Montrer que une fraction n'est pas entière

[gg0]

Je n'ai pas tout regardé en détail, mais une phrase m'a sauté aux yeux :

Or et sont des nombres de Mersenne d'exposants différents donc ils sont premiers entre eux.

Le pgcd de tes deux nombres est le premier des deux, qui n'est égal à 1 que si p=1.

Désolé !
-----

[Juzo]

@rabirodin

Effectivement c'est une manière beaucoup plus efficace de montrer que c'est bien ça ? Tu ne pouvais pas le dire avant ? Merci en tout cas.

@gg0 c'est pas grave rabirodin a une autre méthode. Et il est plus fiable que moi.

PS : je ne comprend pas cet extrait du site de Gérard Villemin.

[rabirodin]

@juzo

Oui, en gros on montre que k ne peut être égal qu'à 2^n -1, donc apha=1.
J'ai eu l'idée sur le champ en remarquant que 2^n et (1+k*2^p) sont premiers entre eux pour p, n supérieurs à 1

[Juzo]

En tout cas bravo.

Si c'est validé par gg0, je résume dans les grandes lignes la démonstration qui répond à la question initiale :

- On a et

- Donc et

- Donc et ne sont pas divisibles par , donc et sont impairs.

- Donc donc

- Donc

L'unique solution est

[gg0]

Attention, cette phrase de Rabirodin est fautive : "Par absurde supposons (1+k) ne divise pas 2^n alors il divise (1+k*2^p)"
6 ne divise pas 4 niç *, mais il divise 4*9.

[Juzo]

Attention, cette phrase de Rabirodin est fautive : "Par absurde supposons (1+k) ne divise pas 2^n alors il divise (1+k*2^p)"
6 ne divise pas 4 niç *, mais il divise 4*9.

La fête est gâchée.

[Biname]

Salut,

Osons : ceci est la démonstration recherchée

 Cliquez pour afficher

 Rappel de l'énoncé :
                      n   n
 N pour numérateur = 3 - 2

                        n+p    n
 D pour dénominateur = 2    - 3     avec   n + p = m

 n, p entiers positifs !=0  et  a, b, c, k entiers




  / N
  | - = a                      (*)
  | D
 <
  | N - D = c * D              (1)
  |
  \ c = a - 1

    Démo si nécessaire :-) :
      N - D = (a - 1) D = a * D - D

      N = a * D   ou    N / D = a         (*)
  



 On peut donc écrire
 N - D = k * D     avec k entier != 0 (1)

                 n    n    n+p    n           n+p    n
 N - D =        3  - 2  - 2    + 3   =  k * (2    - 3 )           = k * D

      n    n     n+p          n+p        n
 2 * 3  - 2  -  2     =  k * 2    - k * 3

      n        n        n+p    n    n+p
 2 * 3  + k * 3  = k * 2    + 2  + 2 

  n             n         p    p    
 3  (k + 2) =  2  * (k * 2  + 2  + 1)
    \_____/         \_______________/
          n                   n
   = a * 2             = a * 3   

 les facteurs premiers non 3 et non 2 multipliés par un même nombre entier a




 On obtient un système de 2 équations :
 /
 |              n                      n
 | k + 2 = a * 2      >>>>    k = a * 2  - 2   (2)
<
 |       p    p            n
 |  k * 2  + 2  + 1 = a * 3                    (3) 
 \

 (2) dans (3)
       n         p    p            n
 (a * 2  - 2) * 2  + 2  + 1 = a * 3

      n   p         p    p             n
 a * 2 * 2   - 2 * 2  + 2   + 1 = a * 3

      n    p     p            n
 a * 2  * 2   - 2  + 1 = a * 3

  p          n             n
 2  * ( a * 2  - 1) = a * 3  - 1

            n
  p    a * 3  - 1     N
 2  = ------------ = ---      (4) !!!! nouveaux N et D, oubliez les originaux !!!!
            n         D
       a * 2  - 1




 cas 1 : a est pair alors dans (4): N est impair et D est impair
                                                                                          p
    impossible, le quotient de deux nombres impairs ne peut pas être un nombre pair, ici 2

 cas 2 : a est impair alors dans (4): N est pair et D est impair

    un nombre impair ne divise un nombre pair que si le nombre impair vaut 1 ou -1

    on a donc dans (4) les cas D = 1 et D = -1   




 Cas D = 1
             n
    D = a * 2  - 1  = 1

         n
    a * 2  = 2          (5)

              n-1
    a * 2 * (2   - 1) = 0

                     n - 1
    a <> 0   >>>>   2      =  1   >>>  n = 1


    (5> n = 1 >>>>  a = 1

                                         1
                               p    1 * 3  - 1     3 - 1     2
    (4) n = 1 et a = 1  >>>>  2  = ------------ = ------- = --- = 2    >>>   p = 1
                                         1         2 - 1     1
                                    1 * 2  - 1
    +-------------------------------------------------------------+
    |                                                             |
    |    On a une solution a = 1, n = 1, p = 1 et m = n + p = 2   |
    |                                                             |
    +-------------------------------------------------------------+





  Cas D = - 1
    
             n
    D = a * 2  - 1  = - 1

         n
    a * 2  =  0

    a = 0  n indeterminé  ???

----------------------------------------

Où ai-je perdu la solution n = 2, p = 1, m = n + p = 3 ?

Sauf erreurs :-)

[Biname]

J'ai oublié la cas a=0 qui donne la solution triviale p = 0 et m = n

[Biname]

On aboutit à (4) en partant de N/D = k, c'est moins long.

[Biname]

Version raccourcie

 Cliquez pour afficher

 Rappel de l'énoncé :
                      n   n
 N pour numérateur = 3 - 2

                        n+p    n
 D pour dénominateur = 2    - 3     avec   n + p = m

 n, p entiers positifs !=0  et  a, k entiers




 N
 - = k  >>>>  N = k * D
 D

  n    n         n+p    n)
 3  - 2  = k * (2    - 3

  n    n        n+p        n
 3  - 2  = k * 2    - k * 3

  n              n         p
 3  * (k + 1) = 2  * (k * 2  + 1)
      \_____/        \__________/
            n                n
     = a * 2          = a * 3
 
 les facteurs premiers non 3 et non 2 multipliés par un même nombre entier a




 On obtient un système de 2 équations :
  /
  |              n                      n
  | k + 1 = a * 2      >>>>    k = a * 2  - 1   (2)
 <
  |       p            n
  |  k * 2  + 1 = a * 3                         (3) 
  \

 (2) dans (3)
 
       n         p            n
 (a * 2  - 1) * 2  + 1 = a * 3

      n    p    p            n
 a * 2  * 2  - 2  + 1 = a * 3

  p          n             n
 2  * ( a * 2  - 1) = a * 3  - 1

            n
  p    a * 3  - 1     N
 2  = ------------ = ---      (4)       !!!! nouveaux N et D, oubliez les originaux !!!!
            n         D
       a * 2  - 1



 cas 1 : a = 0 
                p   -1
    (4) >>>>   2 = ---- = 1   >>>> cas trivial  p = 0  et m = n rejeté par l'énoncé m > n
                    -1

 cas 2 : a est pair alors dans (4): N est impair et D est impair
                                                                                          p
    impossible, le quotient de deux nombres impairs ne peut pas être un nombre pair, ici 2


 cas 3 : a est impair alors dans (4): N est pair et D est impair

    un nombre impair ne divise un nombre pair que si le nombre impair vaut 1 ou -1

    on a donc dans (4) les cas D = 1 et D = -1   

 
 Cas D = 1
             n
    D = a * 2  - 1  = 1

         n
    a * 2  = 2          (5)

              n-1
    a * 2 * (2   - 1) = 0

                     n - 1
    a <> 0   >>>>   2      =  1   >>>  n = 1


    (5> n = 1 >>>>  a = 1

                                         1
                               p    1 * 3  - 1     3 - 1     2
    (4) n = 1 et a = 1  >>>>  2  = ------------ = ------- = --- = 2    >>>   p = 1
                                         1         2 - 1     1
                                    1 * 2  - 1
    +-------------------------------------------------------------+
    |                                                             |
    |    On a une solution a = 1, n = 1, p = 1 et m = n + p = 2   |
    |                                                             |
    +-------------------------------------------------------------+



  Cas D = - 1
    
             n
    D = a * 2  - 1  = - 1

         n
    a * 2  =  0

    a = 0  n indeterminé  ???





 Cas a est < 0

            n
  p    a * 3  - 1     N
 2  = ------------ = ---    (4)
            n         D
       a * 2  - 1

   Cas 1 : a est pair

     N est impair et D est impair

                           impair    p

     impossible (4) >>>> : ------ = 2

                           impair

                                                                              p
    le quotient de deux nombres impairs ne peut pas être un nombre pair, ici 2


   Cas 2 : a est impair

     N est pair et D est impair
    
                 pair     p
     (4) >>>> : ------ = 2
                impair
    
     un nombre impair ne divise un nombre pair que si le nombre impair vaut 1 ou -1

  
     D = 1

             n
        a * 2  - 1 = 1            

             n   
        a * 2  =  2  pas de solution pour a <= 0

     D = -1

             n
        a * 2  - 1 = - 1            

             n   
        a * 2  =  0   une solution pour a = 0

                   n
         p    0 * 3  - 1     N     -1
        2  = ------------ = --- = ---- = 1     >>> p = 0  solutions triviales m = n
                   n         D     -1
              0 * 2  - 1


----------------------------------------

Où ai-je perdu la solution n = 2, p = 1, m = n + p = 3 ?


Sauf erreurs :-)

[gg0]

Dans le document du message #97, je lis "un nombre impair ne divise un nombre pair que si le nombre impair vaut 1 ou -1". Donc 3 ne divise pas 6 ?

Encore une démonstration fausse ...

Vu la répétition d'erreur plus qu'élémentaires, je vais faire comme l'académie des sciences au dix-huitième siècle (*), arrêter de lire les "preuves".

Cordialement.

(*) à propos des textes sur la quadrature du cercle.

[Biname]

Salut,

Dans le document du message #97, je lis "un nombre impair ne divise un nombre pair que si le nombre impair vaut 1 ou -1". Donc 3 ne divise pas 6 ?
Encore une démonstration fausse ...
Vu la répétition d'erreur plus qu'élémentaires, je vais faire comme l'académie des sciences au dix-huitième siècle (*), arrêter de lire les "preuves".
Cordialement.
(*) à propos des textes sur la quadrature du cercle.

Merci gg0, oui ma démonstration est fausse, désolé, et en plus l'erreur est énorme.
Biname

[Biname]

Le msg #100 établit

   +------------------------+
   |             n          |
   |   p    a * 3  - 1      |
   |  2  = ------------     |
   |             n          |
   |        a * 2  - 1      |
   |                        |
   |  a = 0 ou a impair     |
   |  a pair est impossible |
   |  avec m = n + p        |
   +------------------------+

[Liet Kynes]

à propos de démo comment montrer que dans la suite des nombres de la forme 3^n et 2^n, il y a au plus deux nombres de la forme 2^n successifs ?

[Liet Kynes]

C'est tout simple mais j'écris cela comme cela et je trouve que c'est pas propre:

[Juzo]

@Biname :

Dans le système d'équation, "" est impossible, ça voudrait dire que k est pair, or k est un quotient dont le numérateur est impair (3^n - 2^n).

Le bon système d'équations (vérifié pour le coup) est normalement :

(1)
(2)

est un nombre entier impair qui divise (puisque est un nombre entier)

[Biname]

Salut,

@Biname :
Dans le système d'équation, "" est impossible, ça voudrait dire que k est pair, or k est un quotient dont le numérateur est impair (3^n - 2^n).

Tu fais référence au msg #97 ou k a une autre valeur : on part de N - D = k * D
Au msg #100 on part de N/D = k
Dans les deux cas on aboutit à la même équation (4)
Dont on peut simplifier 'a' ?

   +------------------------+
   |         n              |
   |   p    3  - 1          |
   |  2  = --------    (4)  |
   |         n              |
   |        2  - 1          |
   |                        |
   |  a = 0 ou a impair     |
   |  a pair est impossible |
   |  avec m = n + p        |
   +------------------------+

Est-ce que cette équation est exacte ?

Le bon système d'équations (vérifié pour le coup) est normalement :
(1)
(2)
est un nombre entier impair qui divise (puisque est un nombre entier)

Msg #100, on obtient ce système aussi.

3^n peut aussi se décomposer en une somme de termes paires + 1 grâce au binôme de Newton 3^n = (2 + 1)^n



Ce problème, vu la simplicité de son énoncé, doit être connu depuis quelques centaines d'années.

[Liet Kynes]

Perso j'en suis resté à ma première idée et je pense que j'avance.

Les nombres de la forme 2^m-3^n qui peuvent diviser 3^n-2^n sont ceux de la suite A063003
Le calcul de m se fait bien avec le nombre de puissances de 2 entre deux puissances de 3.
donc une valeur m pour n égale à la valeur de m de n-1+(floor((n+1)*log_2(3))-floor(n*log_2(3)))

[Biname]

Salut,
Avec le binôme de Newton on trouve des "trucs" amusants :

 Cliquez pour afficher

C'est jouli, mais on en fait quoi ?

L'équation (4) du msg #100 devient



C'est jouli, mais on en fait quoi ?

Le binôme de Newton de pour n variant de 1 à 8

 Cliquez pour afficher

(a + 1)^1   =  a^1   +     1
(a + 1)^2   =  a^2   +     2.a^1   +    1
(a + 1)^3   =  a^3   +     3.a^2   +    3.a^1   +    1
(a + 1)^4   =  a^4   +     4.a^3   +    6.a^2   +    4.a^1   +    1
(a + 1)^5   =  a^5   +     5.a^4   +   10.a^3   +   10.a^2   +    5.a^1   +    1
(a + 1)^6   =  a^6   +     6.a^5   +   15.a^4   +   20.a^3   +   15.a^2   +    6.a^1   +    1
(a + 1)^7   =  a^7   +     7.a^6   +   21.a^5   +   35.a^4   +   35.a^3   +   21.a^2   +    7.a^1   +    1
(a + 1)^8   =  a^8   +     8.a^7   +   28.a^6   +   56.a^5   +   70.a^4   +   56.a^3   +   28.a^2   +    8.a^1   +    1

On pourrait aussi faire

 Cliquez pour afficher

Sauf erreurs ! Aux suivants

[Juzo]

Tu fais référence au msg #97 ou k a une autre valeur : on part de N - D = k * D

Ah désolé, je croyais que les notations étaient conservées, j'ai parlé de ce problème qui m'a sauté aux yeux sans lire le détail du reste du calcul.

Est-ce que cette équation est exacte ?

Si alors l'équation est fausse normalement.

... En tout cas si cela signifie que ... Or quand on regarde les premiers exemples de la plus petite puissance de supérieure à on constate que non seulement ce n'est pas le cas, mais en plus est beaucoup plus grand que , d'un rapport qui de plus est multiplié par une valeur variant autour de 36 à chaque fois qu'on ajoute 1 à n. Pourquoi cet écart est-il difficile à mettre en évidence ?

Si , cela signifie que , soit :





Donc l'écart entre et la plus grande puissance de inférieure à est supérieure à ce qui semble impossible d'après les exemples observés.

Est-ce compliqué à démontrer ?

J'ai peu de temps y réfléchir dessus donc je le fais en direct ce qui risque de multiplier les erreurs. Peut-être qu'il faudrait avoir cette discussion en science ludique ?

Bonne soirée

[Liet Kynes]

C'est jouli, mais on en fait quoi ?

C'est comme en cuisine : tu réserves et tu utilises si besoin

[Biname]

Salut,

C'est comme en cuisine : tu réserves et tu utilises si besoin

 Cliquez pour afficher

Il permet d'exprimer les N et D de notre énigme en fonction de puissance de 2 uniquement(ou de 3).

On peut extraire d'autres termes intéressants de la somme





Avec (1) on montre facilement que pour n impair, , l'exposant de son facteur premier 2 est 1
(en clair : pour n impair, est divisible par 2, mais pas par 4), dans mon (4) ça pourrait être utile .

[Biname]

On peut faire ceci sans a, ce qui équivaut à faire a = 1

Si alors l'équation est fausse normalement.

'a' est inutile

 Cliquez pour afficher

 N
 - = k  >>>>  N = k * D
 D

  n    n         n+p    n)
 3  - 2  = k * (2    - 3

  n    n        n+p        n
 3  - 2  = k * 2    - k * 3

  n              n         p
 3  * (k + 1) = 2  * (k * 2  + 1)
      \_____/        \__________/
          n                n
       = 2              = 3
 
 les facteurs premiers non 3 et non 2 multipliés par un même nombre entier a




 On obtient un système de 2 équations :
  /
  |           n                  n
  | k + 1 =  2      >>>>    k = 2  - 1   (2)
 <
  |      p        n
  | k * 2  + 1 = 3                       (3) 
  \

 (2) dans (3)

   n         p        n
 (2  - 1) * 2  + 1 = 3

  p     n         n
 2  * (2  - 1) = 3  - 1

   +------------------------+
   |         n              |
   |   p    3  - 1          |
   |  2  = --------         |
   |         n              |
   |        2  - 1          |
   |                        |
   |  et avec m = n + p     |
   +------------------------+

... En tout cas si cela signifie que ... Or quand on regarde les premiers exemples de la plus petite puissance de supérieure à on constate que non seulement ce n'est pas le cas, mais en plus est beaucoup plus grand que , d'un rapport qui de plus est multiplié par une valeur variant autour de 36 à chaque fois qu'on ajoute 1 à n. Pourquoi cet écart est-il difficile à mettre en évidence ?

Tu dis : pour que D soit positif, il faut , tu te fixes un et tu cherches pour D>0, tu peux alors calculer N et D et . Ton m minimum se calcule facilement avec
Code python et résultats pour n de 1 à 20

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from math import log

print (f"\n =============================================================\n")
print (f" Soit N = 3^n - 2^n    et   D = 2^m - 3^n,   n > 0,    m > n,   ?valeurs entières? de N/D")
print (f" m_min est la valeur minimum de m pour que D soit positif")
print (f" Maths :  2^m > 3^n >>>> m * log(2) > n * log(3) >>>> m_min = 1 + int(n * log(3) / log(2))\n")

for n in range (1, 21):
    len_int = 12
    m = 1 + int (n * log(3) /log(2))
    N = 3**n - 2**n
    D = 2**m - 3**n
    Dm1 =  2**(m-1) - 3**n
    Dp1 =  2**(m+1) - 3**n
    Q = N/D
    print(f" | n={n:>3} | m_min={m:>3} | D={D:>{len_int}} | N={N:>{len_int}} | N/D={N/D:>7.3f}\
|             | D(m-1)={Dm1:>{len_int}} | D(m+1)={Dp1:>{len_int}} |")
    if n % 10 == 0:
        print("")

Résultats :

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 Soit N = 3^n - 2^n    et   D = 2^m - 3^n,   n > 0,    m > n,   ?valeurs entières? de N/D
 m_min est la valeur minimum de m pour que D soit positif
 Maths :  2^m > 3^n >>>> m * log(2) > n * log(3) >>>> m_min = 1 + int(n * log(3) / log(2))

 | n=  1 | m_min=  2 | D=           1 | N=           1 | N/D=  1.000|             | D(m-1)=          -1 | D(m+1)=           5 |
 | n=  2 | m_min=  4 | D=           7 | N=           5 | N/D=  0.714|             | D(m-1)=          -1 | D(m+1)=          23 |
 | n=  3 | m_min=  5 | D=           5 | N=          19 | N/D=  3.800|             | D(m-1)=         -11 | D(m+1)=          37 |
 | n=  4 | m_min=  7 | D=          47 | N=          65 | N/D=  1.383|             | D(m-1)=         -17 | D(m+1)=         175 |
 | n=  5 | m_min=  8 | D=          13 | N=         211 | N/D= 16.231|             | D(m-1)=        -115 | D(m+1)=         269 |
 | n=  6 | m_min= 10 | D=         295 | N=         665 | N/D=  2.254|             | D(m-1)=        -217 | D(m+1)=        1319 |
 | n=  7 | m_min= 12 | D=        1909 | N=        2059 | N/D=  1.079|             | D(m-1)=        -139 | D(m+1)=        6005 |
 | n=  8 | m_min= 13 | D=        1631 | N=        6305 | N/D=  3.866|             | D(m-1)=       -2465 | D(m+1)=        9823 |
 | n=  9 | m_min= 15 | D=       13085 | N=       19171 | N/D=  1.465|             | D(m-1)=       -3299 | D(m+1)=       45853 |
 | n= 10 | m_min= 16 | D=        6487 | N=       58025 | N/D=  8.945|             | D(m-1)=      -26281 | D(m+1)=       72023 |

 | n= 11 | m_min= 18 | D=       84997 | N=      175099 | N/D=  2.060|             | D(m-1)=      -46075 | D(m+1)=      347141 |
 | n= 12 | m_min= 20 | D=      517135 | N=      527345 | N/D=  1.020|             | D(m-1)=       -7153 | D(m+1)=     1565711 |
 | n= 13 | m_min= 21 | D=      502829 | N=     1586131 | N/D=  3.154|             | D(m-1)=     -545747 | D(m+1)=     2599981 |
 | n= 14 | m_min= 23 | D=     3605639 | N=     4766585 | N/D=  1.322|             | D(m-1)=     -588665 | D(m+1)=    11994247 |
 | n= 15 | m_min= 24 | D=     2428309 | N=    14316139 | N/D=  5.896|             | D(m-1)=    -5960299 | D(m+1)=    19205525 |
 | n= 16 | m_min= 26 | D=    24062143 | N=    42981185 | N/D=  1.786|             | D(m-1)=    -9492289 | D(m+1)=    91171007 |
 | n= 17 | m_min= 27 | D=     5077565 | N=   129009091 | N/D= 25.408|             | D(m-1)=   -62031299 | D(m+1)=   139295293 |
 | n= 18 | m_min= 29 | D=   149450423 | N=   387158345 | N/D=  2.591|             | D(m-1)=  -118985033 | D(m+1)=   686321335 |
 | n= 19 | m_min= 31 | D=   985222181 | N=  1161737179 | N/D=  1.179|             | D(m-1)=   -88519643 | D(m+1)=  3132705829 |
 | n= 20 | m_min= 32 | D=   808182895 | N=  3485735825 | N/D=  4.313|             | D(m-1)= -1339300753 | D(m+1)=  5103150191 |

Ici, pour m entier minimum donnant D positif, on a toujours N > D et N/D > 1

Si , cela signifie que , soit :





Donc l'écart entre et la plus grande puissance de inférieure à est supérieure à ce qui semble impossible d'après les exemples observés.

Est-ce compliqué à démontrer ?

je ne sais pas, mais ça se calcule facilement :
Le code :

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print (f"\n =============================================================\n")
print (f" Soit N = 3^n - 2^n    et   D = 2^m - 3^n,   n > 0,    m > n,   ?valeurs entières? de N/D")
print (f" m_min est la valeur minimum de m pour que D soit positif")
print (f" Maths :  2^m > 3^n >>>> m * log(2) > n * log(3) >>>> m_min = 1 + int(n * log(3) / log(2))\n")

for n in range (1, 21):
    len_int = 12
    m = 1 + int (n * log(3) /log(2))
    trois_exp_n = 3**n 
    deux_exp_m_m_1 = 2**(m-1)
    deux_exp_n_m_1 = 2**(n-1)
    t_gauche = trois_exp_n - deux_exp_m_m_1
    t_droite = deux_exp_n_m_1
    print(f" | n={n:>3} | m_min={m:>3} | 2^(m_min-1)={deux_exp_m_m_1:>{len_int}}\
| 2^(n-1)={deux_exp_n_m_1:{len_int}} | 3^n - 2^(m-1)= {t_gauche:>{len_int}} | 2^n - 1 ={t_droite:>{len_int}} |")
    if n % 10 == 0:
        print("")

Les résultats :

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 Soit N = 3^n - 2^n    et   D = 2^m - 3^n,   n > 0,    m > n,   ?valeurs entières? de N/D
 m_min est la valeur minimum de m pour que D soit positif
 Maths :  2^m > 3^n >>>> m * log(2) > n * log(3) >>>> m_min = 1 + int(n * log(3) / log(2))

 | n=  1 | m_min=  2 | 2^(m_min-1)=           2| 2^(n-1)=           1 | 3^n - 2^(m-1)=            1 | 2^n - 1 =           1 |
 | n=  2 | m_min=  4 | 2^(m_min-1)=           8| 2^(n-1)=           2 | 3^n - 2^(m-1)=            1 | 2^n - 1 =           2 |
 | n=  3 | m_min=  5 | 2^(m_min-1)=          16| 2^(n-1)=           4 | 3^n - 2^(m-1)=           11 | 2^n - 1 =           4 |
 | n=  4 | m_min=  7 | 2^(m_min-1)=          64| 2^(n-1)=           8 | 3^n - 2^(m-1)=           17 | 2^n - 1 =           8 |
 | n=  5 | m_min=  8 | 2^(m_min-1)=         128| 2^(n-1)=          16 | 3^n - 2^(m-1)=          115 | 2^n - 1 =          16 |
 | n=  6 | m_min= 10 | 2^(m_min-1)=         512| 2^(n-1)=          32 | 3^n - 2^(m-1)=          217 | 2^n - 1 =          32 |
 | n=  7 | m_min= 12 | 2^(m_min-1)=        2048| 2^(n-1)=          64 | 3^n - 2^(m-1)=          139 | 2^n - 1 =          64 |
 | n=  8 | m_min= 13 | 2^(m_min-1)=        4096| 2^(n-1)=         128 | 3^n - 2^(m-1)=         2465 | 2^n - 1 =         128 |
 | n=  9 | m_min= 15 | 2^(m_min-1)=       16384| 2^(n-1)=         256 | 3^n - 2^(m-1)=         3299 | 2^n - 1 =         256 |
 | n= 10 | m_min= 16 | 2^(m_min-1)=       32768| 2^(n-1)=         512 | 3^n - 2^(m-1)=        26281 | 2^n - 1 =         512 |

 | n= 11 | m_min= 18 | 2^(m_min-1)=      131072| 2^(n-1)=        1024 | 3^n - 2^(m-1)=        46075 | 2^n - 1 =        1024 |
 | n= 12 | m_min= 20 | 2^(m_min-1)=      524288| 2^(n-1)=        2048 | 3^n - 2^(m-1)=         7153 | 2^n - 1 =        2048 |
 | n= 13 | m_min= 21 | 2^(m_min-1)=     1048576| 2^(n-1)=        4096 | 3^n - 2^(m-1)=       545747 | 2^n - 1 =        4096 |
 | n= 14 | m_min= 23 | 2^(m_min-1)=     4194304| 2^(n-1)=        8192 | 3^n - 2^(m-1)=       588665 | 2^n - 1 =        8192 |
 | n= 15 | m_min= 24 | 2^(m_min-1)=     8388608| 2^(n-1)=       16384 | 3^n - 2^(m-1)=      5960299 | 2^n - 1 =       16384 |
 | n= 16 | m_min= 26 | 2^(m_min-1)=    33554432| 2^(n-1)=       32768 | 3^n - 2^(m-1)=      9492289 | 2^n - 1 =       32768 |
 | n= 17 | m_min= 27 | 2^(m_min-1)=    67108864| 2^(n-1)=       65536 | 3^n - 2^(m-1)=     62031299 | 2^n - 1 =       65536 |
 | n= 18 | m_min= 29 | 2^(m_min-1)=   268435456| 2^(n-1)=      131072 | 3^n - 2^(m-1)=    118985033 | 2^n - 1 =      131072 |
 | n= 19 | m_min= 31 | 2^(m_min-1)=  1073741824| 2^(n-1)=      262144 | 3^n - 2^(m-1)=     88519643 | 2^n - 1 =      262144 |
 | n= 20 | m_min= 32 | 2^(m_min-1)=  2147483648| 2^(n-1)=      524288 | 3^n - 2^(m-1)=   1339300753 | 2^n - 1 =      524288 |

Cette inégalité est intéressante, personne n'avait encore divisé par 2

Dernier spoiler : pour n variant de 1 à 20, cette inégalité n'est pas vérifiée pour n=1 et n=2, les deux solutions
serait plus exact ?

[Juzo]

'a' est inutile

Je ne pense pas qu'à la 4ème ligne de ton code il est autorisé de remplacer k+1 par 2^n (c'est a*2^n) et 1 + k*2^p par 3^n (c'est a*3^n). Ou alors je n'ai pas compris ton raisonnement.

Et pour a = 1 le problème est déjà résolu avec les congruences normalement (voir message #80 ou #94). Donc le pb est de montrer que a =1 je pense, et je n'ai pas compris ta démonstration.

Dernier spoiler : pour n variant de 1 à 20, cette inégalité n'est pas vérifiée pour n=1 et n=2, les deux solutions
serait plus exact ?

Oui, je m'étais restreint au cas k>1 car k=1 n'a qu'une solution de toute façon.

[Liet Kynes]

Tu dis : pour que D soit positif, il faut , tu te fixes un et tu cherches pour D>0, tu peux alors calculer N et D et . Ton m minimum se calcule facilement avec

Pour le m minimum il y a la relation suivante: et donc
Le "m minimum" donnant la première valeur positive

[Juzo]

Pour le m minimum il y a la relation suivante:

Bonjour, peux-tu démontrer cette relation ? Merci

[Juzo]

PS : je demande parce que si cette relation est vraie, normalement le problème est résolu.

[Liet Kynes]

Bonjour, peux-tu démontrer cette relation ? Merci

Il faut que j'écrive formellement tout le raisonnement (je suis pas bon pour cela), cela tient surtout sur la formule

[Juzo]

Est-ce que ça signifierait que l'exposant de la plus petite puissance de 2 supérieure à 3 serait ? Dans ce cas je ne vois pas pourquoi.

Est-ce qu'il serait possible de l'écrire à la main et poster une photo ?

En tout cas si est l'exposant de la plus petite puissance de 2 supérieure à alors signifierait que est un nombre entier...
Or on sait que et que , il est facile de montrer que :

Pour , devient qui a une solution unique, et pour cela devient qui n'a aucune solution.

Finalement .

Donc

Donc est un entier strictement supérieur à 0 et inférieur ou égal à 1. Finalement , donc ( étant supérieur ou égal à et inférieur ou égal à 2n).

On est donc dans le cas où et il existe une unique solution.

[Liet Kynes]

Je viens de regarder et j'ai écrit une connerie-> correction:

Pour le m minimum il y a la relation suivante:
Le "m minimum" donnant la première valeur positive