Ensemble des applications

[invite6cc88f91]

Bonsoir,

J'ai lu que l'ensemble des applications de E vers F (E et F ensembles finis) est un sous-ensemble de ExF (produit cartésien de E par F).
Je ne comprend pas pourquoi n'est-ce pas ExF tout entier?
En effet : si E a n éléments, F à m éléments.
Prenons un élément y de F, on peut trouver une application qui le relie à un élément de E. On a donc les applications (x1,y) (x2,y) ...... (xn,y).
Il y a m éléments dans F, on a donc finalement toute les applications :
(x1,y1) (x2,y1) ...... (xn,y1)
.....
(x1,ym) (x2,ym) ...... (xn,ym)

On a donc bien tout les éléments de ExF : l'ensemble des applications de E vers F est exactement le produit ExF.

Je me trompe?
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[inviteea028771]

Ce n'est pas l'ensemble des applications de E vers F qui est un sous ensemble de ExF. Soit :
- une application de E vers F est un sous ensemble de ExF (qui vérifie certaines propriétés)
- L'ensemble des applications de E vers F est un sous ensemble de l'ensemble des parties de ExF

Pour prendre un exemple concret : les applications de {0,1} dans lui même sont :

L'identité {(0,0),(1,1)}
La permutation {(0,1),(1,0)}

Mais, par exemple, le sous ensemble {(0,0),(0,1)} ne correspond pas une application (0 a deux images), idem pour ExF

[invite14e03d2a]

Une maniere de voir que en general l'ensemble des applications de dans n'est pas inclus dans est que, si et , alors a pour cardinal alors que le cardinal de est , generalement plus petit.

[Médiat]

Bonjour,

Pour prendre un exemple concret : les applications de {0,1} dans lui même sont :

L'identité {(0,0),(1,1)}
La permutation {(0,1),(1,0)}

Il en manque deux :
{(0,1),(1,1)}
et
{(0,0),(1,0)}

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteea028771]

Il en manque deux :
{(0,1),(1,1)}
et
{(0,0),(1,0)}

Je vais invoquer l'horaire tardif comme clause d'irresponsabilité

[invite6cc88f91]

Merci à tous, c'est maintenant clair!

[PlaneteF]

(...) si et , alors a pour cardinal (...)

Bonjour,

D'ailleurs on note aussi cet ensemble , d'où dans le cas d'ensembles finis la "jolie" formule :

[Médiat]

Bonjour,

dans le cas d'ensembles finis la "jolie" formule :

Cela marche aussi pour les ensembles infinis (avec AC, mais sans AC, la notion de cardinal est pauvre).

[PlaneteF]

Cela marche aussi pour les ensembles infinis (avec AC, mais sans AC, la notion de cardinal est pauvre).

Merci pour la précision.

Cdt