Montrer que une fraction n'est pas entière

[Biname]

Salut,

Pour le m minimum il y a la relation suivante: et donc
Le "m minimum" donnant la première valeur positive

Tu complexifies , ta relation s'écrit
Qui donne pour n = 1 m_min = 1 et D = -1, pour n = 2 m_min = 2 et D = -5, pour n = 3 m_min = 6 et D = 37

C'est inexacte.

Pour N = 1 m_min = 2 donne D = 7, pour n = 2 m_min = 4 donne D = 7, pour N = 3 m_min = 5 et D = 5

 Cliquez pour afficher

D =      1 | m_min =   2 | <<< m= 1 + int (n *log(3)/log(2)) ||| n = 1 = n ||| liet >>> |   1 = m_min | D = -1
D =      7 | m_min =   4 | <<< m= 1 + int (n *log(3)/log(2)) ||| n = 2 = n ||| liet >>> |   2 = m_min | D = -5
D =      5 | m_min =   5 | <<< m= 1 + int (n *log(3)/log(2)) ||| n = 3 = n ||| liet >>> |   6 = m_min | D = 37
D =     47 | m_min =   7 | <<< m= 1 + int (n *log(3)/log(2)) ||| n = 4 = n ||| liet >>> |   8 = m_min | D = 175
D =     13 | m_min =   8 | <<< m= 1 + int (n *log(3)/log(2)) ||| n = 5 = n ||| liet >>> |  15 = m_min | D = 32525
D =    295 | m_min =  10 | <<< m= 1 + int (n *log(3)/log(2)) ||| n = 6 = n ||| liet >>> |  18 = m_min | D = 261415
D =   1909 | m_min =  12 | <<< m= 1 + int (n *log(3)/log(2)) ||| n = 7 = n ||| liet >>> |  21 = m_min | D = 2094965
D =   1631 | m_min =  13 | <<< m= 1 + int (n *log(3)/log(2)) ||| n = 8 = n ||| liet >>> |  32 = m_min | D = 4294960735      
D =  13085 | m_min =  15 | <<< m= 1 + int (n *log(3)/log(2)) ||| n = 9 = n ||| liet >>> |  36 = m_min | D = 68719457053

-----

[Liet Kynes]

Salut,

Tu complexifies , ta relation s'écrit

J'ai corrigé et je trouve pareil que toi avec

[Biname]

Je viens de regarder et j'ai écrit une connerie-> correction:

Pour le m minimum il y a la relation suivante:
Le "m minimum" donnant la première valeur positive

Là, on est d'accord :

 Cliquez pour afficher

D =      1 | m_min =   2 | <<< m= 1 + int (n *log(3)/log(2)) ||| n = 1 = n ||| liet >>> |   2 = m_min | D = 1
D =      7 | m_min =   4 | <<< m= 1 + int (n *log(3)/log(2)) ||| n = 2 = n ||| liet >>> |   4 = m_min | D = 7
D =      5 | m_min =   5 | <<< m= 1 + int (n *log(3)/log(2)) ||| n = 3 = n ||| liet >>> |   5 = m_min | D = 5
D =     47 | m_min =   7 | <<< m= 1 + int (n *log(3)/log(2)) ||| n = 4 = n ||| liet >>> |   7 = m_min | D = 47
D =     13 | m_min =   8 | <<< m= 1 + int (n *log(3)/log(2)) ||| n = 5 = n ||| liet >>> |   8 = m_min | D = 13
D =    295 | m_min =  10 | <<< m= 1 + int (n *log(3)/log(2)) ||| n = 6 = n ||| liet >>> |  10 = m_min | D = 295
D =   1909 | m_min =  12 | <<< m= 1 + int (n *log(3)/log(2)) ||| n = 7 = n ||| liet >>> |  12 = m_min | D = 1909
D =   1631 | m_min =  13 | <<< m= 1 + int (n *log(3)/log(2)) ||| n = 8 = n ||| liet >>> |  13 = m_min | D = 1631
D =  13085 | m_min =  15 | <<< m= 1 + int (n *log(3)/log(2)) ||| n = 9 = n ||| liet >>> |  15 = m_min | D = 13085


code python :

from math import log, sqrt

for n in range (1,10):
    biname = 1 + int(n * log(3) / log(2))
    # liet = n * (1 + int(n * (sqrt(2) - 1)))    # premier
    liet = 2 * n - int(n * (sqrt(2) - 1))        # cor

    print (f"D = {2**biname - 3**n:>6} | m_min = {biname:>3} | <<< m= 1 + int (n *log(3)/log(2)) ||| n ={n:>2} = n ||| liet >>> | {liet:>3} = m_min | D = {2**liet - 3**n}")

Comment on passe du log à la racine carrée de 2 ?

[Liet Kynes]

Comment on passe du log à la racine carrée de 2 ?

J'ai une meilleure question:Comment on passe de la racine carrée de 2 au log ?

[Biname]

J'ai corrigé et je trouve pareil que toi avec

n = 41 est la première valeur de n ou nos formules divergent.

 Cliquez pour afficher

n=41  m_min biname different m_min liet
D =        420491770248316829 | m_min =  65 | <<< m= 1 + int (n *log(3)/log(2)) ||| n =41 = n ||| liet >>> |  66 = m_min | D = 37313979917667420061
n=70  m_min biname different m_min liet
D = 92992924274172212949676178524199 | m_min = 111 | <<< m= 1 + int (n *log(3)/log(2)) ||| n =70 = n ||| liet >>> | 112 = m_min | D = 2689141353541586027214924343134247
n=82  m_min biname different m_min liet
D = 30850002954640544008749537869623167415 | m_min = 130 | <<< m= 1 + int (n *log(3)/log(2)) ||| n =82 = n ||| liet >>> | 131 = m_min | D = 1391979470638394397862247967596696013239
n=94  m_min biname different m_min liet
D = 6658797337875234031939788887132653648015943 | m_min = 149 | <<< m= 1 + int (n *log(3)/log(2)) ||| n =94 = n ||| liet >>> | 150 = m_min | D = 720282643690855174561082773611880221839389255


 Nombre de différences pour n variant de 1 à 100 : 4 différences

 Liste des n donnant des différences pour m-min :
 [41, 70, 82, 94]


code python

from math import log, sqrt

count = 0
n_max = 100
list_n_diff = []
for n in range (1,n_max+1):
    biname = 1 + int(n * log(3) / log(2))
    # liet = n * (1 + int(n * (sqrt(2) - 1)))
    liet = 2 * n - int(n * (sqrt(2) - 1))

    #print (f"D = {2**biname - 3**n:>25} | m_min = {biname:>3} | <<< m= 1 + int (n *log(3)/log(2)) \
    #||| n ={n:>2} = n ||| liet >>> | {liet:>3} = m_min | D = {2**liet - 3**n}")        

    if liet != biname:
        print (f"n={n}  m_min biname different m_min liet")
        count += 1
        list_n_diff.append(n)
        print (f"D = {2**biname - 3**n:>25} | m_min = {biname:>3} | <<< m= 1 + int (n *log(3)/log(2)) n ={n:>2} = n ||| liet >>> | {liet:>3} = m_min | D = {2**liet - 3**n}")        

print (f"\n\n Nombre de différences pour n variant de 1 à {n_max} : {count} différences\n\n Liste des n donnant des différences pour m-min :\n{list_n_diff}")

[Liet Kynes]

Je confirme les écarts ponctuels.Ces écarts ont une fréquence de quasi 1/2 à partir de n=500
La formule avec les log est ok

Formule avec la racine de 2 : https://oeis.org/A195176
avec les log : https://oeis.org/A020914

[Liet Kynes]

Cela dit l'écart est au plus de 1 et quand n est grand le rapport tend vers 1

[Liet Kynes]

Bon du coup on avance pas du tout.. on est d'accord sur le fait que 2^m est le nombre immédiatement supérieur à 3^n ?
C'est assez simple à démontrer.

[Juzo]

Bon du coup on avance pas du tout.. on est d'accord sur le fait que 2^m est le nombre immédiatement supérieur à 3^n ?
C'est assez simple à démontrer.

Oui en effet, si m est l'exposant de la plus petite puissance de 2 supérieure à 3^n, alors on a :



Finalement et la fraction est inférieure à 1.
est donc disqualifié.

[Biname]

Bon du coup on avance pas du tout.. on est d'accord sur le fait que 2^m est le nombre immédiatement supérieur à 3^n ?
C'est assez simple à démontrer.

.

On peut récapituler les acquis :

 Cliquez pour afficher

 A) L'énoncé

    n > 0,  m > n,  p > 0 et m, n et p entiers positifs   ?? et t > 0 ??
    m peut toujours s'écrire m = n + p
   
                n    n
               3  - 2       N
    t(n,p) = ----------- = --- = k
              n + p    n    D
             2      - 3


 
 B) on cherche des valeurs entières de t(n,p)

    1) on a une infinité de solutions pour m = n,  t(n, n) = -1

    2) N est entier, donc si D = 1 ou D = -1, k est entier

       Conjecture de Catalan, merci MissJenny msg #30 :
          https://fr.wikipedia.org/wiki/Conjecture_de_Catalan :
          <<
           ... démontrée en 2002 ...

          "Les deux seules puissances parfaites consécutives sont 8 et 9"
                                     3     2
          qui valent respectivement 2  et 3

          (Une puissance parfaite est un entier > 1 élevé à une puissance entière > 1, comme 6^4) 

          La démonstration fait un important usage de la théorie des corps cyclotomiques et des modules de Galois
          >>
           q    r                              2    3         3    2
       ou a  - b  =  +-1  n'est vrai que pour 3  - 2  = 1 ou 2  - 3  = -1

       cas D = 1
           n+p     n 
          2    -  3  = +1  >>>> n = 1, p = 1,  m = 2  >>>> k = +1
          n = 1 : cas trivial unique  (Catalan n > 1)

       cas D = -1
           n+p     n 
          2    -  3  = -1  >>>> n = 2, p = 1,  m = 3  >>>> k = -1
          Catalan : une seule solution

 C) il reste à démontrer qu'il n'y pas d'autres solutions que celles-là
    c.à.d. : pour n > 2 ou D < -1 ou D > 1 

----- jusqu'ici, pas d'erreur, pour la suite ??? ------------------------


    N
    - = k  >>>>  N = k * D
    D

     n    n         n+p    n)
    3  - 2  = k * (2    - 3

     n    n        n+p        n
    3  - 2  = k * 2    - k * 3

     n              n         p
    3  * (k + 1) = 2  * (k * 2  + 1)
         \_____/        \__________/
             n                n
          = 2              = 3
 
    les facteurs premiers non 3 et non 2




    On obtient un système de 2 équations :
     /
     |           n                  n
     | k + 1 =  2      >>>>    k = 2  - 1   (2)
    <
     |      p        n
     | k * 2  + 1 = 3                       (3) 
     \

    (2) dans (3)

      n         p        n
    (2  - 1) * 2  + 1 = 3

     n    n + p    p
    3  = 2      - 2   + 1                   (5)


   +------------------------+
   |         n              |
   |   p    3  - 1          |
   |  2  = --------    (4)  |
   |         n              |
   |        2  - 1          |
   |                        |
   |  et avec m = n + p     |
   +------------------------+

   (4) est une condition pour que k soit entier.


   Petit pb : n=1 vérifie mais pas n=2   :-)

   Un code simple prouve que (4) n'est pas vérifiée pour 2 <= n <= 4000 (temps de calcul 15 s)

Il a fallu attendre 2002 pour obtenir la démonstration de ceci :
"Les deux seules puissances parfaites consécutives sont 8 et 9" ...

[Biname]

Bon du coup on avance pas du tout.. on est d'accord sur le fait que 2^m est le nombre immédiatement supérieur à 3^n ?
C'est assez simple à démontrer.

Tu veux dire que :



la conjecture de Catalan démontrée en 2002, dit que ceci n'est vrai que pour 8 et 9, ici, c'est impossible.

[Juzo]

Tu veux dire que :
m= ...

Bonjour, non c'était "immédiatement supérieure" dans l'ordre de succession des puissances de 2. Il voulait dire que 2^m est nécessairement la plus petite puissance de 2 supérieure à 3^n.
Cette conjecture est vraie et facile a démontrer (voir message 129).

On peut récapituler les acquis :

Encore une fois il n'est pas acquis que sinon le problème est déjà résolu.

Tu n'as pas le droit d'écrire

La bonne implication est avec


Dans le cas où , on démontre facilement que et sont impairs (sinon devrait être dans la table de 3 ce qui est impossible).

Par la suite pour n impair on démontre par récurrence que

On a alors ce qui n'est vrai que pour et (rédaction complète dans le message 80).


Pour résoudre le problème je vois donc 2 directions :

• Soit montrer que a = 1

• Soit s'accomoder de a et montrer la conjecture pour n'importe quel a, qui est un nombre impair diviseur de

Pour montrer que j'avais dans l'idée de montrer que divise deux nombres premiers entre eux ( divise déjà )

[Liet Kynes]

Pour montrer que a=1 j'avais dans l'idée de montrer que a divise deux nombres premiers entre eux (a divise déjà 2^p-1)

J'ai relu les post mais je n'ai pas bien identifier "a" peux tu donner sa définition (j'ai vu un alpha) ?

[Juzo]

Alpha est devenu a dans un post de Biname, c'est vrai que c'est plus facile à écrire.
Donc c'est bien lui. Je n'ai pas pensé à préciser le changement de notation.

[Biname]

Salut,
La question 'a' (=) ou pas est ici

 Cliquez pour afficher

    N
    - = k  >>>>  N = k * D
    D

     n    n         n+p    n)
    3  - 2  = k * (2    - 3

     n    n        n+p        n
    3  - 2  = k * 2    - k * 3


    La question est ici, faut il ou non multiplier par 'a'

     n              n         p                   n              n         p
    3  * (k + 1) = 2  * (k * 2  + 1)     ou      3  * (k + 1) = 2  * (k * 2  + 1)        (5a)  (5b)
         \_____/        \__________/                  \_____/        \__________/
             n                n                             n                 n
          = 2              = 3                       = a * 2           = a * 3

   plus loin, on obtient

   +------------------------+                    +----------------------------+
   |         n              |                    |             n              |
   |   p    3  - 1          |                    |   p    a * 3  - 1          |
   |  2  = --------    (4a) |                    |  2  = ------------    (4b) |
   |         n              |            ou      |             n              |
   |        2  - 1          |                    |        a * 2  - 1          |
   |                        |                    |                            |
   |  et avec m = n + p     |                    |  et avec m = n + p         |
   +------------------------+                    +----------------------------+

[MissJenny]

Tu veux dire que :



la conjecture de Catalan démontrée en 2002, dit que ceci n'est vrai que pour 8 et 9, ici, c'est impossible.

remarque que la conjecture pour les puissance de 2 et 3 était démontrée depuis longtemps.

[Liet Kynes]

On a une expression de m en fonction de n:



Wolfram donne n=1 comme unique solution entière de k: https://www.wolframalpha.com/input?i...%5En++%2Ck%3E0

[Liet Kynes]

Quelqu'un a un compte pour vérifier avec k>1 ?
https://www.wolframalpha.com/input?i...%5En++%2Ck%3E1

[Biname]

On a une expression de m en fonction de n:



Wolfram donne n=1 comme unique solution entière de k: https://www.wolframalpha.com/input?i...%5En++%2Ck%3E0

Ta fonction peut s'écrire k = f(n), on peut facilement vérifier, pas prouver, que pour n entier variant de 1 à n_max, on a un certain nombre de solutions.
Dans ton cas, une limite va apparaitre avec la précision du log, pour n=4000, on traite des entiers de ~2000 chiffres (log10(3^4000) = 1908)).

Un code a testé ceci pour n = 1 à 4000

 
   +------------------------+
   |         n              |
   |   p    3  - 1          |
   |  2  = --------    (4)  |
   |         n              |
   |        2  - 1          |
   |                        |
   |  et avec m = n + p     |
   +------------------------+

Code python n_max = 1000 pour (4) ci-dessus (adaptable à ton cas), cherche un reste nul ... et n'en trouve pas(~5 secondes).

 Cliquez pour afficher

from sympy import Integer
print (f"\n Calcule (3^n - 1)/(2^n - 1)  quotient, reste, float(N/D mod 1)\n")
count = 0
def verifie_divisibilite(n_max):
    for n in range(2, n_max + 1):
        N = Integer(3**n - 1)
        D = Integer(2**n - 1)
        
        quotient, reste = divmod(N, D)
        if reste == 0:
            count += 1        
        print(f"  n={n:>3}\n     N={N}\n     D={D}\n     Reste du quotient N/D = {reste}\n      Quotient N/D mod 1 = {N/D % 1:.4f}")

# Test de la fonction avec n_max=100
n_max = 1000
verifie_divisibilite(n_max)
print (f"\n\n Nombre de quotient N/D entiers pour 2 <= n <= {n_max} : {count}\n")

print(f"\n\n                **** TERMINE ****\n\n")

[Biname]

Quelqu'un a un compte pour vérifier avec k>1 ?
https://www.wolframalpha.com/input?i...%5En++%2Ck%3E1

Voici, un code python qui vérifie pour n = 2 à n_max

 Cliquez pour afficher

from sympy import Integer, log
print (f"\n Calcule (3^n - 2^n)/(2^m - 3^n)  quotient, reste, float(N/D mod 1)\n")
count = 0
def verifie_divisibilite(n_max):
    for n in range(2, n_max + 1):
        m = 1 + int(n * log(3)/log(2))
        N = Integer(3**n - 2**n)
        D = Integer(2**m - 3**n)
        
        quotient, reste = divmod(N, D)
        if reste == 0:
            count += 1        
        print(f"  n={n:>3}\n     N={N}\n     D={D}\n     Reste du quotient N/D = {reste}\n      Quotient N/D mod 1 = {N/D % 1:.4f}")

# Test de la fonction avec n_max=100
n_max = 1000
verifie_divisibilite(n_max)
print (f"\n\n Nombre de N/D entiers pour 2 <= n <= {n_max} : {count}\n")

print(f"\n\n                **** TERMINE ****\n\n")

Voici la sortie pour n_max = 1000

 Cliquez pour afficher

<...>
 n=1000
     N=1322070819480806636890455259752144365965422032752148167664920368226828597346704899540778313850608061963909777696872582355950954582100618911865342725257953674027620225198320803867299688157102168064906149626988599935514899698567758363624062289350576163241144953193496556248588473121092166641933900003044683363907128127794004715529841594373320122094325418663824332547002100293892177785649041781436999320710292866924127492787039899779189171060623664350184534479548715931697187150625
     D=34814448985198142773143802305880668086678629849714604534122084585478625241465029627458459103919813325578549974668231356973455099762295495983321114512945072296921555765437007911862719006664035649313541571714477273367072572115497287179066022652032526914127682019992382463040505466928615531343822995453035827828835806397055874043509533764527026360187609228874295126717463675403235418659668349073001703454669444199691455482088848750010321239160133772718353580319907402488765457631
     Reste de N/D = 33936207028475354284134574434559646758312728312707799902403238564119463412498803324815327005574968917503428634148022147933115890895685560482461488278985999041522661877151511128379084910532849040305111473552940820933214530294358737998619451225372667418420718453778405116089770844733391982212449171282357734240203291102937375919988845085820146767383877195475412858455944303972467295241312865735936292887523431535543639949752496028807285211698714759605452007712142039612865218278
      Quotient N/D mod 1 = 0.9748

 Nombre de quotient N/D entiers pour 2 <= n <= 1000 : 0

[Liet Kynes]

Oui et on peut aussi prendre une feuille et un crayon.. aucun intérêt de calculer et cela ne répond pas à la question de savoir si wolfram donne ses solutions sur la base de calculs.

[Liet Kynes]

On a:
avec ou

Peut-on enlever la racine dans cette égalité?

[gg0]

On peu, ça ne sera pas plus faux que ça l'est déjà. Déjà pour n=1 ça dit

[Liet Kynes]

On peu, ça ne sera pas plus faux que ça l'est déjà. Déjà pour n=1 ça dit

Oups j'ai oublié un terme et une condition : avec ou et

[gg0]

C'est n'importe quoi !

[gg0]

N'importe quel nombre vaut n'importe quel nombre non nul multiplié par k; à moins que k désigne un entier (mais il aurait fallu le dire), et ça ne marche pas.

Cette discussion est vraiment le lieu de toutes les erreurs ...

[Liet Kynes]

Corrextion effectuée (je fais traduire en latex par l'IA et les copiés-collés sont parfois malheureux) :


avec ou et

[Liet Kynes]

N'importe quel nombre vaut n'importe quel nombre non nul multiplié par k; à moins que k désigne un entier (mais il aurait fallu le dire), et ça ne marche pas.

Cette discussion est vraiment le lieu de toutes les erreurs ...

Oui et c'est là que l'on peut commencer à envisager le problème:
Si n'est pas un entier qu'en est-il de sachant que ou ?

[Juzo]

Je ne comprends pas le sens de cette réflexion : quel lien peut-on établir entre et , qui serait utile à la démonstration ?

[Liet Kynes]

Je ne comprends pas le sens de cette réflexion : quel lien peut-on établir entre et , qui serait utile à la démonstration ?

Le fait que d'ajouter un nombre à chaque termes de la première fraction ne changerait rien au caractère indivisible de la seconde. La remarque de gg0 "N'importe quel nombre vaut n'importe quel nombre non nul multiplié par k; à moins que k désigne un entier (mais il aurait fallu le dire), et ça ne marche pas." Par contre on a déterminé des choses pour m qui sont peut-être utiles.

J'ai trouvé que la valuation 2-adique de est égale à celle de avec le plus petit terme de entier divisé par deux qui est de la forme , je gratte cela pour le moment..