exercice : groupes

[math47]

Bonsoir,

J'ai un exercice à faire dont voici l'énoncé : Pièce jointe 454253

1. G non vide car 1 = 1 +0*sqrt(2) appartient à G. Je ne vois pas comment dire que G est inclus dans R (>0) ?

2. (G, x) sg de (R(>0),x) car 1 appartient à G, pour x,y appartenant à G, xy = (a+b*sqrt(2))(c+d*sqrt(2)) = (2bd+ac) + (ad+bc)sqrt(2) appartient à G, pour tout x appartenant à G, x^-1 appartient à G car 1/x = 1/ a+b*sqrt(2) = a-b*sqrt(2)/a²-2b² = a/a²-2b² + (-b/a²-2b²)*sqrt(2) = a-b*sqrt(2) appartient à G.

3. J'ai pensé par calculer le sg engendré par alpha et montrer qu'il est d'ordre infini et que donc G est infini mais je ne vois pas comment procéder...

6. (G,x) est isomorphe à (Z,+) si il existe un isomorphisme entre (G,x) et (Z,+). Soit phi morphisme de groupes : Z --> G qui à x associe a+b*sqrt(2). Montrons que phi est bijective.
Injective : Ker(phi) = {1} par définition de phi
Surjective : pour tout y de G, y = phi(x) doit avoir au moins une solution en x.
y = a+b*sqrt(2)
et là je bloque....

Pourriez-vous m'éclairer ?

Merci d'avance,
Bonne soirée
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[math47]

Je viens de me rendre compte qu'on ne pouvait pas ouvrir la pièce jointe... La voici :

[math47]

Pour la 3 : Comme pour tout a appartenant à N, pour tout b appartenant à Z alpha est différent de 1, k étant un entier >= 1, on a ordre(k) = +infini
En effet son sg engendré est : <alpha> = {3+2sqrt(2), 17+2sqrt(2),...}^k
Ainsi G est infini.

Est-ce correct ?

[gg0]

Bonjour.

Maintenant qu'on peut lire l'énoncé, on peut aller plus loin.
Pour la 1, si b est positif, pas de problème. S'il est négatif, tu peux facilement minorer a+b\sqrt 2 à partir de 2|b|² =a^2+1.
Pour la 2, tu n'as pas montré que xy est dans G, seulement qu'il vérifie une des deux conditions. Idem pour l'inverse.
Pour la 3, ta première idée était bonne, mais compliqué. Regarde simplement les puissances de alpha. Quant à ce que tu écris dans le message #3, ça n'a aucun sens : pas de a et de b dans alpha. La suite est du n'importe quoi ... sais-tu ce que tu racontes ? tu ne parles même plus de G !!

Donc à reprendre avec plus de soin. Bon travail !

[A voir en vidéo sur Futura]

[math47]

Merci de votre réponse.

Pour la 1 : Donc si b > 0, a + b*sqrt(2) appartient à R(>0)
Si b < 0, 2|b|² (=a²+1) < a + b*sqrt(2) appartient à R(>0)
Donc G inclus dans R(>0)

Pour la 2 : quelle condition n'ai-je pas vérifié ?

Pour la 3 : <alpha> = {3+2sqrt(2), 17+2sqrt(2),...} = {alpha¹, alpha², ...} donc pour tout entier k >= 1, alpha^k est différent de 1 donc ordre(alpha) = +infini d'où ordre((G) = +infini

Qu'en pensez-vous ?

[gg0]

Ceci n'a aucun sens : "Si b < 0, 2|b|² (=a²+1) < a + b*sqrt(2) appartient à R(>0)". Impossible même de savoir quel est- le sujet du verbe "appartenir".

"Pour la 2 : quelle condition n'ai-je pas vérifié ?" quelle est la définition de G ?
Pour la 3 : Tu peux te contenter de dire qu'il s'agit d'une suite strictement croissante d'éléments de G, ce qui permet de conclure. Mais ce n'est pas faux.

[math47]

Correction : Si b < 0, on a : 2|b|² (=a²+1) < a + b*sqrt(2) ainsi, a + b*sqrt(2) appartient à R(>0)

2 : Je reprends ce que j'ai déjà dit en le complétant : pour x,y appartenant à G, xy = (a+b*sqrt(2))(c+d*sqrt(2)) = (2bd+ac) + (ad+bc)sqrt(2) avec (2bd+ac)² + 2(ad+bc)² = 1 appartient à G
En revanche pour la partie pour l'inverse ("pour tout x appartenant à G, x^-1 appartient à G car 1/x = 1/ a+b*sqrt(2) = a-b*sqrt(2)/a²-2b² = a/a²-2b² + (-b/a²-2b²)*sqrt(2) = a-b*sqrt(2) appartient à G") je ne vois pas quoi rajouter car j'ai utilisé la définition de G dans les calculs avec a²-2b² = 1 pour les fractions...?

[math47]

Pour la 4 : voici ce que j'ai fait :
IMG_20220205_153519.jpg
Je bloque sur l'inégalité sur b... Qu'en pensez-vous ?

Edit : j'ai essayé de retourner la photo mais impossible... Désolé

[gg0]

"avec (2bd+ac)² + 2(ad+bc)² = 1" C'est loin d'être évident. Tu l'as prouvé ??

"je ne vois pas quoi rajouter" Ben ... tu dois prouver que c'est de la forme A+B rac(2) avec A²-2B² = 1; tu ne l'as pas fait !!
Je regarderai la suite si j'ai le temps ...

[math47]

Pour la c de la question 4 : je veux montrer que 1=< a+b*sqrt(2)=<1 et donc j'aurai a+b*sqrt(2) = 1 voici ce que j'ai fait :

je suis bloqué sur le coté droit de l'inégalité...

Pour la 5 : Montrons qu'il existe k appartenant à Z tel que a+b*sqrt(2) = (3+2sqrt(2))^k.
On pose k = la partie entière de (ln(a+b*sqrt(2)) / (ln((3+2sqrt(2)))
k = ln(1) / ln((3+2sqrt(2))
<=> k = 0

donc (3+2sqrt(2))^k = (3+2sqrt(2))⁰ = 1 = a+b*sqrt(2)

On a donc bien montré qu'il existe k appartenant à Z tel que a+b*sqrt(2) = (3+2sqrt(2))^k.

Pour la 6 : j'en suis toujours au même point que lors de mon message #1......

[math47]

Merci de votre réponse.

"avec (2bd+ac)² + 2(ad+bc)² = 1" C'est loin d'être évident. Tu l'as prouvé ??" Par identification, on a (2bd+ac) = A et (ad+bc) = B donc (2bd+ac)² + 2(ad+bc)² = 1 ?

Et pour l'inverse on peut le montrer par identification aussi ?

[gg0]

"Par identification," ?? C'est une formule magique ? Et qui sont A et B ? Et quel règle mathématique justifie ton dernier "donc".

Bon, tu commences à écrire n'importe quoi, à baratiner au lieu de prouver. Je ne vais pas passer des heures à reprendre tout ce que tu écris sans raison.

Reprends la question 2 correctement, en prouvant mathématiquement tes affirmations. C'est ton devoir, c'est à toi de faire des maths.Inutile de parler des questions suivantes si tu n'acceptes pas de faire correctement la question 2.

[math47]

Notons A = (2bd+ac) et B = (ad+bc), on a (2bd+ac)² + 2(ad+bc)² = 1 car A et B sont premiers entre eux. En effet, soit d un diviseur positif commun à A et B. d|a² et d|2b² donc d|a²-2b² d'où d|1 et d = 1.
De même pour la partie avec l'inverse.

Qu'en pensez-vous ?

[gg0]

Toujours n'importe quoi : "car A et B sont premiers entre eux." Où as-tu prouvé qu'ils sont premiers entre eux ?
Et même rectifié ( (2bd+ac)² + 2(ad+bc)² = 1 n'a rien à voir avec ce qu'il faut démontrer qui est (2bd+ac)² - 2(ad+bc)² = 1), des entiers A et B premiers entre eux ne vérifient pas A²-B²=1 : 7 et 5 sont premiers entre eux mais 7²-5²=24, pas 1.

Il faut que tu arrêtes de faire semblant, que tu arrêtes d'imiter des corrections d'exercices que tu n'as pas comprises, seulement copiées. Et que tu utilises ton intelligence pour regarder ce que tu veux démontrer et trouver un chemin solide pour le faire. Utilisant les conditions de l'exercice, a, b, c et d ne sortent pas de rien, tu as une situation, tu ne te sers jamais du fait que x et y sont dans G. C'est quand même très idiot comme comportement.

Un conseil : Dès que tu le pourras, reprends tes cours, puis tous les exercices que tu as vus et corrigés, pour bien comprendre ce qui y était fait, quelles règles étaient utilisées pour passer d'une phrase à l'autre, d'une expression à une autre; les maths sont une activité intelligente, tu dois comprendre intelligemment.

[math47]

"(2bd+ac)² + 2(ad+bc)² = 1 n'a rien à voir avec ce qu'il faut démontrer qui est (2bd+ac)² - 2(ad+bc)² = 1" je me suis trompé de signe en tapant on est d'accord sur ce qu'il fallait démontrer
"Où as-tu prouvé qu'ils sont premiers entre eux ?" J'ai voulu montrer qu'il existait une relation de Bezout entre a et b (ie. au+bv = d, d étant leur pgcd) et comme d était égal à 1 ça voulait dire qu'ils étaient premiers entre eux...

[math47]

Je crois que je viens de comprendre ce que vous voulez dire...
(2bd+ac)² - 2(ad+bc)² = 4b²d²+a²c²-2a²d²-2b²c² = c²(a²-2b²) -2a²d²b²d² = c² - 2d²(-2b²+a²) = c² -2d² = 1

Pour l'inverse : on obtient x^-1 = a - b*sqrt(2) mais du coup ici on n'a rien à développer pour réussir à retomber sur a²-2b² = 1 ...?

a² - 2b² = 1 par définition de x appartient à G...?

[jacknicklaus]

Bonsoir,

la question 2 n'est toujours pas résolue de façon complète. Rappelons la définition de G = les réels de la forme a + b.racine(2) avec a élément de N et b élément de Z

[math47]

Je dois rajouter que 1+2b² >= 0 ?
Je dois avouer ne pas voir quoi en faire...?

[gg0]

Il y a du mieux, mais tu n'utilises toujours pas la définition de G (que tu n'as jamais écrite quand je te la demandais)

* Tu as trouvé xy = A +B \sqrt 2 avec A= .., B= .. et tu dois prouver ..
* Tu as trouvé x-1 = A'+B' \sqrt 2 avec A'= .., B'= ... et tu dois prouver ..

Rappel : Pour répondre à un exercice, il faut lire et conserver en mémoire l'énoncé. En particulier le début, surtout quand il donne des définitions.

[math47]

Je reprends votre message et le complète :
* Tu as trouvé xy = A +B \sqrt 2 avec A= 2bd+ac B= ad+bc = 1 et tu dois prouver que A²-2B² = 1 ie. (2bd+ac)² - 2(ad+bc)² = 1 avec a (et c) dans N et b (et d) dans Z
* Tu as trouvé x-1 = A'+B' \sqrt 2 avec A'= a , B'= -b et tu dois prouver que A²-2B² = 1 ie. a² - (-b)² = 1 avec a dans N et b dans Z

[gg0]

"avec a (et c) dans N et b (et d) dans Z" Pas besoin de le prouver, c'est donné quand tu as pris x et y dans G.

Tu perds ton temps (et le notre) en ne fixant pas les hypothèses, et en ne tenant pas compte de l'énoncé.

Tu ne sais toujours pas la définition de G. Donc tu ne sais pas quelles sont les choses connues (hypothèses) ni ce qu'il faut démontrer. Pourquoi ne fais-tu pas ton travail ????

[math47]

"avec a (et c) dans N et b (et d) dans Z" J'ai rajouté ça après le message de jacknicklaus qui avait l'air d'insister sur le fait que a est dans N....

Recapitulons : G ensemble des réels de la forme a+b*sqrt(2), a dans N, b dans Z | a^/2-2b² = 1
G non vide et inclus dans R(> 0) (montré à la question 1)

Je veux montrer que G est un SG de R(>0). Je dois donc monter xy est dans G, j'ai trouvé que xy = A +B \sqrt 2 avec A= 2bd+ac B= ad+bc = 1 et tu dois prouver que A²-2B² = 1 ie. (2bd+ac)² - 2(ad+bc)² = 1

Je dois montrer aussi que x^-1 appartient à G x^-1 = A'+B' \sqrt 2 avec A'= a , B'= -b et tu dois prouver que A²-2B² = 1 ie. a² - 2(-b)² = 1

Est-ce correct ?

[gg0]

"tu dois prouver" ??? Non, c'est toi qui dois prouver .. C'est quoi ce message ? Du "copier/coller" inintelligent ???
Et encore une fois, tu oublies une partie de la définition de G. Que tu as pourtant écrite 3 lignes au dessus.

[math47]

J'ai trouvé que xy = A +B \sqrt 2 avec A= 2bd+ac B= ad+bc = 1 et je dois montrer que A²-2B² = 1 ie. (2bd+ac)² - 2(ad+bc)² = 1 (ce que j'ai fait dans mon message #16) et je dois montrer que xy est inclus dans R(>0) ? ie. (2bd+ac) + (ad+bc)*sqrt(2) est inclus dans R(>0) c'est ça ?

Ensuite j'ai trouvé que x^-1 = A'+B' \sqrt 2 avec A'= a , B'= -b et je dois montrer que A²-2B² = 1 ie. a² - 2(-b)² = 1 et je dois aussi montrer que x^-1 est inclus dans R(>0) ie. a - b*sqrt(2) est inclus dans R(>0) c'est ça ?

[gg0]

Bon, tu as recopié la définition de G, on t'a dit ce qui manquait, mais tu n'es pas capable de te servir de la définition, ni de rassembler les morceaux.
On ne va pas rédiger ton devoir à ta place (règlement du forum), autant arrêter là. Fais ton devoir comme tu l'entends, rends-le à ton prof, et tu verras la correction avec lui ...

[math47]

Je n'arrive vraiment pas à voir ce qu'il manque... Si je trouve je viendrai le mettre ici...
Pouvons-nous au moins regarder le reste des questions ensemble s'il-vous-plaît ?