Bonsoir,
J'ai un exercice à faire dont voici l'énoncé : Pièce jointe 454253
1. G non vide car 1 = 1 +0*sqrt(2) appartient à G. Je ne vois pas comment dire que G est inclus dans R (>0) ?
2. (G, x) sg de (R(>0),x) car 1 appartient à G, pour x,y appartenant à G, xy = (a+b*sqrt(2))(c+d*sqrt(2)) = (2bd+ac) + (ad+bc)sqrt(2) appartient à G, pour tout x appartenant à G, x-1 appartient à G car 1/x = 1/ a+b*sqrt(2) = a-b*sqrt(2)/a²-2b² = a/a²-2b² + (-b/a²-2b²)*sqrt(2) = a-b*sqrt(2) appartient à G.
3. J'ai pensé par calculer le sg engendré par alpha et montrer qu'il est d'ordre infini et que donc G est infini mais je ne vois pas comment procéder...
6. (G,x) est isomorphe à (Z,+) si il existe un isomorphisme entre (G,x) et (Z,+). Soit phi morphisme de groupes : Z --> G qui à x associe a+b*sqrt(2). Montrons que phi est bijective.
Injective : Ker(phi) = {1} par définition de phi
Surjective : pour tout y de G, y = phi(x) doit avoir au moins une solution en x.
y = a+b*sqrt(2)
et là je bloque....
Pourriez-vous m'éclairer ?
Merci d'avance,
Bonne soirée
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