exercice de groupes

[invite6f044255]

Groupeurs, groupeuses, bonjour!!

J'ai resolu un exo de groupes mais je suis loin d'etre sur que ma solution n'est pas fumeuse.... donc une ptite verification serait bienvenue.

On me donne un groupe G abelien d'ordre |G| impair. On me demande de montrer que le produit de tous les elements donne l'identite e.

Ce que j'ai fait:
On ne peut avoir d'element d'ordre 2, car si x^n=e (avec n inferieur a |G|) alors n/|G|. 2 ne divise pas un nombre impair, donc c'est bon.
Ainsi, aucun element n'est son propre inverse (sauf e). Donc, lors de la multiplication de tous les elements, chaque element va etre multiplie par son inverse.
Ainsi, le produit va donner e.

Ma question est "est-ce correct?" et "est-ce que j'ai pris des raccourcis un peu hasardeux?".

Voila, merci pour votre aide.
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[inviteca3a9be7]

Salut,


C'est tout-bon

>> tous les elements, chaque element va etre multiplie par son inverse

pour être tout à fait précis tu peux peut-être préciser : "chaque element != e".

[invite6f044255]

ok super!!merci!!

c'etait un exam (annales) de maitrise; donc ca me semblait pas assez complexe comme reponse pour pouvoir etre la bonne...comme quoi

[invite9c9b9968]

Je sais que ma remarque n'est pas très constructive mais tant pis je la donne :

cette démo me fait penser un peu à la démo du théorème de Wilson, où l'on regroupe un à un les éléments et leurs inverses dans Z/pZ

Voilà, bonne journée à tous

Julien

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6f044255]

Je sais que ma remarque n'est pas très constructive mais tant pis je la donne :

Au contraire, au contraire, c'est tres interessant!! en plus, ca me remet en tete le theoreme de Wilson que j'avais perdu dans un coin de mon cerveau....
Ce genre d'analogie peut s'averer tres utile pour l'organisation des donnees et des concepts dans sa "tete a soi".

le theoreme de Wilson:
si p est premier

et la demo:
http://planetmath.org/encyclopedia/P...nsTheorem.html