Ensemble F(E,F) des applications de E dans F

[Furinji]

L'application (f,g) ---> < f,g > de F(E,F) X F(E,G) dans F(E,F x G) est une bijection. L'ensemble F est non-vide.

Soit A ⊂ E, l'application f ---> f|A va de F(E,F) dans F(A,F). Si de plus B ⊂ E, on obtient ainsi une application f ---> (f|A, f|B) de F(E,F) dans F(A,F) X F(B,F).

Si A U B = E, cette application est injective
Si A ∩ B = ∅, cette application est surjective
Comment le prouver ?


Pour la première affirmation, j'ai :

Supposons que A U B = E.
Soient f, g ∈ F(E, F) telles que (f|A, f|B) = (g|A, g|B).
On veut montrer que f = g, c'est à dire que pour tout x ∊ E, f(x) = g(x).
Or x ∊ A ou B (hypothèse de départ).

Et je sèche ensuite.
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[choom]

Bonjour.

Pardonnez la question de quelqu’un ayant quitté le domaine math sup depuis 45 ans , mais c’est pour bien comprendre votre question :

Est-ce voulu ou bien un défaut dans la notation que le F représente ici à la fois un ensemble d’applications et en même temps l’ensemble d’arrivée de ces applications ?
N’eut-il pas fallu que le premier F soit noté ´ F ronde’ j’ignore la bannière Latex pour écrire F majuscule en ronde…

merci de m’éclairer, car dans mes souvenirs, une définition d’une entité qui s’utilise elle-même dans sa définition ( définition récursive) court un grand danger d’amener à des paradoxes ( eg l’ensemble de tous les ensembles qui ne se contiennent pas eux-mêmes : ne peut ni se contenir ni ne pas se contenir..)

Bien cordialement,
choom

[gg0]

Bonjour.

Une fois retraduite complétement l'égalité "(f|A, f|B) = (g|A, g|B)", comme pour tout x de E, on a x dans A ou x dans B, la conclusion vient immédiatement.
Donc que veut dire (f|A, f|B) = (g|A, g|B) ?

Cordialement.

NB : Si on ne connaît pas le LaTeX , on peut utiliser F ou F à la place.

[Furinji]

Oui, pardonnez-moi. Il aurait été plus correct d'utiliser F pour désigner F (E,F)

(f|A, f|B) = (g|A, g|B) veut dire f|A = g|A et f|B = g|B, je ne vois pas quelle autre implication je pourrais tirer

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Continue à traduire !

Que veut dire f|A = g|A ?

[Furinji]

f|A = g|A signifie qu'il s'agit d'une même application de A dans F ? Mais je ne vois pas ce que je peux en tirer de plus

Est-ce que la clé se situe dans le fait que puisque A U B = E, f est une application de A dans F ou de B dans F ? (en gros que F (E,F) = F (A,F) U F (B,F), mais est-ce vrai ? )

Et est-ce que lorsqu'on dit que f---> f|A ou f ---> (f|A, f|B) par des applications respectivement de F (E,F) dans F (A,F) et de F (E,F) dans F (A,F) X F (B,F), cela signifie f a un "rapport" avec f|A ? Ou on aurait pu prendre une application quelconque appartenant à F (A,F) comme g|A ou f'|A par exemple ?

[gg0]

Tu te perds dans des idées confuses (*), alors que la clef des preuves mathématiques est d'utiliser (et de n'utiliser que) les règles de base (définitions, théorèmes).
Je t'ai demandé "Que veut dire f|A = g|A ? " tu réponds par une réécriture de la même chose : "il s'agit d'une même application de A dans F". Et tu t'arrêtes là, au lieu d'aller chercher dans tes cours ce qu'est une application et ce que veut dire "=" pour des applications.

Donc je continue à te demander de traduire : Soit f une application de U dans V (ce sont des ensembles). C'est quoi, f ? (ne réponds pas "une application", c'est ce qu'il faut expliquer. Même une définition intuitive suffira.
Ensuite, soient f et g, deux applications de U dans V. Comment sait-on qu'elles sont égales (que c'est la même application) ?

Question subsidiaire : soient h et k deux applications. Comment prouver que h=k.

Tu verras que savoir de quoi tu parles rend cet exercice facile (et tu auras honte de ton message précédent.

Cordialement.

(*) "le fait que puisque A U B = E, f est une application de A dans F ou de B dans F ?" Voyons, ton énoncé dit qui est f. La suite est pire !!

[Furinji]

J'ignorais ceci : "la restriction de f sur A (f|A) est donc égale à f sur A, mais non définie sur le reste du domaine de f". Je pensais qu'il pouvait s'agir de n'importe quelle application de A dans F.

"Soit f une application de U dans V (ce sont des ensembles). C'est quoi, f ?" Un procédé qui fait correspondre à un élément de U un unique élément de V

"Ensuite, soient f et g, deux applications de U dans V. Comment sait-on qu'elles sont égales (que c'est la même application) ?" Deux applications f et f' sont égales si leurs ensembles de départ et d'arrivée sont les mêmes, et que quel que soit x € à cet ensemble d'arrivée commun, f(x) = f'(x)

soient h et k deux applications. Comment prouver que h=k En montrant que h(x)-k(x) = 0 pour tout x € R (si ce sont des applications de R dans R par exemple)

[Furinji]

Si A U B = E, cette application est injective


On se retrouve avec deux cas. x € A ou x € B

Soient f, g ∈ F(E, F) telles que (f|A, f|B) = (g|A, g|B).
On veut montrer que f = g, c'est à dire que pour tout x ∊ E, f(x) = g(x).
Or x ∊ A ou B (hypothèse de départ).

Prenons un x € A et supposons que f(x) =/= g(x). Cela signifie que les restrictions de f et de g sur A ne sont pas égales. Donc si f|A = g|A, alors f(x) = g(x) pour tout x € A.

On peut effectuer un raisonnement analogue pour x € B.

Comme A U B = E, f est injective.

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Si A ∩ B = ∅, cette application est surjective

On veut prouver que l'application est surjective, c'est-à-dire que chaque couple (f|A, f|B) admet au moins un antécédent par cette application.

Prenons un couple (f|A, f|B) € F (A,F) X F (B,F) tel qu'il n'ait aucun antécédent par cette application. Cela signifie qu'il existe une application f € F (E,F) à laquelle on ne peut pas faire correspondre ses restrictions sur A et sur B. C'est-à-dire qu'il existe un x € A tq f(x) =/= f|A (x) ou qu'il existe un x € B tq f(x) =/= f|B (x). Puisque f|A et f|B ne sont pas forcément égales, on peut avoir f|A (x) = f(x) =/= f|B (x) ssi x € A et B.

Donc si A ∩ B = ∅, chaque couple (f|A, f|B) a forcément un antécédent par cette application, donc est surjective.

[MissJenny]

dans ta démonstration de la surjectivité, quand tu choisis un élément de F(A,F)xF(B,F) tu ne devrais pas le noter (f|A,f|B) mais plutôt (g,h) parce que tu n'as pas à présupposer l'existence de l'application f.

[gg0]

Voilà, tu es revenu aux définitions, tu as mieux compris de quoi il s'agissait. Donc tu as pu faire la preuve pour l'injectivité.
Pour le deuxième cas, tu es encore allé trop vite. MissJenny te dit ce qui ne va pas. Tu as aussi mal traduit la notion de surjection. Ce n'est pas "il existe une application f € F (E,F) ...". C'est d'ailleurs une propriété fausse, qui contredit le début de ton énoncé. D'ailleurs, tu ne te sers même pas de A ∩ B = ∅ !!!
Là encore, reprends la définition de "surjective" et applique directement la définition (inutile de partir de la négation, la démonstration directe convient). Tu peux aussi regarder ce qui se passe si A et B ont des éléments commune en prenant un exemple très simple, comme A={1,2}, B={2,3}, E={1,2,3} et F ce que tu veux.

Cordialement.

[Furinji]

Effectivement, en fait les couples (f|A, f|B) font partie de l'ensemble image, je dois prouver que cet ensemble coïncide avec l'ensemble d'arrivée qui contient les couples (g, h) € F (A,F) X F (B,F). Ce que j'ai écrit n'a aucun sens puisque pour tout x € B, f(x) = f|B (x) (définition).

Il faut prouver que puisque A ∩ B = ∅, chaque couple (g,h) a un antécédent f par cette application, donc fait partie de l'ensemble image et équivaut à (f|A, f|B). Donc que g = f|A et h = f|B. Pour g = f|A, il faut que quel que soit x € A, g(x) = f(x). Cela convient, il suffit de prendre une application f € F (E,F) dont la restriction sur A coïncide avec g. On fait un raisonnement analogue pour h = f|B, avec la même application f. Comme A et B sont disjoints, on peut se le permettre. C'est possible de prendre une même application f € F (E,F) dont les restrictions sur A et sur B sont égales à deux applications quelconques g et h € F (A, F) et F (B,F).

Correct cette fois-ci ?

Je constate que mon problème réside dans le fait de bien comprendre l'énoncé et les définitions, alors que c'est le plus important.

[gg0]

"Correct cette fois-ci ?"

Non, tu as à peu près compris ce qui se passe, mais il reste à rédiger une vraie démonstration :
Soit (g, h) € F (A,F) X F (B,F). On définit f € F (E,F) par ....(et c'est un peu plus compliqué que ce que tu as écrit) ... donc l'application ... est surjective.

Cordialement.

[gg0]

Tu n'as toujours pas nommé cette application f ---> (f|A, f|B) de F(E,F) dans F(A,F) X F(B,F). C'est gênant (j'ai laissé des pointillés dans le message précédent) et ça t'a fait écrire des bêtises. Par exemple, au message #9 :
"Comme A U B = E, f est injective. " aberrant, f n'a aucune raison d'être injective.
"Donc si A ∩ B = ∅, chaque couple (f|A, f|B) a forcément un antécédent par cette application, donc est surjective." français bizarre !!

Pour bien comprendre ce qui se passe, donner des noms aux objets utilisés permet d'en parler clairement. C'est un préalable !!

[Furinji]

"Tu n'as toujours pas nommé cette application f ---> (f|A, f|B) de F(E,F) dans F(A,F) X F(B,F)." Nommons-la k. Correction : Comme A U B = E, k est injective.


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Soit (g, h) quelconque € F (A,F) X F (B,F), si ce couple admet un antécédent par k, il s'agit d'une application f € F (E,F).

A ∩ B = ∅ et on a trois cas possible pour f € F (E,F) :

x € A, f(x) = f|A (x)

x € B, f(x) = f|B (x)

x € E mais ∉ A U B, f(x) = f|C (x) (avec f|C = restriction de f sur le complémentaire de A U B dans E, que je nomme C)

Comme A, B et C dans E sont des parties de E disjointes l'une de l'autre, on a 3 "morceaux" distincts de l'application f (f|A, f|B et f|C) qui peuvent tous être égaux à des applications quelconques g, h, i € F (A,F), à F (B,F) et à F (C,F). Et donc tout couple (g,h) € F (A,F) X F (B,F) a un antécédent par l'application k, elle est surjective.

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Non-demandé et non-nécessaire :Si A ∩ B =/= ∅, l'application n'est pas forcément surjective. Il suffit d'imaginer g et h quelconques € F (A,F) et F (B,F) qui ne coïncident jamais (donc g(x) est toujours différent de h(x)). Si k était surjective, on aurait g = f|A et h = f|B. Pour g = f|A, il faut que quel que soit x € A, g(x) = f(x). Pour h = f|B, il faut que quel que soit x € B, h(x) = f(x). Or, si on prend un x € A et à B, on aura g(x) = f(x) =/= h(x) et h(x) = f(x) =/= g(x), ce qui prouve que lorsque A ∩ B =/= ∅, on ne peut pas construire une application f à partir de deux applications g et h quelconques € F (A,F) et F (B,F) qui ne coïncident jamais et que k n'est pas surjective dans ce cas-là.


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Cette rédaction est-elle encore brouillonne ? Bien à vous.

[gg0]

Brouillonne ? ce n'est pas le mot. Incohérente serait plus juste : Tu définis f à l'aide de f|A (et d'autres). mais comme f n'est pas connue, f|A n'existe pas !! On ne peut pas restreindre une fonction pas encore définie. Après tu fais du baratin pour te rattraper, mais c'est trop tard.

Au départ, tu n'as pas de f. Donc il va falloir la définir. pas par elle-même, mais avec ce qui existe déjà.

A toi de faire ...

NB : Ton "non demandé" montre que tu as réfléchi, mais que tu ne maîtrises pas la situation : Parler de coïncider pour f et g est une idée bizarre; à priori, si f(x) existe, g(x) n'a aucune raison d'être. Tu oublies que f et g ne sont pas définies sur le même ensemble !!

[MissJenny]

Non-demandé et non-nécessaire :Si A ∩ B =/= ∅, l'application n'est pas forcément surjective. Il suffit d'imaginer g et h quelconques € F (A,F) et F (B,F) qui ne coïncident jamais (donc g(x) est toujours différent de h(x))

en réalité il suffit que g et h diffèrent en un seul point (lequel point existe si l'intersection n'est pas vide).