exercice sur les groupes

[invite69d45bb4]

bonjour à tous .

voici l'enoncé de l'exercice et une partie de son corrigé:

"trouver à un isomorphisme pres tous les groupes de cardinal inferieur ou egal à 4.

il n'y a qu'une seule façon de construire la table d'un groupe à un element

il n'y a egalement qu'une façon de remplir la table d'un groupe à 2 elements,chacun devant etre son propre symetrique

on peut verifier que cette table est celle du groupe U2=({1,-1},x)"


je ne comprends pas pourquoi cette table est celle du groupe U2


pourriez vous m'expliquer?

merci par avance
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[invite69d45bb4]

et aussi je voudrais savoir comment on construit le groupe U2 à l'aide de cette table .

merci par avance

[invite69d45bb4]

ah et j'allais oublier autre chose aussi

" il n'y a encore qu'une façon de remplir la table d'un groupe à 3 elements
cette table est celle du groupe U3=({1,j,j barre},x) ou du groupe ({id,R,R^-1}, rond) ou R est une rotation d'angle 2pi/3"

là non plus je ne comprends rien.

[Flyingsquirrel]

Salut,

il n'y a egalement qu'une façon de remplir la table d'un groupe à 2 elements,chacun devant etre son propre symetrique

on peut verifier que cette table est celle du groupe U2=({1,-1},x)"


je ne comprends pas pourquoi cette table est celle du groupe U2

Ben si tu construis la table de multiplication de tu verras qu'elle est identique à celle construite juste avant (au nom des éléments près).

et aussi je voudrais savoir comment on construit le groupe U2 à l'aide de cette table .

Là je ne comprends pas la question, qu'entends-tu par « construire » ? Ce groupe est déjà défini par .

" il n'y a encore qu'une façon de remplir la table d'un groupe à 3 elements
cette table est celle du groupe U3=({1,j,j barre},x) ou du groupe ({id,R,R^-1}, rond) ou R est une rotation d'angle 2pi/3"

là non plus je ne comprends rien.

Pour construire la table d'un groupe à trois éléments — disons où est l'élément neutre — on commence par remplir les lignes faciles :

(la case à l'intersection de la ligne et de la colonne contient la valeur du produit )

Ensuite on peut regarder ce qu'il se passe pour le produit : on a le choix entre , et . Parmi ces trois possibilités, les deux dernières ne conviennent pas car implique que c'est-à-dire ce qui est impossible puisqu'un groupe ne contient qu'un élément neutre (ici c'est ). Idem pour qui entraîne . On n'a en fait pas le choix : doit valoir .

En raisonnant de la même manière on montre que également. Pour l'instant on a donc ceci :

Peux-tu nous dire ce que valent et ?

Concernant les deux groupes donnés en exemple, je ne vois pas ce qui te pose problème, il suffit de calculer leur table de « multiplication » et de la comparer avec celle d'un groupe à trois éléments pour se rendre compte qu'elles sont identiques (encore une fois, au nom des éléments près).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite69d45bb4]

alors si j'ai bien compris ton raisonnement normalement on a donc
a2=b et b2=a car ces deux elements ne peuvent pas etre egaux a leur propre symetrique ils sont donc symetrique l'un de l'autre

[Flyingsquirrel]

a2=b et b2=a car ces deux elements ne peuvent pas etre egaux a leur propre symetrique

Pourquoi ? Il existe des groupes ou certains éléments sont leur propre inverse. C'est par exemple le cas dans le groupe donné plus haut : .

ils sont donc symetrique l'un de l'autre

Là tu écartes le cas et . Pourquoi ?

[invite69d45bb4]

ben je ne sais pas alors.

peut tu me dire pourquoi a2=b et pourquoi b2=a

[Flyingsquirrel]

peut tu me dire pourquoi a2=b et pourquoi b2=a

C'est toi qui va nous le dire . Pour on a encore trois possibilités :

• : essaie d'obtenir une absurdité en multipliant par des deux côtés.
• : impossible. Pourquoi ?
• ...

[invite69d45bb4]

ben pour prouver que a x a different de a.
je fais comme ceci
a^-1 x a x a= a^-1 x a et j'arrive à a^2=e

mais apres je n'arrive pas à conclure

[Flyingsquirrel]

ben pour prouver que a x a different de a.
je fais comme ceci
a^-1 x a x a= a^-1 x a et j'arrive à a^2=e

Oui et l'on a supposé que donc on obtient ...

[invite69d45bb4]

eta ussi une derniere chose que signifie R^-1 c'est une espece de rotation non?

[Flyingsquirrel]

eta ussi une derniere chose que signifie R^-1 c'est une espece de rotation non?

C'est simplement la rotation « inverse » de . Elle est définie par . Par exemple si est la rotation d'angle autour de l'origine du plan complexe, est la rotation d'angle autour du même point.

[invite69d45bb4]

ok merci beaucoup