Montrer que une fraction n'est pas entière

[Juzo]

Le fait que d'ajouter un nombre à chaque termes de la première fraction ne changerait rien au caractère indivisible de la seconde. La remarque de gg0 "N'importe quel nombre vaut n'importe quel nombre non nul multiplié par k; à moins que k désigne un entier (mais il aurait fallu le dire), et ça ne marche pas." Par contre on a déterminé des choses pour m qui sont peut-être utiles.

J'ai trouvé que la valuation 2-adique de est égale à celle de avec le plus petit terme de entier divisé par deux qui est de la forme , je gratte cela pour le moment..

Pas étonnant que la valuation 2-adique de soit , puisque ... Quant au reste je n'ai rien compris. Que veut dire une fraction "indivisible" (est-ce irréductible ?), en quoi est-ce qu'on "ajoute" un nombre à chaque terme de la 1ère fraction dans ta proposition (je dirais plutôt qu'on multiplie chaque terme à l'intérieur de la fraction), que veut dire "le plus petit terme entier divisé par 2", que veut dire "de la forme " ( est-il entier ?) Bref j'ai du mal à voir où ça mène pour l'instant.
-----

[Juzo]

Les relations qui sont établies pour l'instant sont, avec un nombre entier impair :

• 

• 

• 

• 

• 

Si la solution unique est démontrée.

[Liet Kynes]

que veut dire "le plus petit terme entier divisé par 2", que veut dire "de la forme " ( est-il entier ?) Bref j'ai du mal à voir où ça mène pour l'instant.

oui x est un entier: pour les fractions que nous considérons la somme des termes divisée par n fois par deux donne un nombre de Mercenne

Pour n = 4 la fraction est 3^4-2^4/2^7-3^4 et 3^4-2^4+2^7-3^4=47+65=112 et 112/2^4=7

[gg0]

Liet Kynes, je sais que tu n'es pas bon en maths, mais calculer 3^4-2^4+2^7-3^4 sans d'abord simplifier par 3^4 est révélateur d'une incompétence crasse, surtout après le message #151 de Juzo. C'est à 13 ans qu'on sait simplifier ce genre de calcul et factoriser le 2^4. Tu es inconséquent !

[Liet Kynes]

J ai déjà parlé de la simplification 2^M-2^n et c est volontairement que je laisse cela sous la forme des termes de la fraction étudiée, je donnerai ce soir plus d explications, sur la valuation 2 adique de la somme de deux nombres impaires ,termes d une fraction et les propriétés de divisibilité;pas le temps maintenant

[Liet Kynes]

Bon j'ai un peu plus de temps:

On considère la fraction de deux nombres impairs avec
La somme donne un nombre impaire, que je note S qui a une valuation 2-adique que je note v(S). On a vu que
Je note le résultat de .

et donc

Si est un diviseur entier de tel alors est un diviseur entier de et on a vu que s'incrémente de 1 ou 2 quand s'incrémente de 1 et ne s'incrémente jamais de 2 trois fois de suite.
Il faut donc que soit au plus égale à pour être un potentiel diviseur entier de .
On en déduit que les valeurs de suivent l'incrémentation de .
À partir de cela il me reste à montrer que est forcément toujours supérieur à

Valeurs de k pour n de 0 à 15 : 1 1 3 3 7 7 15 31 31 63 63 127 255 255 511

[gg0]

C'est toujours n'importe quoi ! Avec l'énormité "La somme donne un nombre impaire (sic)," alors qu'il y a 2500 ans qu'on sait démontrer (correctement) "par le pair et l'impair" comme le disaient les grecs. et que la somme de deux impairs est paire.

Comme d'habitude, tu généralises bêtement une situation particulière ! Ton "On a vu que " ne parle pas de ce qui précède, mais de cas particuliers que tu as rencontré avant.

J'arrête là, car qui va lire quelqu'un qui raconte n'importe quoi ?
Arrête de faire du remplissage, tu es ridicule.

[Liet Kynes]

C'est toujours n'importe quoi ! Avec l'énormité "La somme donne un nombre impaire (sic)," alors qu'il y a 2500 ans qu'on sait démontrer (correctement) "par le pair et l'impair" comme le disaient les grecs. et que la somme de deux impairs est paire.

Comme d'habitude, tu généralises bêtement une situation particulière ! Ton "On a vu que " ne parle pas de ce qui précède, mais de cas particuliers que tu as rencontré avant.

J'arrête là, car qui va lire quelqu'un qui raconte n'importe quoi ?
Arrête de faire du remplissage, tu es ridicule.

Oui bon j'ai écrit impair à la place de pair, cela n'enlève rien au reste que tu n'as donc pas pris la peine de bien regarder.. le "on a vu que " est expliqué dans le message 151 de Juzo

Pas étonnant que la valuation 2-adique de soit , puisque

[Liet Kynes]

Ben ... 256-81 = 175 peut tout à fait être un dénominateur. Pourquoi ne considérer que le premier m pour lequel 2^m-3^n est positif ?

Là c'est pareil on a vu que c'est bien le premier. C'est aussi montré par Juzo

[Biname]

Salut,
La "loi" suivante doit être vieille de plus de ???2000??? ans, mais il est bon de le rappeler ici :


Démo :

 Cliquez pour afficher

 on peut généraliser :
 pour a, b, c, d entiers positifs

  si c et d sont premiers entre eux
     a      b 
  +-c  -+  d   n'est jamais multiple de c ou de d

  si multiple de d :
     a      b  ?
  +-c  -+  d   = k * d

      a ?            b 
  +-c   = k * d  +- d

     a  ?            d - 1
  +-c   = d * (k +- b     )
         \_/ 
         |   d est premier avec c par hypothèse,
         |   d ne peut pas être un facteur de c
         \_________________

  n d ni c ne divisent (+-c  +- d )   (même démo pour c)

                           n    n     m    n       m     n
  ni 2 ni 3 ne divisent  (3  - 2 ), (2  - 3 ), (+-3  +- 2 )

De même que toute addition ou soustraction de 2^n et de 3^n :

Une fois les solutions (n=1, m=2), (n=2, m=3) trouvées en faisant D = 1 et D = -1,
on peut affirmer que pour trouver d'autres solutions (MissJenny msg #30) le dénominateur
D >= 5 et que N >= 5 car N >= D

D = 1 une seule solution possible
D = 2 impossible, D est impair
D = 3 impossible, on vient de le démontrer
D = 4 impossible, D est impair

On a donc D >= 5 qui implique N >= 5

[Liet Kynes]

J'ai terminé de "gratter" l'idée du message #156.

On a

soit


On a aussi


Si divise tel que est entier alors est entier.

On pose .

Donc


La question est: est-ce que est un entier ?

On a :



et comme ne peut être entier que si car et car

donc les seules solutions sont et

[gg0]

Encore un raisonnement faux, absurdement faux !
2=1,5+0,5 et 1,5 n'est pas entier donc 2 n'est pas entier.

Le fond du trou !

[Liet Kynes]

Encore un raisonnement faux, absurdement faux !
2=1,5+0,5 et 1,5 n'est pas entier donc 2 n'est pas entier.

Le fond du trou !

Je comprends pas. 1/x est entier si seulement si x=1 non ?

[Liet Kynes]

Je comprends pas. 1/x est entier si seulement si x=1 non ?

Ah ca y'est j'ai compris mon erreure, j'ai conclu trop vite:

Correction:

J'ai terminé de "gratter" l'idée du message #156.

On a

soit


On a aussi


Si divise tel que est entier alors est entier.

On pose .

Donc


La question est: est-ce que est un entier ?

On a :



et comme ne peut être entier que si car et car

donc les seules solutions sont et si est entier.

Heureusement qu'il y a un animateur maths dans ce forum: merci gg0

[gg0]

Conclusion sans intérêt.

Tu continues à brasser du vent.

[Liet Kynes]

Conclusion sans intérêt.

Tu continues à brasser du vent.

Oui retour case départ car si et ne sont pas des entiers pour n>1 , ce qui semble être le cas rien n'empêche que soit un entier

Il faut peut-être s'intéresser à la "périodicité" de ? -> la partie entière de m étant déterminée par et fais que l'on ne peut pas trouver de preuve ?

[Biname]

Salut,

On va démontrer qu'il existe une solution pour n = infini et que donc notre démonstration est impossible.




Il reste à démontrer qu'il n'y pas d'autres solutions pour n > 2 (détails voir annexe 1 ci-dessous)

Démo : (le mode texte sous code est AMA plus lisible, voir ci-dessous)
Le dénominateur est une fonction croissante de m et il devient positif en


La première valeur positive entière du dénominateur est





plus n est grand, plus la partie décimale de n * log2(3) est négligeable
c'est la clé de la démo





wolfram limite : lim n=>inf (3^n - 2^n)/(2^(1 + n*log2(3)) - 3^n) :
https://www.wolframalpha.com/input?i...29+-+3%5En%29+

Pour mieux comprendre le code qui suit, on va aussi calculer, la deuxieme valeur positive du dénominateur



wolfram limite : lim n=>inf (3^n - 2^n)/(2^(2 + n*log2(3)) - 3^n) :
https://www.wolframalpha.com/input?i...29+-+3%5En%29+

Il n'y a donc bien qu'une seule valeur de m pour laquelle 0 < D < N

Code Python montrant qu'il n'y a pas de solution pour 2 < n < 100001

 Cliquez pour afficher

# code demo :  2 < n < 100001  ~300 secondes
from math import log2, log10
import time

n_min = 3           # testé de 3 jusqu'à  100000, temps de calcul fois 5 si n_max fois 2 
n_max = 10000       

s_out = f"\nPour {n_min} < n < {n_max} : "
count_solutions = 0
count_D2_inf_N = 0
start_time = time.perf_counter_ns()

for n in range (n_min, n_max + 1):
    N = 3**n - 2**n
    m = 1 + int(n * log2(3))
    D0 = 2**(m-1) - 3**n
    D1 = 2**m - 3**n               # D(m)    premier D positif  
    D2 = 2**(m+1) - 3**n           # D(m+1)
    Q1, R1 = divmod(N, D1)
    if R1 == 0:
        s_out += f"(n = {n}, N/D1 = {Q1}),"
        Count += 1

    Q2, R2 = divmod(N, D2)
    if R2 == 0:
        s_out += f"\n     n = {n:>5}, N/D2 = {Q2})"
        Count += 1
    
    if D2 < N:
        count_D2_inf_N += 1

print (f"\n{s_out}\n    Solutions Found Count = {count_solutions}\n    D2 < N count = {count_D2_inf_N}")

print(f"\n   Vérifie que D0(m-1) < 0 < D1(m) < N < D2(m+1) pour la dernière valeur de n avec m = 1 + int(n * log2(3))")
if D0 < 0:
    print(f"         Log10(|D0(n={n},m={m-1})|) = {log10(abs(D0))}   D0 est négatif")
else:
    print(f"         Log10( D0(n={n},m={m-1}) ) = {log10(D0)}")
    
print(f"         Log10( D1(n={n},m={m}) ) = {log10(D1)}")
print(f"         Log10(  N(n={n},m={m}) ) = {log10(N)}")
print(f"         Log10( D1(n={n},m={m+1}) ) = {log10(D2)}")


end_time = time.perf_counter_ns()
elapsed_time = (end_time - start_time) / 1000
print(f'\nTemps de calcul : {elapsed_time/1000:.3f} millisecondes\n\n')

Annexe 1 : ce qu'on a établi

 Cliquez pour afficher

A) L'énoncé

    n > 0,  m > n,  p > 0 et m, n et p entiers positifs   ?? et t > 0 ??
    m peut toujours s'écrire m = n + p
   
                n    n
               3  - 2       N
    t(n,p) = ----------- = --- = k
              n + p    n    D
             2      - 3


 
 B) on cherche des valeurs entières de t(n,p)

    1) on a une infinité de solutions pour m = n,  t(n, n) = -1

    2) N est entier, donc si D = 1 ou D = -1, k est entier

       Conjecture de Catalan, merci MissJenny msg #30 :
          https://fr.wikipedia.org/wiki/Conjecture_de_Catalan :
          <<
           ... démontrée en 2002 ...

          "Les deux seules puissances parfaites consécutives sont 8 et 9"
                                     3     2
          qui valent respectivement 2  et 3

          (Une puissance parfaite est un entier > 1 élevé à une puissance entière > 1, comme 6^4) 

          La démonstration fait un important usage de la théorie des corps cyclotomiques et des modules de Galois
          >>
           q    r                              2    3         3    2
       ou a  - b  =  +-1  n'est vrai que pour 3  - 2  = 1 ou 2  - 3  = -1


       cas D = 1
           n+p     n 
          2    -  3  = +1  >>>> n = 1, p = 1,  m = 2  >>>> k = +1
          n = 1 : cas trivial unique  (Catalan n > 1)


       cas D = -1
           n+p     n 
          2    -  3  = -1  >>>> n = 2, p = 1,  m = 3  >>>> k = -1
          Catalan : une seule solution


 C) il reste à démontrer qu'il n'y pas d'autres solutions que celles-là
    c.à.d. : pour n > 2 ou D < -1 ou D > 1

Annexe 2 : demo en mode texte

 Cliquez pour afficher

  Le dénominateur est une fonction croissante de m et il devient positif en

     m0 = n * log2(3)

  La première valeur positive entière du dénominateur est

          1 + int (n * log2(3))    n
     D = 2                      - 3 

  La limite pour n => infini de int(n * log2(3)) = n * log2(3)
     plus n est grand, plus la partie décimale de n * log2(3) est négligeable
     c'est la clé de la démo

  on va calculer la limite de N/D pour n => inf

                 n    n             
   N            3  - 2
  --- = ------------------------    la lim = 1   cqfd      (voir wolfram ci-dessous)
   D      1 + n * log2(3)    n
         2                - 3
wolfram limite : lim n=>inf (3^n - 2^n)/(2^(1 + n*log2(3)) - 3^n) :
https://www.wolframalpha.com/input?i=lim+n%3D%3Einf+%283%5En+-+2%5En%29%2F%282%5E%281+%2B+n*log2%283%29%29+-+3%5En%29+

  Pour mieux comprendre le code qui suit, on va aussi calculer, la deuxieme valeur positive du dénominateur

               n    n             
 N            3  - 2
--- = ------------------------    la lim = 1/3
 D      2 + n * log2(3)    n
       2                - 3
wolfram limite : lim n=>inf (3^n - 2^n)/(2^(2 + n*log2(3)) - 3^n) :
https://www.wolframalpha.com/input?i=lim+n%3D%3Einf+%283%5En+-+2%5En%29%2F%282%5E%282+%2B+n*log2%283%29%29+-+3%5En%29+
Il n'y a donc bien qu'une seule valeur de m pour laquelle 0 < D < N

[gg0]

C'est encore n'importe quoi. "infini" n'est pas un entier.

Au passage, la preuve de la limite égale à 1 est de niveau L1 (terminale S il y a 20 ans) :

puisque 2/3<1 (avant dernière étape : division par ). C'est amusant de voir ce terme reproduit à l'envi alors qu'il se simplifie fortement et vaut . Bonne indication de manque de compétences élémentaires.
Et tout ça pour rien, car dans la question initiale, ce n'est pas ce D là qui intervient.

Mais à force d'approximations, vous vous êtes convaincu d'avoir prouvé, sans jamais le faire. Avec des approximations comme "plus n est grand, plus la partie décimale de n * log2(3) est négligeable" qui ne servent pas (même si c'est une évidence, un nombre entre 0 et 1 est effectivement de plus en plus faible par rapport à un nombre qui tend vers 0). Le problème est l'erreur de remplacer par .

Enfin, il s'agit ici d'arithmétique, et approximer des entiers par des non entiers fausse tous les raisonnements.

[Liet Kynes]

[Biname]

Ton D et mon D sont égaux, plutôt que prendre des logarithmes népériens, on prend des logarithmes en base 2 et log en base 2 de 2 = 1. Le 1 peut sortir du int :
int(1 + n * 1.584...) = 1 + int(n * 1.584...)

[Biname]

Salut,
gg0 msg #168
D'accord, l'infini n'est pas un entier, et oui, je n'y avais pas pensé.

Répéter à l'envi, non, je ne peux faire "sauter" le int que pour n=infini.

Le code du msg #167 permet de montrer en 300 secondes de calcul que pour 2 < n < 100000, m=1 + int(n * log2(3)) est la seule valeur entière de m donnant un dénominateur entier plus grand que zéro et inférieur au numérateur, la seule seule solution possible ; je cherche la limite de la fonction pour cette valeur de m.

Pour n = 100000, le log10(numérateur) > 47000, itou pour log10(D).

[Liet Kynes]

Un raisonnement par l'absurde ?
On a

soit

avec

On a aussi


Si divise tel que est entier alors est entier.



On peut calculer un intervalle pour :

donc on a pour :

1 est toujours inférieur à D donc on cherche à répondre à la question de savoir si

[Liet Kynes]

Rectificatif
Un raisonnement par l'absurde ?
On a

soit

avec

On a aussi


Si divise tel que est entier alors est entier.



On peut calculer un intervalle pour :

donc on a pour :

1 est toujours inférieur à D donc on cherche à répondre à la question de savoir si

[Liet Kynes]

Rectificatif
Un raisonnement par l'absurde ?
On a

soit

avec

On a aussi


Si divise tel que est entier alors est entier.



On peut calculer un intervalle pour :

donc on a pour :

1 est toujours inférieur à D donc on cherche à répondre à la question de savoir si

Pour la valeur haute de ,

et

Je ne sais pas si cela tient la route ?

[Liet Kynes]

J'ai corrigé mes erreurs:

Un raisonnement par l'absurde ?

On a



soit



avec

On a aussi




Si est entier alors est entier.


Comme


On peut calculer un intervalle pour :

et donc on a pour :

1 est toujours inférieur à D donc on cherche à répondre à la question de savoir si

[Liet Kynes]

J'ai re-re-corrigé les erreurs:


On a



soit



avec

On a aussi




Si est entier alors

est entier.


et donc si

n'est pas divisible par

et cela revient à déterminer si

Wolfram semble le confirmer: https://www.wolframalpha.com/input?i...82%29%29-3%5En

[Biname]

Salut,
msg #176

Voici un code python qui vérifie ton inégalité pour 2<n<20000

 Cliquez pour afficher

from math import log2, log10

print (f"\n\nFonctions calculées :\
\n    exp   = int(1 +  n * int(log2_3))\
\n    verif = 2**(exp - n) - 1 - 2**exp - 3**n < 0")

import time
start_time = time.perf_counter_ns()

list_error = []

log2_3= log2(3)              # log2(3) = ln(3)/ln(2) = log10(3)/log10(2) = log2(3)/log2(2) = log2(3) car log2(2) = 1

# coeur du code 
n_max = 20000
for n in range(3, n_max + 1):
    exp = int(1 +  n * int(log2_3))
    verif = 2**(exp - n) - 1 - 2**exp - 3**n
    if verif >= 0:
        list_error.append(f"err : n={n:>6}  verif = {verif}")
print (f"\nLiet func error found list = {list_error}")

print (f"\nlog10(-Vérif(n={n})) = {log10(abs(verif))}")       # verif est tjrs négatif pb log 

print(f"\nVérif (n={n}) = {verif}")

end_time = time.perf_counter_ns()
elapsed_time = (end_time - start_time) / 1000
print(f'\nTemps de calcul : {elapsed_time/1000:.3f} millisecondes\n\n')

Et voici sa sortie, le nombre verif(20000) compte 9542 chiffres

 Cliquez pour afficher

Fonctions calculées :
    exp   = int(1 +  n * int(log2_3))
    verif = 2**(exp - n) - 1 - 2**exp - 3**n < 0

Liet func error found list = []

log10(-Vérif(n=20000)) = 9542.42509439325

Vérif (n=20000) = 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31171697932708881558678385442510209737545309166472657950015278282879551178818795637324223433372146404733016205550586004519270141656395371692837223129916322304806366278771792798709660085052098855670122766720187274762404557151467851397061933078237118473016034448805212049424523313150240968289561641936256256259920498011820425987252588502962409588880877902187220682811917812329367792455577009005076214596807499855674328931625991247074127429804031314913668949581111055456949490375346344606722194568069467781280352879371007124332626157103214296744121112565355595215941270542094439098597576530602952826958218328498992863975434024385794019350901914838106322297795817571629619343533559296293735135866497358468945319340957428118457383376548385998631746620630365199604846124910039821784971980866489681403756568068501301385143609852414928904770860594097513755366656272656686783306304095683092646891146931241119347679569992946465063472939960131263416315607797898316718529373528908372300033169849107686027781093303572629802191313322911825328553280694094430347920423468000513523042060174751774195599640758311413708238452082146251350533017188637460788652019770284786969850860779926946379244976487876360970081543512484422938015446277624236800423079341945273840899437744199503742776224499248713912198271166365708407887215612021085702508251609517861556927947003261581572209513292060150616706013748794523725914637557183484294780910455164000065246191524994653308413277882016060896677965785249910670761826567862415464996297346784920449673769226665225204368163562271546222597322715489355693684026931353788634566213360992238034839033760339809357067224922775226466101220742897521422048177638909870907775791412509603965783143317057565580523623413290642050488948130199012253686801893027963056747445772156801395979451764569433579685018100426483353086251590286505235527342367876197904982999094738560713842786881913971057742361040214020046619005756997207937839784715274223018938544414224442328865997824258405124449621659284302704270966531901280608866781605057945714610907937281561044957232391674333118164277329612892409079141061348174115497563040749645636701965581681047820670254818810588270411304449822164812795335914543891574129809775682106351539090377363358981058955100543743803234358911660376015937953089502453160936464043307315376513922858470328061395227138072653856549920053194378694515955542387198951171743131666213333076199156164902939572974532270256114104858035609931622302808241801930048004345430380651492595504608448111023846708299393855673514459855838427905400883878472219176791307494535285985584002588325743963692682969185762192965558038899570301192588106440772119174155162255772548377664382552850738893959084926971559385181548980703202424659212888608913186849586490662996559298036646222331460846969589910308638681592083527920448371000095028818733960157020520172375751389452875017297775664104740177961523904132807882876239659173438642186365430474650830007379070895126729375422898981452726669830749712403175994711618008725344485345683152468405302252507993817878571748066562525867703978428404097111901123523535050299077622610445961934208393536156633391139187509972059523382938725215873334138545112811667596844382935178226104131584461182100271180928771009223486081384530636624655582786984292566305365796135600211935022102416646710589845785546540427816856752856682067163046048645438261006979091669483139088343652492127378967388789323062201204178542502526898228795218827690478303751367174100992849711533849286226688880388660578637942643736115125173630138144023172047973986127371970595343186593050326370662962289630070508965310537524784684979762847554462379594563914648564274565595278241788500548678803385703074316226444170275946558534374837660929955083473543984470338215445100320440619493447777566381002908303789907173378439972083495110368553528707960859229346216491704948289295703152832818222913743453920686151641867758203043016106492767223167514349603773067353047131914297739754388779872180042427072603539874731285539271053453755434708895470131001681360529390384490500341202956860602473474029757439062273297833745756422006119830301200242766742728387805705751649672892312493596672790928949648088922198734917458659158075981492032863703455142809350835269257815533315222042769498348837420052120490101823144309304623944942962912340934706716943169392582417229386006665697858204770908941762796573851780062515693708788269041450956097619275145544084735154493834505759913258227679279047995823558853743366045111010422308971636122798676739406043277554594778592178579917018752

Temps de calcul : 1521.157 millisecondes

[Liet Kynes]

Cela ne sert à rien de tester de cette façon.

Pour déterminer si

Wolfram donne une expression alternative :

est négatif donc si est positif on confirme que ne donne pas un entier positif.

La dernière expression à vérifier me semble assez évidente puisque

[Biname]

Salut,

Cela ne sert à rien de tester de cette façon.

C'est vrai, on ne démontre rien ainsi, ton appel à Wolfram ne fait pourtant rien d'autre, et Wolfram s'arrête à n=10, je te donne un code qui lui le montre jusqu'à n=30000 en 1 seconde.

 Cliquez pour afficher

Pour déterminer si

Wolfram donne une expression alternative :

est négatif donc si est positif on confirme que ne donne pas un entier positif.

La dernière expression à vérifier me semble assez évidente puisque

Qui peut s'écrire :




Est-ce que tu peux nous dire ce que tu as démontré ?

[Biname]

Salut,
Voici les résultats d'un code qui montre en 100 secondes que pour 2 < n < 100000, notre fraction (3^n - 2^n)/(2^m - 3^n) ne prend jamais une valeur entière positive(demande msg #18)
Sortie du code :

Fonctions calculées
    m  = 1 + int(n * log2(3))
    D0 = 2**(m-1) - 3**n
    D1 = 2**m - 3**n               # D(m)    premier D positif
    D2 = 2**(m+1) - 3**n           # D(m+1)  est tjrs > N

Pour 3 < n < 100000 : 
    Nombre de solutions entières trouvées : 0
    Nombre de cas où  D2 < N   : 0

Pour la dernière valeur de n soit n = 100000, on a  m = 158497 :
   Montre que   D0(m-1)  <  0  <  D1(m)  <  N  < D2(m+1)  :  D(m) est croissant
         Log10(-D0(n=100000,m=158496) ) =~ 47711.327267   D0 est négatif, si non plante
         Log10( D1(n=100000,m=158497) ) =~ 47711.959071
         Log10(  N(n=100000,m=158497) ) =~ 47712.125472
         Log10( D2(n=100000,m=158498) ) =~ 47712.499012

Temps de calcul : 104 secondes

Il montre aussi que pour 2 < n < 100000, pour chaque valeur de n, il n'y a qu'une seule valeur de m donnant D > 0 et D <= N, c'est à dire une seule valeur de m susceptible de donner une fraction entière positive, cette valeur de m est m = 1 + int(n * log2(3)) = 1 + int(n * log(3)/log(2)).

Le code :

 Cliquez pour afficher

# code demo :  2 < n < 100001  ~105 secondes
from math import log2, log10
import time

print(f"\n\nFonctions calculées\
\n    m  = 1 + int(n * log2(3))\
\n    D0 = 2**(m-1) - 3**n\
\n    D1 = 2**(m-0) - 3**n           # D(m)    premier D positif\
\n    D2 = 2**(m+1) - 3**n           # D(m+1)  est tjrs > N")

n_min = 3           # testé de 3 jusqu'à 100000, temps de calcul fois 5 si n_max fois 2 
n_max = 100000      

s_out = f"\nPour {n_min} < n < {n_max} : "
count_solutions = 0
count_D2_inf_N = 0
start_time = time.perf_counter_ns()

for n in range (n_min, n_max + 1):
    trois_exp_n = 3**n
    deux_exp_n = 2**n
    N = trois_exp_n - deux_exp_n            #3**n - 2**n
    m = 1 + int(n * log2(3))
    
    # code 3 x plus rapide, verifié mêmes résultats  (100000 : 105 s)
    deux_exp_m_m_1 = 2**(m - 1)
    D0 = deux_exp_m_m_1 - trois_exp_n                   # 2**(m-1) - 3**n
    D1 = deux_exp_m_m_1 * 2 - trois_exp_n               # 2**m - 3**n               # D(m)    premier D positif  
    D2 = deux_exp_m_m_1 * 4 - trois_exp_n               # 2**(m+1) - 3**n           # D(m+1)

    Q1, R1 = divmod(N, D1)
    if R1 == 0:
        s_out += f"(n = {n}, N/D1 = {Q1}),"
        Count += 1

    Q2, R2 = divmod(N, D2)
    if R2 == 0:
        s_out += f"\n     n = {n:>5}, N/D2 = {Q2})"
        Count += 1
    
    if D2 < N:
        count_D2_inf_N += 1

print (f"\n{s_out}\n    Nombre de solutions entières trouvées : {count_solutions}\
\n    Nombre de cas où  D2 < N   : {count_D2_inf_N}")

print(f"\nPour la dernière valeur de n soit n = {n}, on a  m = {m} :\
\n   Montre que   D0(m-1)  <  0  <  D1(m)  <  N  < D2(m+1)  :  D(m) est croissant")

if D0 < 0:
    print(f"         Log10(-D0(n={n},m={m-1}) ) =~ {log10(-D0):>.6f}   D0 est négatif, si non plante")
else:
    print(f"         Log10( D0(n={n},m={m-1}) ) =~ {log10(D0):>.6f}")
    
print(f"         Log10( D1(n={n},m={m}) ) =~ {log10(D1):>.6f}")
print(f"         Log10(  N(n={n},m={m}) ) =~ {log10(N):>.6f}")
print(f"         Log10( D2(n={n},m={m+1}) ) =~ {log10(D2):>.6f}")


end_time = time.perf_counter_ns()
elapsed_time = (end_time - start_time) / 1000
print(f'\nTemps de calcul : {elapsed_time/1000:.3f} millisecondes\n\n')

'''
Sortie du code :

Fonctions calculées
    m  = 1 + int(n * log2(3))
    D0 = 2**(m-1) - 3**n
    D1 = 2**m - 3**n               # D(m)    premier D positif
    D2 = 2**(m+1) - 3**n           # D(m+1)  est tjrs > N


Pour 3 < n < 100000 : 
    Nombre de solutions entières trouvées : 0
    Nombre de cas où  D2 < N   : 0

Pour la dernière valeur de n soit n = 100000, on a  m = 158497 :
   Montre que   D0(m-1)  <  0  <  D1(m)  <  N  < D2(m+1)  :  D(m) est croissant
         Log10(-D0(n=100000,m=158496) ) =~ 47711.327267   D0 est négatif, si non plante
         Log10( D1(n=100000,m=158497) ) =~ 47711.959071
         Log10(  N(n=100000,m=158497) ) =~ 47712.125472
         Log10( D2(n=100000,m=158498) ) =~ 47712.499012

Temps de calcul : 103910.314 millisecondes

'''

Soulignons que python nativement traite des entiers de taille illimitée, D(n=100000) est un nombre entier de plus de 40000 chiffres, tous les chiffres sont traités, il n'y a aucun arrondi.