Montrer que une fraction n'est pas entière

[gg0]

Liet Kynes : "Pour 3^3, 2^3 est les plus grand 2^m possible." Comme 3^3 = 27, 2^3=8 n'est pas la plus grande puissance de 2 inférieure à 27, c'est 2^4=16.

"2^m+19 est un nombre qui est la plus grande puissance contenue dans un nombre de la forme 3^n" ?? 2^m+19 n'est pas une puissance. Et pour 27, 16+19 est supérieur.
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[Liet Kynes]

J'ai dû mal décrire ce que j'ai :

Exemple, pour n=7 3^7=2187, la plus grosse puissance de 2 contenue dans 2187 c'est 2048 donc 2^11. J'ajoute 19 à 11 j'obtiens 30 et 2^30 est la plus grosse puissance contenue dans 3^19. J'ajoute 19 à 30, 2^49 est la plus grosse puissance de 2 contenue dans 3^31 (voir la pièce jointe) :

				Plus grosse puissance de 2 dans 3^n, notée m
m-n	n	3^n	2^m		m+1	2^(m+1)	3^n-2^m	3^n-2^(m+1)
0	1	3	2	1		2	4	1	-1
1	2	9	8	3		4	16	1	-7
1	3	27	16	4		5	32	11	-5
2	4	81	64	6		7	128	17	-47
2	5	243	128	7		8	256	115	-13
2	6	729	512	8		9	512	217	217
4	7	2187	2048	11		12	4096	139	-1909

[Liet Kynes]

Je remets ma pièce jointe, il y a une formule qui n'est pas bien rentrée dans l'autre:

[gg0]

Ah, OK !
Tu devrais apprendre les règles de calcul (priorité des opérations ) qu'on apprend au sortir de l'école primaire. Tu voulais dire "2^(m+19) est un nombre qui est la plus grande puissance contenue dans un nombre de la forme 3^n"
Et comme tu détermines n à partir de 2^(m+19), ta phrase n'apporte rien. Tout nombre est "le plus grand contenu" dans la première puissance de 3 qui le dépasse. Et on peut remplacer 19 par ce qu'on veut.

[Liet Kynes]

Et comme tu détermines n à partir de 2^(m+19), ta phrase n'apporte rien. Tout nombre est "le plus grand contenu" dans la première puissance de 3 qui le dépasse. Et on peut remplacer 19 par ce qu'on veut.

Je remets le raisonnement:

à un n il existe un unique m tel que cet m soit le plus grande puissance de 2 contenue dans 3^n si je remplace 19 par 18 ou 20:

Pour n=10, m=15 car 3^10= 59049, 2^15 =32728 2^16 étant supérieur à 59049.
J'ajoute 19 à 15 (donc au m obtenu pour n=10) j'obtiens 34 et 2^34 est bien la plus grande puissance de 2 d'un nombre de la forme 3^n en l'occurrence 3^22, si j'avais ajouté 18 ou 20 ce ne serait pas bon.
Le fichier ods présente bien cette "récurence" à partir de n=13 mais je n'ai pas été plus loin que ce que le tableur m'autorise en matière de grands chiffres, c'est donc à vérifier.

[Liet Kynes]

Bon j'ai pu obtenir plus de données en prenant la liste de l'OEIS https://oeis.org/A056576
L'écart trouvé de 19 pour m entre n1=1 et n1+13 n'est pas constant pour n=53 m=84 alors que la récurrence attendue était 7,26,45,64,83
Par contre cela reste assez intéressant, voilà le graphe des valeurs d'incrémentation de m pour des écarts de 1 à 17, 12 étant l'incrémentation de 19 citée.

[Biname]

Salut,

Biname

[Juzo]

Bonjour,
Quel est l'objectif de déterminer la plus grande puissance de 2 inférieure à une puissance de 3 ?

A partir de l'égalité , où , on peut affirmer que et sont impairs (si ou est pair est en effet dans la table de 3 ce qui n'est pas le cas de ). est donc pair.

En regardant le chiffre des unités de et de on peut affirmer aussi que et ont la même congruence modulo 4, soit et ou et . est donc congru à 2 modulo 4. .

[Liet Kynes]

Bonjour,
Quel est l'objectif de déterminer la plus grande puissance de 2 inférieure à une puissance de 3 ?

Le but est de limiter l'intervalle de recherche, je fais l'hypothèse que les nombres positifs éligibles à la division par 2^m-3^n de 3^n-2^n sont ceux de cette suite https://oeis.org/A063003

[Liet Kynes]

Salut,

Biname

Statistiquement c'est insatisfaisant on peut prendre un écart qui donne une alternance avec une fréquence plus grande comme un écart de 5 entre les m qui alterne des valeurs de 7 et 8 (8% de 7 parmis les 8 mais pour un échantillon de 64) entre les m mais cela reste pas satisfaisant, le truc est de sortir la règle qui régit l'alternance entre puissance de 2 et de 3: je ne sais pas si c'est possible.

[Juzo]

Le but est de limiter l'intervalle de recherche, je fais l'hypothèse que les nombres positifs éligibles à la division par 2^m-3^n de 3^n-2^n sont ceux de cette suite

Ah ok, il s'agit de la plus petite puissance de 2 supérieure à 3^n, j'avais compris l'inverse. (La suite donnant les différences de ces puissances de 2 avec les 3^n).

Il faut se limiter aux puissances de 2 égales à 4K+2 puisque 2^m = 4K+2 si je ne me suis pas trompé, ce qui se limite les nombres de la suite à un cas sur 5 (nombres indiqués en bleu) :
0, 1, 7, 5, 47, 13, 295,1909, 1631, 13085, 6487, 84997, 517135, 502829, 3605639, 2428309, 24062143, 5077565, 149450423, 985222181, 808182895, 6719515981, 2978678759, 43295774645, 267326277407, 252223018333, 1856180682775

On peut remarquer qu'au delà de 1, le premier cas, la différence n'a aucune chance d'être plus grande que le nombre de cette liste, donc la fraction n'a aucune chance d'être entière. Mais est-ce une démonstration ? Peut-on montrer que la différence pour m = 4K+1 et où 2^m est la plus petite puissance de 2 supérieure à 3^n est croissante avec n par exemple ?

[Juzo]

puisque 2^m = 4K+2

*coquille : lire m=4K+2

[Juzo]

On peut remarquer qu'au delà de 1, le premier cas, la différence 3^n - 2^n n'a aucune chance d'être plus grande que le nombre de cette liste

J'ai encore dit une bêtise ou plutôt une imprécision : au-delà du premier cas où la différence est 1, 3^n - 2^n ne semble avoir aucune chance d'être plus grand que (2^n-1) multiplié par le nombre de cette liste.
Puisqu'on a la relation :

[Juzo]

Sur l'image ci-dessous, les valeurs de et ont été calculées pour les 6 premières valeurs de 2^m candidates selon le critère de Liet Kynes et le critère , indiquées en bleu dans le message #56.

On voit que (3ème colonne) est toujours plus grand que (2ème colonne), d'un facteur (rapport dans la 4ème colonne) qui semble lui-même multiplié par environ 36 (5ème colonne) à chaque occurrence.

[Juzo]

Bonjour,

Cette fois-ci je pense avoir une démonstration valide, je souhaiterais avoir votre avis svp.

La démonstration est en 3 étapes :
Étape 1 : exprimer et en fonction de
Étape 2 : montrer que
Étape 3 : conclure sur les valeurs de , et .

Supposons qu'il existe un couple et tels que , on montre que l'unique solution est le couple et .

Étape 1

Soit .

On a alors :




(on a regroupé les à gauche et les à droite)

Or et étant premiers entre eux, nécessairement :
et , pour

Donc (1)

et

Donc (2)


Étape 2

La fraction est un entier supérieur ou égal à 1, donc

Supposons par l'absurde que est strictement inférieur à . On a alors :

(on a multiplié l'égalité par )

(on a remplacé les grâce à la relation (2))

(on a développé la parenthèse à gauche)

(on a supprimé les à gauche, et décomposé à droite)

(on a regroupé les termes en à gauche, les unités à droite)

(on a factorisé par à gauche)

Si et , cela signifie que ce qui est absurde. Sinon en simplifiant par on obtient ce qui est absurde.

Finalement :


Étape 3

donc

D'après la relation (1) : donc

Finalement on a :

dont l'unique solution est

En conclusion l'unique couple d'entiers pour lequel la fraction est entière est le couple et la fraction vaut 1.

Pensez-vous que la démonstration est valide ? Merci beaucoup !

Bonne soirée

[Liet Kynes]

Ah ok, il s'agit de la plus petite puissance de 2 supérieure à 3^n, j'avais compris l'inverse.

Non c'est la plus grande puissance de 2 inférieure à 3^n

Si on note m est cette puissance, on a la même valuation 2-adique pour 2^n et 2^m-2^n

[Juzo]

Pourtant les termes de la suite donnaient la différence entre la plus petite puissance de 2 supérieure à 3^n et 3^n, pour n= 1, n=2 etc. Je les ai vérifiées en calculant ces différences une par une.

Sinon, pensez-vous que la démonstration au message précédent est ok ? Merci.

[gg0]

Bonjour Juzo.

Ta preuve me plaisait bien jusqu'à ce que tu écrives

Sinon en simplifiant par on obtient ce qui est absurde.

or, à priori, est strictement négatif, ce qui fait que tu aurais dû écrire
Sinon en simplifiant par on obtient
Et ça n'a rien d'anormal.

Cordialement.

[Juzo]

or, à priori, est strictement négatif, ce qui fait que tu aurais dû écrire
Sinon en simplifiant par on obtient
Et ça n'a rien d'anormal.

Cordialement.

Argh c'est vrai, le pire c'est que je l'avais remarqué dans un tentative précédente qui avait échoué, et là je l'ai zappé, sur la dernière ligne que je n'ai pas pensé à bien relire ! Je vais donc laisser tomber.

Merci pour les relectures.

[Juzo]

Bonjour,

Voici une nouvelle proposition de solution :

Si la fraction est entière alors on a la relation ](R):, où et où est nécessairement impair.

Or pour impair,
On le prouve par récurrence sur : c'est vrai pour et si la relation est vraie pour un , alors

Donc :






Or la seule différence impaire de puissances de 2 est

Donc nécessairement et , il en découle que .

Finalement l'unique solution est .

Je retranscrirai la démonstration de la relation (R) et du fait que est impair uniquement si ce début de raisonnement est juste, pour ne pas vous faire perdre trop de temps.

Merci beaucoup.

[rabirodin]

Je n'ai pas compris ta première égalité.
Mais effectivement le couple (n,m)=(1,2);est le seul qui donne à la fraction la valeur 1.
On peut effectivement montrer que la fraction égale à 1 si:
3^n =2^(n-1) + 2^(m-1).
La positivité de la fraction implique que m>n ( en effet m>n*(ln3/ln2) ).
Mais si n est supérieur à 2 ( donc m aussi) le second terme est pair donc ne peut être égal 3^n.
Pour n=1 on trouve m=2, le cas n=0 donne à la fraction la valeur 0 qui est sans intérêt vu que la fraction est supposée être>0.
Mais ce raisonnement ne s'applique pas si la fraction est un entier t supérieur à 1.

[Juzo]

Je n'ai pas compris ta première égalité.
Mais effectivement le couple (n,m)=(1,2);est le seul qui donne à la fraction la valeur 1.
On peut effectivement montrer que la fraction égale à 1 si:
3^n =2^(n-1) + 2^(m-1)

Quelle égalité n'avez nous pas compris, celle de la relation (R) ou la suivante qui est une congruence ?

Effectivement on peut montrer que la fraction est égale à 1 uniquement si m=2 et n=1, mais la démonstration que je propose est plus générale, elle a pour but de montrer que la fraction n'est entière que si m=2 et n=1, ce qui était demandé au premier message.

[gg0]

Désolé, Juzo, mais je ne vois pas d'où sort ta première phrase ("Si la fraction est entière ... impair"). Utilises-tu une démonstration précédente ?

[rabirodin]

L'égalité 3^n =1+2^m +2^p ou p=m-n.
Je ne vois pas d'où elle sort

[Juzo]

Désolé, Juzo, mais je ne vois pas d'où sort ta première phrase ("Si la fraction est entière ... impair"). Utilises-tu une démonstration précédente ?

Oui pour . J'ai montré que mais il reste à montrer que ce que j'ai fait sur papier en espérant ne pas m'être planté. Si le reste du raisonnement est juste je propose de rédiger cette brique manquante.

On a alors

Or si est pair, est un multiple de 3 (résultat connu et redémontré par récurrence dans le message #49) ce qui n'est pas le cas de

Donc est nécessairement impair.

La relation a été aussi démontrée dans un message précédent (message #75), je l'ai retranscrite pour

[rabirodin]

C'est correct, je n'avais pas compris.
Il reste à espérer que la démonstration qui impose à alpha la valeur de 1 ne contienne pas de douilles.

[Juzo]

Je pourrai la poster d'ici 1h

[Juzo]

Il y a bien un plantage sur

[Juzo]

Bonsoir,

Voici avec un peu de retard la preuve que . En cas d'erreur cette fois je mange mon chapeau...

On a les relations :
(1)
et (2)

est un nombre rationnel. De plus et sont des nombres entiers, donc est un nombre entier. (on peut écrire pour cela comme étant égal à et à avec numérateurs et dénominateurs premiers entre eux et et inférieurs ou égaux à donc nécessairement , c'est cette partie dont je suis le moins sûr)

De plus d'après la relation (2) on a soit .

est donc un diviseur de

est donc un nombre impair.

Par ailleurs : est divisible par car est divisible par .

Or donc est divisible par . (on montre facilement que , sinon le numérateur de la fraction de départ est nécessairement plus petit que le dénominateur).

étant impair, si alors n'est pas un diviseur de qui est pair, donc est un diviseur de (si il y a une unique solution au problème : et ).

Comme est un diviseur et de la différence, d'après le théorème de Bézout est aussi un diviseur de .

Or et sont des nombres de Mersenne d'exposants différents donc ils sont premiers entre eux.

(résultat connu et utilisé comme base d'une démonstration qu'il existe une infinité de nombres premiers selon le site de Gérard Villemin) (on peut cliquer sur le lien).

Finalement le seul diviseur commun de et est , divisant ces deux nombres on a donc .

Est-ce que c'est ok ? Il me semble que les autres parties de la démonstration étaient validées, donc si c'est bon je pourrai tout remettre dans l'ordre ensuite.

Merci beaucoup pour votre patience.

Cordialement.

[rabirodin]

On a la relation suivante :
(1+k)*3^n =2^n *(1+k*2^p)
Le membre de droite est un produit de deux nombres premiers entre eux (1*).
D'autre part on a 2^n qui divise (1+k) (2*).
il suffit de montrer que (1+k) divise aussi 2^n.
Par absurde supposons (1+k) ne divise pas 2^n alors il divise (1+k*2^p) , donc 2^n qui est un diviseur de (1+k) doit aussi diviser (1+k*2^p), ce qui est absurde car 2^n et (1+k*2^p) sont premiers entre eux.
On rappelle quand même que si a et b sont co-premiers que c divise a*b alors c divise a ou c divise b.