Montrer que une fraction n'est pas entière

**Biname** · 23/01/2024, 10h30

J'ai aussi ces tableaux des quotients et des restes pour n et p variant de 1 à 10 :

Cliquez pour afficher

Code:

Tableau du quotient de : t(n, p) = (3^n - 2^n)/(2^(n+p) - 3^n)
+-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
|        | n =      1 | n =      2 | n =      3 | n =      4 | n =      5 | n =      6 | n =      7 | n =      8 | n =      9 | n =     10|
|-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
|p =   0 | -1.000e+00 | -1.000e+00 | -1.000e+00 | -1.000e+00 | -1.000e+00 | -1.000e+00 | -1.000e+00 | -1.000e+00 | -1.000e+00 | -1.000e+00|
|p =   1 |  1.000e+00 | -5.000e+00 | -1.727e+00 | -1.327e+00 | -1.179e+00 | -1.106e+00 | -1.066e+00 | -1.042e+00 | -1.027e+00 | -1.018e+00|
|p =   2 |  2.000e-01 |  7.143e-01 |  3.800e+00 | -3.824e+00 | -1.835e+00 | -1.406e+00 | -1.229e+00 | -1.139e+00 | -1.087e+00 | -1.056e+00|
|p =   3 |  7.692e-02 |  2.174e-01 |  5.135e-01 |  1.383e+00 |  1.623e+01 | -3.065e+00 | -1.770e+00 | -1.397e+00 | -1.230e+00 | -1.141e+00|
|p =   4 |  3.448e-02 |  9.091e-02 |  1.881e-01 |  3.714e-01 |  7.844e-01 |  2.254e+00 | -1.481e+01 | -2.558e+00 | -1.668e+00 | -1.360e+00|
|p =   5 |  1.639e-02 |  4.202e-02 |  8.297e-02 |  1.508e-01 |  2.702e-01 |  5.042e-01 |  1.079e+00 |  3.866e+00 | -5.811e+00 | -2.208e+00|
|p =   6 |  8.000e-03 |  2.024e-02 |  3.918e-02 |  6.893e-02 |  1.169e-01 |  1.975e-01 |  3.429e-01 |  6.419e-01 |  1.465e+00 |  8.945e+00|
|p =   7 |  3.953e-03 |  9.940e-03 |  1.906e-02 |  3.305e-02 |  5.476e-02 |  8.911e-02 |  1.450e-01 |  2.406e-01 |  4.181e-01 |  8.056e-01|
|p =   8 |  1.965e-03 |  4.926e-03 |  9.401e-03 |  1.619e-02 |  2.654e-02 |  4.248e-02 |  6.733e-02 |  1.069e-01 |  1.721e-01 |  2.857e-01|
|p =   9 |  9.794e-04 |  2.452e-03 |  4.669e-03 |  8.014e-03 |  1.307e-02 |  2.076e-02 |  3.250e-02 |  5.064e-02 |  7.907e-02 |  1.247e-01|
|p =  10 |  4.890e-04 |  1.223e-03 |  2.327e-03 |  3.987e-03 |  6.487e-03 |  1.026e-02 |  1.598e-02 |  2.467e-02 |  3.799e-02 |  5.864e-02|
+-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+

Tableau du reste de : t(n, p) = (3^n - 2^n)/(2^(n+p) - 3^n)
+-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
|        | n =      1 | n =      2 | n =      3 | n =      4 | n =      5 | n =      6 | n =      7 | n =      8 | n =      9 | n =     10|
|-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
|p =   0 |  0.000e+00 |  0.000e+00 |  0.000e+00 |  0.000e+00 |  0.000e+00 |  0.000e+00 |  0.000e+00 |  0.000e+00 |  0.000e+00 |  0.000e+00|
|p =   1 |  0.000e+00 |  0.000e+00 | -3.000e+00 | -3.300e+01 | -1.470e+02 | -5.370e+02 | -1.803e+03 | -5.793e+03 | -1.815e+04 | -5.598e+04|
|p =   2 |  1.000e+00 |  5.000e+00 |  4.000e+00 | -3.000e+00 | -1.900e+01 | -2.810e+02 | -1.291e+03 | -4.769e+03 | -1.610e+04 | -5.188e+04|
|p =   3 |  1.000e+00 |  5.000e+00 |  1.900e+01 |  1.800e+01 |  3.000e+00 | -2.030e+02 | -2.670e+02 | -2.721e+03 | -1.200e+04 | -4.369e+04|
|p =   4 |  1.000e+00 |  5.000e+00 |  1.900e+01 |  6.500e+01 |  2.110e+02 |  7.500e+01 | -2.600e+01 | -1.090e+03 | -3.811e+03 | -2.730e+04|   
|p =   5 |  1.000e+00 |  5.000e+00 |  1.900e+01 |  6.500e+01 |  2.110e+02 |  6.650e+02 |  1.500e+02 |  1.412e+03 | -6.230e+02 | -2.082e+04|   
|p =   6 |  1.000e+00 |  5.000e+00 |  1.900e+01 |  6.500e+01 |  2.110e+02 |  6.650e+02 |  2.059e+03 |  6.305e+03 |  6.086e+03 |  6.129e+03|   
|p =   7 |  1.000e+00 |  5.000e+00 |  1.900e+01 |  6.500e+01 |  2.110e+02 |  6.650e+02 |  2.059e+03 |  6.305e+03 |  1.917e+04 |  5.802e+04|   
|p =   8 |  1.000e+00 |  5.000e+00 |  1.900e+01 |  6.500e+01 |  2.110e+02 |  6.650e+02 |  2.059e+03 |  6.305e+03 |  1.917e+04 |  5.802e+04|   
|p =   9 |  1.000e+00 |  5.000e+00 |  1.900e+01 |  6.500e+01 |  2.110e+02 |  6.650e+02 |  2.059e+03 |  6.305e+03 |  1.917e+04 |  5.802e+04|   
|p =  10 |  1.000e+00 |  5.000e+00 |  1.900e+01 |  6.500e+01 |  2.110e+02 |  6.650e+02 |  2.059e+03 |  6.305e+03 |  1.917e+04 |  5.802e+04|   
+-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+

Ils semblent indiquer que la seule valeur de p intéressante est l'entier qui suit directement la racine du dénominateur appelée p0, alors p= int(p0) + 1 est la seule valeurs qui nous intéresse.

**Biname** · 23/01/2024, 10h34

Envoyé par MissJenny

mais pourquoi cherches-tu la solution en p de 2^(n+p)-3^p=0 ? une puissance entière de 2 ne peut jamais être égale à une puissance de 3.

Voir message #31

en réalité, du fait de la conjecture de Catalan (démontrée maintenant) on sait que le dénominateur (d'un contre-exemple) doit être supérieur à égal à 3.

J'ai cherché le nom de ce problème en pensant à Syracuse !

**MissJenny** · 23/01/2024, 10h37

j'ai l'impression qu'on doit pouvoir démontrer qu'il y a au plus un nombre fini de solutions (peut-être zéro...), justement parce que les contraintes sur le dénominateur (qu'il soit positif et plus petit que le numérateur) font que quand n croît elles ne peuvent plus être satisfaites.

**MissJenny** · 23/01/2024, 10h43

ce que j'ai écrit ci-dessus est idiot. A oublier...

**Biname** · 23/01/2024, 10h44

Jenny msg #33
Depuis mon code du msg #17, je suis certains qu'il n'y a que deux solutions entières
t(m, n)
t(2, 1) = 1
t(3, 2) = -5 à rejeter car t < 0
Ce code est clair, il n'y a pas d'autres solutions pour n variant de 1 à 500

**MissJenny** · 23/01/2024, 10h47

oui mais bon, si ce qui est vrai pour les 500 premiers entiers était vrai pour tous ça se saurait...

**Biname** · 23/01/2024, 10h57

Envoyé par MissJenny

oui mais bon, si ce qui est vrai pour les 500 premiers entiers était vrai pour tous ça se saurait...

Disons que ce n'est pas une preuve

**MissJenny** · 23/01/2024, 15h17

finalement mon idée n'était peut-être pas si idiote...

on veut que 2^m-3^n >= 3 (3 parce que 1 n'est pas possible par Catalan et 2 n'est pas possible car 2^m-3^n est impair). En prenant les logarithmes on en déduit qu'on doit avoir

(1) m >= (n+1)log(3)/log(2)

on veut aussi que le numérateur de la fraction soit plus grand que le dénominateur, donc que 3^n - 2^n >= 2^m - 3^n, soit en prenant les logs m <= log(2*3^n - 2^n)/log(2)

mais 2*3^n - 2^n < 3^(n+1) et donc on en déduit qu'on doit avoir

(2) m < (n+1)log(3)/log(2)

la même expression que plus haut...

donc aucun m ne convient.

**Biname** · 23/01/2024, 15h23

salut,

Envoyé par MissJenny

mais pourquoi cherches-tu la solution en p de 2^(n+p)-3^p=0 ? une puissance entière de 2 ne peut jamais être égale à une puissance de 3.

Tout à l'heure, le temps me manquait.
$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Pour n constant, le dénominateur de t(p) est une fonction croissante, il change de signe en p = p0 ; comme le numérateur est toujours positif, la fonction t(p) change aussi de signe en p = p0. Seules les deux entiers qui encadrent p0 (appelons les p1 et p2) peuvent donner des solutions selon ce que montrent les tableaux du msg #31 (p0 est à l'endroit où la fonction change de signe). Voilà pourquoi p0, bien que réel, est ?crucial.

**Biname** · 23/01/2024, 16h19

Envoyé par MissJenny

finalement mon idée n'était peut-être pas si idiote...
on veut que 2^m-3^n >= 3 (3 parce que 1 n'est pas possible par Catalan et 2 n'est pas possible car 2^m-3^n est impair). En prenant les logarithmes on en déduit qu'on doit avoir

1 est possible : m=2 et n=1 donne 2^2 - 3^1 = 4 - 3 = +1

On veut aussi que le numérateur de la fraction soit plus grand que le dénominateur, donc que 3^n - 2^n >= 2^m - 3^n, soit en prenant les logs
m <= log(2*3^n - 2^n)/log(2)

3^n - 2^n >= 2^m - 3^n
Cette inégalité est fausse car il est toujours possible de trouver un m assez grand donnant l'inégalité inverse (n =3 et m = 4000 par exemple)

...
donc aucun m ne convient.

E pur si muove ! ! t(2,1) = 1 et t(3,2) = -5

**MissJenny** · 24/01/2024, 08h44

Envoyé par Biname

1 est possible : m=2 et n=1 donne 2^2 - 3^1 = 4 - 3 = +1

mais exclu dans l'énoncé.

3^n - 2^n >= 2^m - 3^n
Cette inégalité est fausse car il est toujours possible de trouver un m assez grand donnant l'inégalité inverse (n =3 et m = 4000 par exemple)

mais si le numérateur est plus petit que le dénominateur la fraction n'a aucune chance d'être entière (je rappelle qu'on ne considère que des nombres positifs)

on peut même dire qu'on doit avoir numérateur >= 3 * dénominateur, puisque 1 est impossible car m>n et 2 aussi car 3^n-2^n est impair.

**Biname** · 24/01/2024, 11h01

Salut,
re msg #41
Biname : 1 est possible : m=2 et n=1 donne 2^2 - 3^1 = 4 - 3 = +1
Jenny : mais exclu dans l'énoncé.

Dans ce cas, oui

Envoyé par Biname msg #40

3^n - 2^n >= 2^m - 3^n
Cette inégalité est fausse car il est toujours possible de trouver un m assez grand donnant l'inégalité inverse (n =3 et m = 4000 par exemple)

Désolé, ceci est faux deux fois

Par contre, je ne suis pas le passage aux logarithmes msg #38

**Biname** · 26/01/2024, 09h18

Salut,
Si on demande à Wolfram de résoudre le système de notre énoncé :
{(3^n - 2^n)/(2^m - 3^n) = p, m>n, n>0}
Il répond laconiquement :

Code:

m = 2, n = 1, p = 1
m = 3, n = 2, p = -5

Même résultat en prenant les valeurs positives et négatives de n à l'exception de 0
soit ce système : {(3^n - 2^n)/(2^m - 3^n) = p, m>n, n!=0}

------------------
re msg #38
En poursuivant le raisonnement de MissJenny, on peut ajouter que
le dénominateur ne peut pas non plus être un multiple de 3,
on peut donc ajouter que le dénominateur doit être plus grand que 4 ou den >= 5.

__ j __'obtiens alors en passant aux logarithmes :

Cliquez pour afficher

Il est amusant de constater que s'il y a quelque part une inversion logique ou une erreur de signe dans ma démo, on trouve les deux solutions

Sauf erreurssss

**Biname** · 26/01/2024, 09h36

Un mauvais copié-collé dans 1), vous aurez probablement corrigé

Code:

                                        (n+p)*ln(2)     n                     
      ou (n+p) ln(2) >= ...   soit a = e            >= 3  - 5

**Juzo** · 26/01/2024, 23h30

Envoyé par rabirodin

Soit l'expression (3n-2n)/(2m-3n) avec n et m entiers.
Alors je dois monter que pour m supérieur à n, il n'y a de solutions à part le couple (n,m)=(1,2) telle que l'expression soit un nombre entier.
Toutes vos suggestions seront les bienvenues.

Bonsoir, voici une proposition de solution (j'aurais aimé exprimer la partie en bleu plus rigoureusement, et on aurait sûrement pu faire plus simple). Que pensez-vous de sa validité ? Merci.

Supposons qu'il existe un couple $\text{[math]}$ avec et $\text{[math]}$ tels que $\text{[math]}$

On a alors

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Or, $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont premiers entre eux donc on a nécessairement : $\text{[math]}$ *

De plus : $\text{[math]}$ , qu'on peut écrire $\text{[math]}$
Et : $\text{[math]}$ (on a simplifié par $\text{[math]}$ à la dernière étape)

Alors : $\text{[math]}$

Or $\text{[math]}$ n'est un nombre entier que si $\text{[math]}$ est un nombre entier multiple de $\text{[math]}$

Et on sait que $\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$ est un multiple de $\text{[math]}$

L'unique solution est $\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$ , finalement $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

On a donc $\text{[math]}$ soit $\text{[math]}$ ce qui donne $\text{[math]}$

Finalement l'unique solution pour laquelle la fraction est entière est $\text{[math]}$

**Liet Kynes** · 27/01/2024, 07h48

Message annulé: mauvaise lecture de ma part

**gg0** · 27/01/2024, 09h17

Juzo, pour ta partie bleue, rien n'impose à (k+1)/k d'être un entier. Seulement d'avoir un facteur 2^n dans sa factorisation de fraction réduite.
D'ailleurs, si k est différent de -1 et 1, ce n'est jamais un entier.
$\text{[math]}$

Cordialement.

**Juzo** · 27/01/2024, 12h26

Envoyé par gg0

Juzo, pour ta partie bleue, rien n'impose à (k+1)/k d'être un entier. Seulement d'avoir un facteur 2^n dans sa factorisation de fraction réduite.
D'ailleurs, si k est différent de -1 et 1, ce n'est jamais un entier.
$\text{[math]}$

Bonjour, effectivement mais on prend aussi en compte que dans la fraction de gauche numérateur = (dénominateur + 1) (sur ce point ma démonstration était très incomplète)

Le produit $\text{[math]}$ n'est entier que si $\text{[math]}$ a un nombre fini de chiffres après la virgule.

$\text{[math]}$ , qui a un nombre fini de chiffres après la virgule si et seulement si $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ n'a pas d'autre diviseur premier que 2 et 5).

Ok $\text{[math]}$ n'est pas dans la table de 2, donc nécessairement $\text{[math]}$ et k est de la forme $\text{[math]}$

De plus

Pour n impair, $\text{[math]}$ finit par 2 ou 8 donc $\text{[math]}$ finit par 1 ou 7 et pour $\text{[math]}$ n'est pas dans la table de $\text{[math]}$ , l'unique solution est $\text{[math]}$ soit $\text{[math]}$ .

Pour n pair, $\text{[math]}$ est dans la table de 3 donc n'a pas uniquement 5 comme diviseur.

Finalement l'unique solution est k = 1, et $\text{[math]}$ est un nombre entier.

**Juzo** · 27/01/2024, 13h02

PS : la proposition "Pour n pair, $\text{[math]}$ est un multiple de 3" (avec n>0, condition de l'énoncé) se montre par récurrence sur n :

Elle est vraie pour $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ qui est un multiple de 3.

**Juzo** · 27/01/2024, 13h14

Dernière précision : la proposition "Le produit $\text{[math]}$ n'est entier que si $\text{[math]}$ a un nombre fini de chiffres après la virgule", se justifie par le fait que $\text{[math]}$ a un nombre fini de chiffres après la virgule.

**gg0** · 27/01/2024, 13h33

Désolé, je ne comprends pas la justification, le pourquoi du "nombre fini de chiffres après la virgule" (donc la nécessité que ce soit un décimal).
\frac 8 {19} (\frac {27}8 -1) est entier sans que la fraction du début soit un décimal.

**Liet Kynes** · 27/01/2024, 13h43

Envoyé par gg0

Désolé, je ne comprends pas la justification, le pourquoi du "nombre fini de chiffres après la virgule" (donc la nécessité que ce soit un décimal).
\frac 8 {19} (\frac {27}8 -1) est entier sans que la fraction du début soit un décimal.

à priori, il faut que $\text{[math]}$ soit de la forme $\text{[math]}$ avec i,j >0 pour que $\text{[math]}$ soit entier

**gg0** · 27/01/2024, 13h48

Pourquoi "à priori" ? D'autant que ce n'est jamais vrai.

Un peu de vraies maths, s'il te plaît. "à priori" n'est pas un mot mathématique, seulement l'expression d'une conviction personnelle ou un argument philosophique.

**Juzo** · 27/01/2024, 14h27

@gg0 en effet je suis revenu pour ça : je pensais que ça se justifiait par la division par 2^n mais c'était faux comme votre exemple le prouve, désolé.
Merci pour ces précisions et bonne journée

**gg0** · 27/01/2024, 14h57

Juzo, n'ais pas de regret, tu as au moins essayé !
Ça arrive souvent dans ces problèmes énervants d'arithmétique, on trouve une voie, mais il y a une petite étape "évidente" qu'il faut justifier, et qui bloque tout. C'est même arrivé à Andrew Wiles dans sa preuve publique du théorème de Fermat, tu es en bonne compagnie !

Cordialement.

**Juzo** · 27/01/2024, 15h36

En tout cas $\text{[math]}$ ,
donc $\text{[math]}$ doit être dans la table de $\text{[math]}$ qui est un multiple de 3 quand n est pair. Donc n ne peut être pair.
J'imagine que c'est un progrès... mais merci !

**Liet Kynes** · 27/01/2024, 16h00

Envoyé par gg0

Pourquoi "à priori" ? D'autant que ce n'est jamais vrai.

Un peu de vraies maths, s'il te plaît. "à priori" n'est pas un mot mathématique, seulement l'expression d'une conviction personnelle ou un argument philosophique.

"A priori" est juste une façon de dire ce que tu dis en #55, suggérer la nécessité de la preuve est toujours délicat, délicatesse que tu amènes toi-même a posteriori .

**gg0** · 27/01/2024, 16h48

Tu devrais regarder dans un dictionnaire la signification de "à priori".

**Liet Kynes** · 28/01/2024, 13h03

à priori (sans démonstration) , j'ai trouvé un petit truc pour 2^m-3^n, pour la plus grande puissance de 2^n contenue dans 3^n.
A chaque puissance, de 3^n il existe un plus grand 2^m tel que 3^n-2^m>0.
Pour 3^3, 2^3 est les plus grand 2^m possible.
Quelque soit le plus grand m d'un n,tel que considéré ci-dessus , 2^m+19 est un nombre qui est la plus grande puissance contenue dans un nombre de la forme 3^n

**Biname** · 28/01/2024, 15h17

Salut,

Envoyé par Liet Kynes

à priori (sans démonstration) , j'ai trouvé un petit truc pour 2^m-3^n, pour la plus grande puissance de 2^n contenue dans 3^n.
A chaque puissance, de 3^n il existe un plus grand 2^m tel que 3^n-2^m>0.
Pour 3^3, 2^3 est les plus grand 2^m possible.
Quelque soit le plus grand m d'un n,tel que considéré ci-dessus , 2^m+19 est un nombre qui est la plus grande puissance contenue dans un nombre de la forme 3^n

Le dénominateur $\text{[math]}$ change de signe lorsque $\text{[math]}$
en passant aux logarithmes, on trouve : $\text{[math]}$
la plus grande puissance de $\text{[math]}$ contenue dans $\text{[math]}$ est $\text{[math]}$ qui donne un reste positif
$\text{[math]}$ qui donne un reste négatif
En code et chiffres :

Cliquez pour afficher

code python

Code:

from numpy import log
k = log(3)/log(2) - 1
for n in range (1, 21):
    p0 = n * k
    p1 = int(p0)
    p2 = p1 + 1
    reste_p1 = 3**n - 2**(n + p1)
    reste_p2 = 3**n - 2**(n + p2)

    print (f"n={n:>2} | p0={p0:>8.3e} | p1= {p1:>4} | p2= {p2:>4} | 3^n - 2^(n+p1) = {reste_p1:>8.3e} | 3^n - 2^(n+p1+1) = {reste_p2:>8.3e}")

Code:

p1 = int(p0) et p2 = p1 + 1

| n= 1 | p0=5.850e-01 | p1=    0 | p2=    1 | 3^n - 2^(n+p1) = 1.000e+00 | 3^n - 2^(n+p1+1) = -1.000e+00 |
| n= 2 | p0=1.170e+00 | p1=    1 | p2=    2 | 3^n - 2^(n+p1) = 1.000e+00 | 3^n - 2^(n+p1+1) = -7.000e+00 |
| n= 3 | p0=1.755e+00 | p1=    1 | p2=    2 | 3^n - 2^(n+p1) = 1.100e+01 | 3^n - 2^(n+p1+1) = -5.000e+00 |
| n= 4 | p0=2.340e+00 | p1=    2 | p2=    3 | 3^n - 2^(n+p1) = 1.700e+01 | 3^n - 2^(n+p1+1) = -4.700e+01 |
| n= 5 | p0=2.925e+00 | p1=    2 | p2=    3 | 3^n - 2^(n+p1) = 1.150e+02 | 3^n - 2^(n+p1+1) = -1.300e+01 |
| n= 6 | p0=3.510e+00 | p1=    3 | p2=    4 | 3^n - 2^(n+p1) = 2.170e+02 | 3^n - 2^(n+p1+1) = -2.950e+02 |
| n= 7 | p0=4.095e+00 | p1=    4 | p2=    5 | 3^n - 2^(n+p1) = 1.390e+02 | 3^n - 2^(n+p1+1) = -1.909e+03 |
| n= 8 | p0=4.680e+00 | p1=    4 | p2=    5 | 3^n - 2^(n+p1) = 2.465e+03 | 3^n - 2^(n+p1+1) = -1.631e+03 |
| n= 9 | p0=5.265e+00 | p1=    5 | p2=    6 | 3^n - 2^(n+p1) = 3.299e+03 | 3^n - 2^(n+p1+1) = -1.308e+04 |
| n=10 | p0=5.850e+00 | p1=    5 | p2=    6 | 3^n - 2^(n+p1) = 2.628e+04 | 3^n - 2^(n+p1+1) = -6.487e+03 |
| n=11 | p0=6.435e+00 | p1=    6 | p2=    7 | 3^n - 2^(n+p1) = 4.608e+04 | 3^n - 2^(n+p1+1) = -8.500e+04 |
| n=12 | p0=7.020e+00 | p1=    7 | p2=    8 | 3^n - 2^(n+p1) = 7.153e+03 | 3^n - 2^(n+p1+1) = -5.171e+05 |
| n=13 | p0=7.605e+00 | p1=    7 | p2=    8 | 3^n - 2^(n+p1) = 5.457e+05 | 3^n - 2^(n+p1+1) = -5.028e+05 |
| n=14 | p0=8.189e+00 | p1=    8 | p2=    9 | 3^n - 2^(n+p1) = 5.887e+05 | 3^n - 2^(n+p1+1) = -3.606e+06 |
| n=15 | p0=8.774e+00 | p1=    8 | p2=    9 | 3^n - 2^(n+p1) = 5.960e+06 | 3^n - 2^(n+p1+1) = -2.428e+06 |
| n=16 | p0=9.359e+00 | p1=    9 | p2=   10 | 3^n - 2^(n+p1) = 9.492e+06 | 3^n - 2^(n+p1+1) = -2.406e+07 |
| n=17 | p0=9.944e+00 | p1=    9 | p2=   10 | 3^n - 2^(n+p1) = 6.203e+07 | 3^n - 2^(n+p1+1) = -5.078e+06 |
| n=18 | p0=1.053e+01 | p1=   10 | p2=   11 | 3^n - 2^(n+p1) = 1.190e+08 | 3^n - 2^(n+p1+1) = -1.495e+08 |
| n=19 | p0=1.111e+01 | p1=   11 | p2=   12 | 3^n - 2^(n+p1) = 8.852e+07 | 3^n - 2^(n+p1+1) = -9.852e+08 |
| n=20 | p0=1.170e+01 | p1=   11 | p2=   12 | 3^n - 2^(n+p1) = 1.339e+09 | 3^n - 2^(n+p1+1) = -8.082e+08 |

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