Norme matricielle subordonnée à une norme vectorielle : démonstration de ||A||p

[invite8f6d0dd4]

Bonsoir,

On peut définir une norme matricielle comme ceci :



Dans le cas où p=1, la norme se simplifie en :



Le problème c'est que je ne vois pas du tout comment on démontre ça ?

Je sais que le sup c'est le plus petit des majorants, il faudrait que j'arrive à majorer en essayant de factoriser par un pour pouvoir simplifier avec le dénominateur mais je vois pas du tout comment faire.

Pourriez vous m'aider ?

(J'ai le même problème pour la norme 2, mais peut être que si vous m'expliquez comment faire avec la norme 1 ce sera le même principe que pour la 2)

Merci !
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[invitecbade190]

Bonsoir,

Je sais que le sup c'est le plus petit des majorants, il faudrait que j'arrive à majorer en essayant de factoriser par un pour pouvoir simplifier avec le dénominateur mais je vois pas du tout comment faire.

Alors, je suis tes indications :



edit : Faux ...

[invite8f6d0dd4]

Bonsoir,

Oui mais qu'est ce qui me dit que c'est bien le sup et pas un majorant ?

[edit] : d'ailleurs on a :

où N est le nombre de terme de la somme sur i non ?

Merci.

[invitecbade190]

Je ne comprends pas ce que tu veux dire par ta question. Que fais le terme ''majorant'' là ?
Ce qui compte, est ce que ton inégalité est valide ou pas, ça n'a rien à avoir avec qu'est ce que la différence entre sup ( qui le plus petit majorant ), et un majorant en général.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8f6d0dd4]

Ce que je veux dire c'est que le but final c'est de déterminer le sup sur x de notre grandeur ||Ax||/||x||.

Là on a exhibé un majorant mais ce qui nous intéresse c'est déterminer le sup.

[invitecbade190]

Ah d'accord, donc, tu veux dire qu'on a montré que : au lieu de : ... Oui, alors, il faut chercher s'il y'a une autre piste à suivre pour trouver le résultat escompté. Mais, pour le moment, je vois mal comment réussir ça.

[invite8f6d0dd4]

Oui, d'une part on a montré ceci au lieu de cela, mais même si on avait montré ta deuxième proposition, on aurait pas prouvé que ce majorant est bel est bien le sup (et pas un majorant quelconque).

Après peut être que c'est "compliqué" à démontrer, dans mon cours le résultat est claqué (le but du cours c'est d'utiliser le résultat pour faire des choses ensuite, la démo importe peu). Mais je ne sais pas si c'est évident à démontrer ou pas en fait.

[invitecbade190]

[invite8f6d0dd4]

Ah oui c'est tout bête... (ça fait longtemps que j'ai pas manipulé les sup)

Donc en effet il suffit de démontrer ta seconde proposition de ton avant dernier message pour arriver au résultat.

[invitecbade190]

Tiens ! La réponse se trouve ici : http://math.unice.fr/~jabin/CTD3-7.pdf , page : .

[invite8f6d0dd4]

(je peux plus éditer).

En fait je retire ce que je viens de dire, en faisant comme ça on montre juste que le sup est plus petit que le majorant mais pas qu'il est égal à celui ci, il manque donc toujours l'argument supplémentaire.

(désolé je suis plus super à l'aise avec tout ça).

[edit] : Ok je lis le lien, merci !

[invite23cdddab]

Sinon, la méthode générale pour ce genre de cas, c'est de chercher une suite de vecteurs tels que ||Ax|| tende vers le sup.