Y a-t-il un moyen d'exprimer r en fonction de thêta

[Matlabo]

Bonjour à tous;
On me demande de calculer l'intégrale double d'une fonction dans un domaine D défini par l’intersection du disque de centre O et de rayon 1 et du disque de
centre Ω(1, 1) et de rayon 1


l'équation des deux cercles qui définissent ces 2 disques sont x² + y² = 1 et (x-1)² + (y-1)² =1

on pourrait effectuer le calcul en restant dans la base cartésienne mais c'est assez fastidieux et la probabilité de me gourer quelque part va monter en flèche !

bref en passant au coordonnées polaires (on se centre en O et on pose x=rcosϴ et y=rsinϴ) ça pourrait être bien plus simple...

le truc c'est que je n'arrive à obtenir l'expression de r en fonction de ϴ pour le cercle de centre Ω (je sais même pas si c'est possible), en remplaçant dans l'équation y'a un carré qui sort...

je sais pas si y'a une "manip" à faire pour régler le problème

Et merci
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[gg0]

Bonjour.

L'équation d'un cercle en position générale est compliquée en polaires. Et il y a bien un r². Voir ce document.
Dans ton cas, le calcul en cartésien semble le plus simple, à priori.

Cordialement.

[Merlin95]

Je ne partirais pas sur cette méthode, mais je remarquerais qu'il suffit de considérer le carré [O, 1x, Ω, 1y], d'aire 1, et de calculer l'aire B sous la courbe (x-1)²+(y-1)²=1
Et l'aire recherchée est donc juste A=1-2B. On peut calculer B, en utilisant des changements de variable connus.

Au moins ca te donneras le resultat (2-π/2) pour valider le resultat par une autre méthode.

[gg0]

Bonjour Merlin95.

Si la fonction à intégrer est constante, ta méthode fonctionne, mais pas pour intégrer d'autres fonctions. Par exemple x+y.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Merlin95]

Oui mais ca s'intègre quand même.

Le calcul se ramène (si je ne me trompe pas) au calcul intermédiaire le plus compliqué de l'intégrale de sqrt(1-u²) qui est classique. Le reste (l'autre membre à intégrer est la constante 1) ne pose pas problème donc.

[gg0]

Désolé, je ne comprends pas.
Mais n'importe comment, on ne connaît pas la fonction que Matlabo veut intégrer sur cette lunule; il ne cherche pas l'aire de la lunule (niveau début de collège).

Cordialement.

[Merlin95]

Ok, je pensais qu'il voulait calculer l'aire de la lunule grâce à une intégrale.

[jacknicklaus]

Pas besoin d'intégrale pour l'aire de la lunule. En la coupant en 2 avec la droite passant par (1,0) et (0,1), et en appelant "a" l'aire de chaque demi-lunule, et "b" l'aire au dessus de la lunule mais en dessous du carré 1x1, on a :

2a + 2b = 1
pi/4 + b = 1

d'où aire de la lunule = 2a = pi/2 - 1


attendons que Matlabo nous indique quelle fonction il désire intégrer sur ce domaine

[Merlin95]

Oui ne serait-ce pour le fun.

(PS : du coup j'ai du faire une erreur dans mon calcul)

[Matlabo]

Re et merci pour vos retours;
Effectivement il ne s'agit pas de calculer l'aire du lunule formée (1ère fois que j'entends ce mot); la fonction à intégrer est f(x,y) = xy
en effectuant le calcul dans la base cartésienne on trouve π/4 - 2/3, et pour ce faire je suis passé par un petit changement de variable (pas le pire qui soit mais bon)

Bonjour.

L'équation d'un cercle en position générale est compliquée en polaires. Et il y a bien un r². Voir ce document.
Dans ton cas, le calcul en cartésien semble le plus simple, à priori.

Cordialement.

Du coup vous confirmez qu'il n y'a pas moyen d'exprimer r en fct de ϴ ?

[gg0]

Pour certaines valeurs de thêta, il y a deux valeurs de r. C'est normal qu'on obtienne du r² pour avoir deux solutions. C'est déjà la même chose pour le cercle en cartésien. Mais on peut exprimer les deux valeurs de r en fonction de thêta.

Cordialement.

[Matlabo]

Il se trouve que j'ai oublié qu'on pouvait factoriser un polynôme du 2nd degré
on obtient l'équation r² +r(-2cosϴ-2sinϴ) + 1 = 0, qu'on factorise wolfram

Mais oui c'est encore plus compliqué donc...

Merci !