Bonjour les gens,
Voici la question :
Soient A et B deux ensembles d'un ensemble E et
f une application de P(E) ->P(A) x P(B)
X -> (X inter A , X inter B )
Question : Montrer que f est surjective ssi A inter B égal à l'ensemble vide.
J'ai presque tout essayé mais je me bloque toujours j'ai essayé l'absure pour les implications, mais c'était en vain ...
Merci d'avance
A et B deux "parties" d'un ensemble E plutot
Peut-on avoir?
Je pense, et je l'ai quand même essayé mais ce ne donne aucune contradition si A inter B est différent de l'ensemble vide , car on peut prendre X = l'ensemble vide
Il y a effectivement une erreur dans mon message précédent. Version corrigée :
Peut-on avoir
Rebonjour,
Effectivement, ca fait l'affaire .
Reste maintenant A inter B = {} implique f surjective !
Voila une démonstration pour l'implication reciproque :
On a A inter B = {}
Pour tout (Y,Z) appartenant à P (A) x P(B) , demontrons qu'il existe X tq : X inter A = Y et X inter B = Z
Y inclus dans A donc X = { Y union I / I est inclus dans le complementaire de A dans E }
Z inclus dans A donc X = { Z union J / J est inclus dans le complementaire de B dans E }
Puisque A inter B ={} donc, il suffit de prendre I = Z et J = Y
Ce qui donne X = Z union Y .
Donc f est surjective .
Est-ce juste ?
