critère de séparation et d'homogénéité d'une norme

[Matt1627]

Bonsoir, j'ai vu en cours qu'une application est une norme si elle vérifie les critères de séparation, homogénéité et d'inégalité triangulaire. Mon prof les a explicité et ma question en relisant le cours est d'où viennent les termes de séparation et d'homogénéité ? Y a-t-il une explication au fait de montrer que N(x)=0 <=> x=0 soit appelée séparation et que N(Ax)=|A|N(x) soit appelée homogénéité ? J'ai regardé une vidéo qui traite de l'aspect graphique d'une norme et il est dit que la propriété de séparation se retrouve par une figure bornée et la propriété d'homogénéité par une figure centrée en l'origine. Quelqu'un saurait-il m'expliquer si ces termes ne sont pas dus au hasard car cela j'aime bien comprendre la signification des termes au cas où je les reverrai dans d'autres chapitres ?

Merci d'avance à toute personne m'accordant un peu de son temps.
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[Anonyme007]

Bonjour,

Y a-t-il une explication au fait de montrer que N(x)=0 <=> x=0 soit appelée séparation et que N(Ax)=|A|N(x) soit appelée homogénéité ?

Si je ne m’abuse, cela signifie que, une norme préserve la notion d’espace séparé ainsi que la notion d’espace homogène.
Un espace homogène est par exemple, un cône convexe, le projectivisé d'un espace, ou une variété homogène en général. ( A vérifier pour ce point. Je ne suis pas encore sûr ).

[Anonyme007]

Voir ici, https://fr.wikipedia.org/wiki/Espace_homog%C3%A8ne pour plus de détails.

[Anonyme007]

Ce qui caractérise un espace homogène est la propriété d'isotropie. Voir ici, https://fr.wikipedia.org/wiki/Isotropie

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Bonjour Matt1627.

Ton prof a décidé de donner des noms à chacune de ces trois propriétés, c'est à lui qu'il faut demander. J'ai étudié cette notion il y a plus de 50 ans sans rencontrer cette dénomination, ce qui ne m'a jamais manqué. On peut facilement imaginer que "séparation" vient du fait que cette propriété a comme conséquence qu'un espace normé est topologiquement séparé (si deux points sont distincts, on peut trouver des boules disjointes contenant l'un et pas l'autre), et que l'homogénéité a rapport avec les changements d'échelle qui ne changent pas les rapports de normes. Mais demande-lui.

Cordialement.

[Matt1627]

Ce qui caractérise un espace homogène est la propriété d'isotropie. Voir ici, https://fr.wikipedia.org/wiki/Isotropie

Voir ici, https://fr.wikipedia.org/wiki/Espace_homog%C3%A8ne pour plus de détails.

Bonjour,



Si je ne m’abuse, cela signifie que, une norme préserve la notion d’espace séparé ainsi que la notion d’espace homogène.
Un espace homogène est par exemple, un cône convexe, le projectivisé d'un espace, ou une variété homogène en général. ( A vérifier pour ce point. Je ne suis pas encore sûr ).

D'accord, je vais regarder ça plus en détail, merci beaucoup.

[Matt1627]

On peut facilement imaginer que "séparation" vient du fait que cette propriété a comme conséquence qu'un espace normé est topologiquement séparé (si deux points sont distincts, on peut trouver des boules disjointes contenant l'un et pas l'autre)

Je crois avoir entendu d'une oreille cette idée là concernant la séparation lorsque mon prof en a parlée. Merci beaucoup

[Anonyme007]

Je crois avoir entendu d'une oreille cette idée là concernant la séparation lorsque mon prof en a parlée. Merci beaucoup

Attention. Ta question est d'ordre philosophique, et les réponses que je t'ai fourni sont utiles uniquement pour booster ta culture générale. Tu en auras pas besoin pour ton cours ou pour te préparer aux examens, c'est pourquoi je te conseille d'oublier mes réponses et te pencher juste sur la définition qui demnde un petit paragraphe à garder en tête, et l’appliquer dans des petits exercices, c'est tout.

[Anonyme007]

D'accord, je vais regarder ça plus en détail, merci beaucoup.

Attention. Ta question est d'ordre philosophique, et les réponses que je t'ai fourni sont utiles uniquement pour booster ta culture générale. Tu n'en auras pas besoin pour ton cours ou pour te préparer aux examens, c'est pourquoi je te conseille d'oublier mes réponses et te pencher juste sur la définition qui demnde un petit paragraphe à garder en tête, et l’appliquer dans des petits exercices, c'est tout.

[Matt1627]

Attention. Ta question est d'ordre philosophique, et les réponses que je t'ai fourni sont utiles uniquement pour booster ta culture générale. Tu n'en auras pas besoin pour ton cours ou pour te préparer aux examens, c'est pourquoi je te conseille d'oublier mes réponses et te pencher juste sur la définition qui demande un petit paragraphe à garder en tête, et l’appliquer dans des petits exercices, c'est tout.

Oui ça marche je comprend bien mais j'ai besoin à chaque fois d'essayer de mettre un peu plus de sens dans ce que je vois qui peut paraître abstrait.