut tu as raison (c'est vachement piégeux ce genre de trucs)

[Médiat]

je vais peut-être dire une bêtise,

Dans la mesure où vous dites la même chose que moi, sous une autre forme, je ne dirais pas que c'est une bétise.

[ornithology]

Prenons la notion de bon ordre.
l'axiome du choix permet de munir l'ensemble des réels d'un bon ordre sans fournir la facon d'en construire un.
existe t il un ensemble de contraintes (par exemple sur l'ordre des rationnels ou autres) qui ferait que cet ordre serait unique sans pour autant fournir une recette pour l'obtenir?

il y a aussi comme on le rappelait l'existence des bases dans un espace vectoriel. meme question pour une base unique telle que ....

[Médiat]

Si on pouvait faire cela on n'aurait pas besoin de l'axiome du choix.

[ornithology]

Je commence juste a réfléchir a la question. A t on axiome du choix =texistence d' ensembles de conditions associés a chaque choix?

[gg0]

Non.

Je commence à m'interroger : As-tu lu l'axiome du choix ? Vu des usages ? Car son texte comme ses applications usuelles n'ont aucun rapport avec ce que tu demandes.

Cordialement.

[ornithology]

Oui et Oui.
cordialement.

[gg0]

Comme le théorème parle uniquement d'existence, ce n'est pas lui qui pourrait amener l'unicité. Et comme on l'utilise dans des situations où il y a à priori pas mal de choix, même chose.

Cordialement.

[ornithology]

la meme question a été posée il y a 10 ans sur mathoverflow
je vais regarder de pres les réponses.
Avez vous des avis sur leur qualité ?

[Médiat]

À noter que la première réponse tombe exactement dans ce que je citais dans mon message #6, et ce qui est unique n'est pas l'objet dont l'existence est garantie par AC (la suite).