Notion d'ensemble

[invite645500f6]

Bonjour à tous, voilà j'ai deux petites questions très simple sur les ensembles, mais qui m'embetent:

-J'ai lu sur Wikipédia qu'un ensemble ne pouvait pas contenir plusieurs fois le même élément (est-ce bien vrai?).

-Ensuite, si je considère deux ensembles E et F avec E={a,b} et F={a,c}, a,b,c des objets quelconques, a-t-on EuF={a,b,c} ou EuF={a,b,a,c}? (le deuxieme cas s'opposant logiquement à l'idée qu'un ensemble ne peut contenir plusieurs fois le même élément...).

Merci pour votre aide.
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[julien_4230]

un ensemble ne peut pas contenir plusieurs ensemble, car s'il contenant 2 fois le même ensemble, pourquoi ne le contiendrait-il pas 3 fois, 4 fois, ... , n fois, avec n => +oo ?
Donc cet ensemble serait infiniment grand, ce qui n'a pas de sens.

En plus, les éléments d'un ensemble sont par définition uniques. Il faut en effet s'intéresser à la nature du terme "ensemble", qui signifie regrouper. Tu ne peux pas regrouper 2 fois un objet, ça n'a aucun sens.

Ciao

[invitebe0cd90e]

La notion d'nesmble est plus complexe qu'elle n'y parait. Pour simplifier, la seule chose qui caracterise un ensemble c'est la relation d'appartenance: etant donné un objet a et un ensemble A, on peut se demande si la proposition "a appartient a A" est vraie ou fausse. De ce point de vue, "appartenir plusieurs foi" n'a simlement pas de sens.

De maniere plus intuitive, ca revient a dire qu'un ensemble est entierement determiné par ses elements, et uniquement par eux. Parler de l'ensemble {1,3,3} n'aurait un sens que si tu avais un moyen de differencier le premier 3 et le deuxieme 3 (par exemple leur position). Du point de vue des ensembles tu n'a pas de tel moyen. Par contre, un vecteur par exemple est caractérisé par ses éléments ET par la position a laquelle ces elements se trouvent. Donc le vecteur (1,3,3) fait sens.

[Médiat]

Pour simplifier, la seule chose qui caracterise un ensemble c'est la relation d'appartenance: etant donné un objet a et un ensemble A, on peut se demande si la proposition "a appartient a A" est vraie ou fausse. De ce point de vue, "appartenir plusieurs foi" n'a simplement pas de sens.

Il est parfaitement exact que lorsque l'on parle de la théorie des ensembles, qu'un élément ne peut appartenir qu'une fois à un ensemble, cependant dire que cela n'a pas de sens est un peu abusif, il suffit de dire que le graphe de la relation d'appartenance n'est pas un graphe simple ; il va de soi qu'ainsi on obtient une théorie différente de la théorie des ensembles, on pourrait l'appeler théorie des multi-sets (je ne connais pas le nom français). Un exemple de multi-set : les diviseurs premiers d'un nombre forment un multi-set, par exemple 12 --> {2,2,3}.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebe0cd90e]

Il est parfaitement exact que lorsque l'on parle de la théorie des ensembles, qu'un élément ne peut appartenir qu'une fois à un ensemble, cependant dire que cela n'a pas de sens est un peu abusif, il suffit de dire que le graphe de la relation d'appartenance n'est pas un graphe simple ; il va de soi qu'ainsi on obtient une théorie différente de la théorie des ensembles, on pourrait l'appeler théorie des multi-sets (je ne connais pas le nom français). Un exemple de multi-set : les diviseurs premiers d'un nombre forment un multi-set, par exemple 12 --> {2,2,3}.

Bien sur, Mediat, mais il n'empeche qu'en se basant sur la notion usuelle, intuitive d'appartenance, et en ademttant que pour etre rigoureux on considere les ensemble comme des "boites noires" qui ne peuvent que repondre par oui ou non a une question concernant l'appartenance, alors necessairement les ensemble {1,2} et {1,2,2} sont indiscernable puisqu'ils repondent de la meme facon.

Apres je ne sais pas comment sont definis les multisets, mais on peut les identifier a des ensembles de paires, genre le multiset {1,3,3,4,4,4} peut etre identifié à {{1,1},{2,3},{3,4}}, non ?

Donc je ne crois pas que la theorie des ensembles et celle des multisets soient juste 2 variantes possibles et assez proche.

[invitebe0cd90e]

Sauf si on commence a parir avec des multisets non finis, voire non denombrable... Je ne sais pas a quel point ca tient la route, mais je crois quand meme que ce qui le separe de la th. des ensemble est plus fondamental que ca.

[Médiat]

Apres je ne sais pas comment sont definis les multisets, mais on peut les identifier a des ensembles de paires, genre le multiset {1,3,3,4,4,4} peut etre identifié à {{1,1},{2,3},{3,4}}, non ?

Hum, en suivant la définition de la théorie des ensembles, {1, 1} = {1}

Donc je ne crois pas que la theorie des ensembles et celle des multisets soient juste 2 variantes possibles et assez proche.

Absolument, ce sont bien 2 thèories très différentes.

Ne te prends pas trop la tête, j'ai juste réagi à ta phrase :

"appartenir plusieurs fois" n'a simplement pas de sens

parce que je crois au contraire que cela a du sens, mais, bien sur, ce n'est pas le sens retenu en théorie des ensembles.