Montrer que une fraction n'est pas entière - Page 7
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Montrer que une fraction n'est pas entière



  1. #181
    Liet Kynes

    Re : Montrer que une fraction n'est pas entière


    ------

    Citation Envoyé par Biname Voir le message
    Est-ce que tu peux nous dire ce que tu as démontré ?
    Oui, il faut que je reprenne toutes les étapes intermédiaires et que je vérifie que j'ai bien éliminé toutes les conneries que j'ai pu écrire mais une démonstration formelle me semble possible.
    Je cite Wolfram dans le sens ou il permet d'avoir des expressions alternatives intéressantes pas pour les échantillonnages en fonction de n, j'ai pas trop de temps en ce moment mais je vais essayer d'écrire quelque chose de propre.

    -----
    Sans questions il n'y a que des problèmes sans réponses.

  2. #182
    Liet Kynes

    Re : Montrer que une fraction n'est pas entière

    Soit
    Avec et entiers positifs et .
    Montrer que n'est pas un entier positif pour tout (n,m) différent de (1,2)

    1/Détermination des valeurs possibles pour

    et donc

    et

    Si est la puissance de immédiatement supérieure à :

    (montré par Juzo)


    Finalement et la fraction est inférieure à 1.
    est donc disqualifié

    Donc prends les valeurs de la suite https://oeis.org/A063003 avec

    2/ Si et sont des entiers impairs et qur est entier , entier, et comme est impair, le facteur est dans (x+1) (MissJenny https://forums.futura-sciences.com/m...isibilite.html)

    Donc pour il existe tel que

    or (Juzo) la valuation 2-adique de est , puisque

    on a donc:



    soit



    avec

    et




    Si est entier alors

    est entier.


    et donc si

    n'est pas divisible par

    et cela revient à déterminer si

    et



    Comme est négatif, si est positif on confirme que ne donne pas un entier positif.

    La dernière expression à vérifier me semble assez évidente puisque et est positif
    Sans questions il n'y a que des problèmes sans réponses.

  3. #183
    Liet Kynes

    Re : Montrer que une fraction n'est pas entière

    Boulette!

    ....Comme est négatif, si est positif on confirme que ne donne pas un entier positif....
    Sans questions il n'y a que des problèmes sans réponses.

  4. #184
    Biname

    Re : Montrer que une fraction n'est pas entière

    Salut,
    Dans la première partie du msg #182 Liet démontre, comme Juzo msg #129

    qu'il n'y a qu'une seule valeur de m donnant D > 0 et D < N

    cette valeur est
    Code:
    
           m1 = 1 + int(n * log2(3))
    
       ou  m1 = int(1 + n * log2(3))
    
       ou  m1 = int(1 + n * ln(3)/ ln(2))
    
    seule m = m1 est susceptible de donner une valeur entière à notre fraction
    Code:
    
      +--------------------------------------------------------------+
      |                                                              |
      |         n     n                 n     n                      |
      |        3   - 2                 3  -  2            ?          | 
      | t(n) = ----------  = ---------------------------- = k entier |
      |         m1    n       1 + int(n * log2(3))    n              |
      |        2   - 3       2                     - 3               |
      |                                                              |
      +--------------------------------------------------------------+
    
    C'est un très grand progrès :
    il ne nous reste plus qu'une fonction en n

    Code:
    
      on va définir
    
          m0 = 0 + int(n * log2(3))   ==>  D < 0  ==> N / D < 0               k < 0 non valide
    
          m1 = 1 + int(n * log2(3))   ==>  D > 0  ==> N / D > 0               k entier est possible
    
          m2 = 2 + int(n * log2(3))   ==>  D > 0 et D > N  ==> 0 < N / D < 1  k < 1 non valide
    
    
      D étant une fonction croissante de m,
           m  <  m0  ==>  D < 0  et  N / D  <  0       k < 0 non valide
           m  >  m2  ==>  D > N  et 0 < N / D  <  1    0 < k < 1 non valide
    
    Tout ceci est redémontré ici :

     Cliquez pour afficher

    Réponse à la deuxième partie du msg #182 de Liet dans un prochain msg.

  5. #185
    Biname

    Re : Montrer que une fraction n'est pas entière

    Salut,
    réponse démo Liet msg #182, en spoiler afin de ne pas noyer le fil.
    Il y a une erreur de signe sur 3^n et donc sur 6^n, ça change tout :
     Cliquez pour afficher

  6. #186
    Biname

    Re : Montrer que une fraction n'est pas entière

    cor msg #184, une erreur qui n'en est pas une
    Code:
    
                   n     m1
         (6) ==>  3  <  2                          on inverse les termes 
    
             n       m1
          - 3  <  - 2                              on multiplie par (-1) des 2 côtés    < "corrigé"  en > à la ligne suivante
    
           m2    n    m2     m1                               m2
          2   - 3  > 2    - 2                      on ajoute 2    des 2 côtés
    

  7. #187
    Liet Kynes

    Re : Montrer que une fraction n'est pas entière

    Salut, en corrigeant l'erreur de signe pour la dernière expression à vérifier cela donne:

    ... et donc si

    n'est pas divisible par

    et cela revient à déterminer si

    et




    Comme est négatif, si est positif on confirme que ne donne pas un entier positif.

    avec wolfram https://www.wolframalpha.com/input?i...%29+-+6%5En%29
    Sans questions il n'y a que des problèmes sans réponses.

  8. #188
    Biname

    Re : Montrer que une fraction n'est pas entière

    Salut,
    Jusqu'à présent, on a rien démontré.
    Cette "conjecture" est trop belle que pour ne pas être un grand classique ! Je ne trouve pourtant rien dans la littérature à son sujet ?



     Cliquez pour afficher

    On constate que notre fraction N/D oscille entre 1 et une valeur maximale, en gros le cycle est de n=2 (le tableau donne aussi le log10 de N, D et du reste afin de montrer la taille des nombres, ici plus de 400 chiffres).

    Voici comment se distribue le quotient pour n variant de 3 à 25000
     Cliquez pour afficher


    Et voici comment le maximum et le minimum de N/D varie pour n=3 jusqu'à n = 200000
     Cliquez pour afficher

    On constate donc que N/D tend à la fois vers 1 et vers l'infini lorsque n tend vers l'infini.
    Sachant ceci, on le démontre facilement
     Cliquez pour afficher


    ????__Ma__ conclusion, seule une approche par les facteurs premiers de N et D pourrait démontrer quelque chose ????

  9. #189
    Biname

    Re : Montrer que une fraction n'est pas entière

    Salut,
    Avec ceci, le message précédent était trop long
    Pour les facteurs premiers de N et D (facteur maximum 100 : sympy.factorint(nbr, limite=100))
     Cliquez pour afficher


    Ce n'est pas évident non plus
    Dernière modification par Biname ; 31/03/2024 à 06h30.

  10. #190
    Biname

    Re : Montrer que une fraction n'est pas entière

    Petit oubli :

    L = log2(3)

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