Montrer que une fraction n'est pas entière - Page 2
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Montrer que une fraction n'est pas entière



  1. #31
    Biname

    Re : Montrer que une fraction n'est pas entière


    ------

    J'ai aussi ces tableaux des quotients et des restes pour n et p variant de 1 à 10 :
     Cliquez pour afficher

    Ils semblent indiquer que la seule valeur de p intéressante est l'entier qui suit directement la racine du dénominateur appelée p0, alors p= int(p0) + 1 est la seule valeurs qui nous intéresse.

    -----

  2. #32
    Biname

    Re : Montrer que une fraction n'est pas entière

    Citation Envoyé par MissJenny Voir le message
    mais pourquoi cherches-tu la solution en p de 2^(n+p)-3^p=0 ? une puissance entière de 2 ne peut jamais être égale à une puissance de 3.
    Voir message #31
    en réalité, du fait de la conjecture de Catalan (démontrée maintenant) on sait que le dénominateur (d'un contre-exemple) doit être supérieur à égal à 3.
    J'ai cherché le nom de ce problème en pensant à Syracuse !

  3. #33
    MissJenny

    Re : Montrer que une fraction n'est pas entière

    j'ai l'impression qu'on doit pouvoir démontrer qu'il y a au plus un nombre fini de solutions (peut-être zéro...), justement parce que les contraintes sur le dénominateur (qu'il soit positif et plus petit que le numérateur) font que quand n croît elles ne peuvent plus être satisfaites.

  4. #34
    MissJenny

    Re : Montrer que une fraction n'est pas entière

    ce que j'ai écrit ci-dessus est idiot. A oublier...

  5. #35
    Biname

    Re : Montrer que une fraction n'est pas entière

    Jenny msg #33
    Depuis mon code du msg #17, je suis certains qu'il n'y a que deux solutions entières
    t(m, n)
    t(2, 1) = 1
    t(3, 2) = -5 à rejeter car t < 0
    Ce code est clair, il n'y a pas d'autres solutions pour n variant de 1 à 500

  6. #36
    MissJenny

    Re : Montrer que une fraction n'est pas entière

    oui mais bon, si ce qui est vrai pour les 500 premiers entiers était vrai pour tous ça se saurait...

  7. #37
    Biname

    Re : Montrer que une fraction n'est pas entière

    Citation Envoyé par MissJenny Voir le message
    oui mais bon, si ce qui est vrai pour les 500 premiers entiers était vrai pour tous ça se saurait...
    Disons que ce n'est pas une preuve

  8. #38
    MissJenny

    Re : Montrer que une fraction n'est pas entière

    finalement mon idée n'était peut-être pas si idiote...

    on veut que 2^m-3^n >= 3 (3 parce que 1 n'est pas possible par Catalan et 2 n'est pas possible car 2^m-3^n est impair). En prenant les logarithmes on en déduit qu'on doit avoir

    (1) m >= (n+1)log(3)/log(2)

    on veut aussi que le numérateur de la fraction soit plus grand que le dénominateur, donc que 3^n - 2^n >= 2^m - 3^n, soit en prenant les logs m <= log(2*3^n - 2^n)/log(2)

    mais 2*3^n - 2^n < 3^(n+1) et donc on en déduit qu'on doit avoir

    (2) m < (n+1)log(3)/log(2)

    la même expression que plus haut...

    donc aucun m ne convient.

  9. #39
    Biname

    Re : Montrer que une fraction n'est pas entière

    salut,
    Citation Envoyé par MissJenny Voir le message
    mais pourquoi cherches-tu la solution en p de 2^(n+p)-3^p=0 ? une puissance entière de 2 ne peut jamais être égale à une puissance de 3.
    Tout à l'heure, le temps me manquait.




    Pour n constant, le dénominateur de t(p) est une fonction croissante, il change de signe en p = p0 ; comme le numérateur est toujours positif, la fonction t(p) change aussi de signe en p = p0. Seules les deux entiers qui encadrent p0 (appelons les p1 et p2) peuvent donner des solutions selon ce que montrent les tableaux du msg #31 (p0 est à l'endroit où la fonction change de signe). Voilà pourquoi p0, bien que réel, est ?crucial.

  10. #40
    Biname

    Re : Montrer que une fraction n'est pas entière

    Citation Envoyé par MissJenny Voir le message
    finalement mon idée n'était peut-être pas si idiote...
    on veut que 2^m-3^n >= 3 (3 parce que 1 n'est pas possible par Catalan et 2 n'est pas possible car 2^m-3^n est impair). En prenant les logarithmes on en déduit qu'on doit avoir
    1 est possible : m=2 et n=1 donne 2^2 - 3^1 = 4 - 3 = +1

    On veut aussi que le numérateur de la fraction soit plus grand que le dénominateur, donc que 3^n - 2^n >= 2^m - 3^n, soit en prenant les logs
    m <= log(2*3^n - 2^n)/log(2)
    3^n - 2^n >= 2^m - 3^n
    Cette inégalité est fausse car il est toujours possible de trouver un m assez grand donnant l'inégalité inverse (n =3 et m = 4000 par exemple)

    ...
    donc aucun m ne convient.
    E pur si muove ! ! t(2,1) = 1 et t(3,2) = -5

  11. #41
    MissJenny

    Re : Montrer que une fraction n'est pas entière

    Citation Envoyé par Biname Voir le message
    1 est possible : m=2 et n=1 donne 2^2 - 3^1 = 4 - 3 = +1
    mais exclu dans l'énoncé.


    3^n - 2^n >= 2^m - 3^n
    Cette inégalité est fausse car il est toujours possible de trouver un m assez grand donnant l'inégalité inverse (n =3 et m = 4000 par exemple)
    mais si le numérateur est plus petit que le dénominateur la fraction n'a aucune chance d'être entière (je rappelle qu'on ne considère que des nombres positifs)

    on peut même dire qu'on doit avoir numérateur >= 3 * dénominateur, puisque 1 est impossible car m>n et 2 aussi car 3^n-2^n est impair.
    Dernière modification par MissJenny ; 24/01/2024 à 08h46.

  12. #42
    Biname

    Re : Montrer que une fraction n'est pas entière

    Salut,
    re msg #41
    Biname : 1 est possible : m=2 et n=1 donne 2^2 - 3^1 = 4 - 3 = +1
    Jenny : mais exclu dans l'énoncé.

    Dans ce cas, oui

    Citation Envoyé par Biname msg #40
    3^n - 2^n >= 2^m - 3^n
    Cette inégalité est fausse car il est toujours possible de trouver un m assez grand donnant l'inégalité inverse (n =3 et m = 4000 par exemple)
    Désolé, ceci est faux deux fois

    Par contre, je ne suis pas le passage aux logarithmes msg #38

  13. #43
    Biname

    Re : Montrer que une fraction n'est pas entière

    Salut,
    Si on demande à Wolfram de résoudre le système de notre énoncé :
    {(3^n - 2^n)/(2^m - 3^n) = p, m>n, n>0}
    Il répond laconiquement :
    Code:
    m = 2, n = 1, p = 1
    m = 3, n = 2, p = -5
    Même résultat en prenant les valeurs positives et négatives de n à l'exception de 0
    soit ce système : {(3^n - 2^n)/(2^m - 3^n) = p, m>n, n!=0}

    ------------------
    re msg #38
    En poursuivant le raisonnement de MissJenny, on peut ajouter que
    le dénominateur ne peut pas non plus être un multiple de 3,
    on peut donc ajouter que le dénominateur doit être plus grand que 4 ou den >= 5.

    __ j __'obtiens alors en passant aux logarithmes :
     Cliquez pour afficher

    Il est amusant de constater que s'il y a quelque part une inversion logique ou une erreur de signe dans ma démo, on trouve les deux solutions
    Sauf erreurssss

  14. #44
    Biname

    Re : Montrer que une fraction n'est pas entière

    Un mauvais copié-collé dans 1), vous aurez probablement corrigé
    Code:
                                            (n+p)*ln(2)     n                     
          ou (n+p) ln(2) >= ...   soit a = e            >= 3  - 5

  15. #45
    Juzo

    Re : Montrer que une fraction n'est pas entière

    Citation Envoyé par rabirodin
    Soit l'expression (3n-2n)/(2m-3n) avec n et m entiers.
    Alors je dois monter que pour m supérieur à n, il n'y a de solutions à part le couple (n,m)=(1,2) telle que l'expression soit un nombre entier.
    Toutes vos suggestions seront les bienvenues.
    Bonsoir, voici une proposition de solution (j'aurais aimé exprimer la partie en bleu plus rigoureusement, et on aurait sûrement pu faire plus simple). Que pensez-vous de sa validité ? Merci.

    Supposons qu'il existe un couple avec et tels que

    On a alors



    avec





    Or, et sont premiers entre eux donc on a nécessairement : *

    De plus : , qu'on peut écrire
    Et : (on a simplifié par à la dernière étape)

    Alors :

    Or n'est un nombre entier que si est un nombre entier multiple de


    Et on sait que donc est un multiple de

    L'unique solution est donc , finalement et

    On a donc soit ce qui donne

    Finalement l'unique solution pour laquelle la fraction est entière est
    Les fleurs du cerisier rêvent en blanc les fruits qu'elles ne voient pas.

  16. #46
    Liet Kynes

    Re : Montrer que une fraction n'est pas entière

    Message annulé: mauvaise lecture de ma part
    Dernière modification par Liet Kynes ; 27/01/2024 à 07h51.
    Sans questions il n'y a que des problèmes sans réponses.

  17. #47
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Montrer que une fraction n'est pas entière

    Juzo, pour ta partie bleue, rien n'impose à (k+1)/k d'être un entier. Seulement d'avoir un facteur 2^n dans sa factorisation de fraction réduite.
    D'ailleurs, si k est différent de -1 et 1, ce n'est jamais un entier.


    Cordialement.

  18. #48
    Juzo

    Re : Montrer que une fraction n'est pas entière

    Citation Envoyé par gg0
    Juzo, pour ta partie bleue, rien n'impose à (k+1)/k d'être un entier. Seulement d'avoir un facteur 2^n dans sa factorisation de fraction réduite.
    D'ailleurs, si k est différent de -1 et 1, ce n'est jamais un entier.
    Bonjour, effectivement mais on prend aussi en compte que dans la fraction de gauche numérateur = (dénominateur + 1) (sur ce point ma démonstration était très incomplète)

    Le produit n'est entier que si a un nombre fini de chiffres après la virgule.


    , qui a un nombre fini de chiffres après la virgule si et seulement si avec ( n'a pas d'autre diviseur premier que 2 et 5).

    Ok n'est pas dans la table de 2, donc nécessairement et k est de la forme

    De plus
    • Pour n impair, finit par 2 ou 8 donc finit par 1 ou 7 et pour n'est pas dans la table de , l'unique solution est soit .
    • Pour n pair, est dans la table de 3 donc n'a pas uniquement 5 comme diviseur.
    Finalement l'unique solution est k = 1, et est un nombre entier.
    Dernière modification par Juzo ; 27/01/2024 à 12h30.
    Les fleurs du cerisier rêvent en blanc les fruits qu'elles ne voient pas.

  19. #49
    Juzo

    Re : Montrer que une fraction n'est pas entière

    PS : la proposition "Pour n pair, est un multiple de 3" (avec n>0, condition de l'énoncé) se montre par récurrence sur n :

    Elle est vraie pour et qui est un multiple de 3.
    Dernière modification par Juzo ; 27/01/2024 à 13h06.
    Les fleurs du cerisier rêvent en blanc les fruits qu'elles ne voient pas.

  20. #50
    Juzo

    Re : Montrer que une fraction n'est pas entière

    Dernière précision : la proposition "Le produit n'est entier que si a un nombre fini de chiffres après la virgule", se justifie par le fait que a un nombre fini de chiffres après la virgule.
    Les fleurs du cerisier rêvent en blanc les fruits qu'elles ne voient pas.

  21. #51
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Montrer que une fraction n'est pas entière

    Désolé, je ne comprends pas la justification, le pourquoi du "nombre fini de chiffres après la virgule" (donc la nécessité que ce soit un décimal).
    \frac 8 {19} (\frac {27}8 -1) est entier sans que la fraction du début soit un décimal.

  22. #52
    Liet Kynes

    Re : Montrer que une fraction n'est pas entière

    Citation Envoyé par gg0 Voir le message
    Désolé, je ne comprends pas la justification, le pourquoi du "nombre fini de chiffres après la virgule" (donc la nécessité que ce soit un décimal).
    \frac 8 {19} (\frac {27}8 -1) est entier sans que la fraction du début soit un décimal.
    à priori, il faut que soit de la forme avec i,j >0 pour que soit entier
    Sans questions il n'y a que des problèmes sans réponses.

  23. #53
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Montrer que une fraction n'est pas entière

    Pourquoi "à priori" ? D'autant que ce n'est jamais vrai.

    Un peu de vraies maths, s'il te plaît. "à priori" n'est pas un mot mathématique, seulement l'expression d'une conviction personnelle ou un argument philosophique.
    Dernière modification par gg0 ; 27/01/2024 à 13h49.

  24. #54
    Juzo

    Re : Montrer que une fraction n'est pas entière

    @gg0 en effet je suis revenu pour ça : je pensais que ça se justifiait par la division par 2^n mais c'était faux comme votre exemple le prouve, désolé.
    Merci pour ces précisions et bonne journée
    Les fleurs du cerisier rêvent en blanc les fruits qu'elles ne voient pas.

  25. #55
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Montrer que une fraction n'est pas entière

    Juzo, n'ais pas de regret, tu as au moins essayé !
    Ça arrive souvent dans ces problèmes énervants d'arithmétique, on trouve une voie, mais il y a une petite étape "évidente" qu'il faut justifier, et qui bloque tout. C'est même arrivé à Andrew Wiles dans sa preuve publique du théorème de Fermat, tu es en bonne compagnie !

    Cordialement.

  26. #56
    Juzo

    Re : Montrer que une fraction n'est pas entière

    En tout cas ,
    donc doit être dans la table de qui est un multiple de 3 quand n est pair. Donc n ne peut être pair.
    J'imagine que c'est un progrès... mais merci !
    Les fleurs du cerisier rêvent en blanc les fruits qu'elles ne voient pas.

  27. #57
    Liet Kynes

    Re : Montrer que une fraction n'est pas entière

    Citation Envoyé par gg0 Voir le message
    Pourquoi "à priori" ? D'autant que ce n'est jamais vrai.

    Un peu de vraies maths, s'il te plaît. "à priori" n'est pas un mot mathématique, seulement l'expression d'une conviction personnelle ou un argument philosophique.
    "A priori" est juste une façon de dire ce que tu dis en #55, suggérer la nécessité de la preuve est toujours délicat, délicatesse que tu amènes toi-même a posteriori .
    Sans questions il n'y a que des problèmes sans réponses.

  28. #58
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Montrer que une fraction n'est pas entière

    Tu devrais regarder dans un dictionnaire la signification de "à priori".

  29. #59
    Liet Kynes

    Re : Montrer que une fraction n'est pas entière

    à priori (sans démonstration) , j'ai trouvé un petit truc pour 2^m-3^n, pour la plus grande puissance de 2^n contenue dans 3^n.
    A chaque puissance, de 3^n il existe un plus grand 2^m tel que 3^n-2^m>0.
    Pour 3^3, 2^3 est les plus grand 2^m possible.
    Quelque soit le plus grand m d'un n,tel que considéré ci-dessus , 2^m+19 est un nombre qui est la plus grande puissance contenue dans un nombre de la forme 3^n
    Sans questions il n'y a que des problèmes sans réponses.

  30. #60
    Biname

    Re : Montrer que une fraction n'est pas entière

    Salut,
    Citation Envoyé par Liet Kynes Voir le message
    à priori (sans démonstration) , j'ai trouvé un petit truc pour 2^m-3^n, pour la plus grande puissance de 2^n contenue dans 3^n.
    A chaque puissance, de 3^n il existe un plus grand 2^m tel que 3^n-2^m>0.
    Pour 3^3, 2^3 est les plus grand 2^m possible.
    Quelque soit le plus grand m d'un n,tel que considéré ci-dessus , 2^m+19 est un nombre qui est la plus grande puissance contenue dans un nombre de la forme 3^n
    Le dénominateur change de signe lorsque
    en passant aux logarithmes, on trouve :
    la plus grande puissance de contenue dans est qui donne un reste positif
    qui donne un reste négatif
    En code et chiffres :
     Cliquez pour afficher

    Toujours rien de vraiment probant parmi les solutions ?

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