Calcul de rayon

[Martine]

Bonjour,
Je bloque sur l’exercice suivant, je souhaiterai votre aide, sachant que j’ai utilisé les formules nécessaires des volumes. Je vous en remercie d’avance.

“On considère une sphère qui est centrée sur le sommet d'un cône. Le cône a une base plate, est de hauteur 2 et sous-tend à 60 degrés au sommet. Trouvez le rayon de la sphère de sorte que sa surface divise le cône en deux volumes égaux.”
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[GBZM]

Bonjour,
Que veut dire "sous-tend à 60° au sommet" ?
Est-ce que l'angle que fait une génératrice du cône avec son axe est 60° ou 30° ?

[Martine]

Bonjour, l’énoncé est ai si formulé, j’ai compris personnellement que c’est 30 deg. Mais si on voit la méthode, je crois qu’on pourra le faire aussi avec 60. Je vous en remercie.

[GBZM]

Le volume de l'intersection de la sphère avec le cône est proportionnel à la surface de la calotte sphérique découpée par le cône.
Il te suffit donc :
- de calculer le volume du cône,
- de calculer la proportion de la surface de la sphère représentée par la calotte sphérique découpée par le cône, et d'en déduire le volume de l'intersection du cône avec la sphère en fonction du rayon de celle-ci.
- de conclure.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Martine]

Est ce sue je peux espérer une figure , même à la main qui pourrait me rendre le calcul algébrique plus facile . Merci d’avance.

[GBZM]

Qu'est-ce qui te pose problème ?
Pour le calcul de la proportion de la surface de la sphère représentée par la calotte sphérique, tu peux penser à la projection cylindrique de Lambert qui préserve les aires (propriété déjà connue d'Archimède).

[GBZM]

Projection cylindrique de Lambert : https://fr.wikipedia.org/wiki/Projec...que_de_Lambert

[Martine]

Justement, je n’arrive pas à calculer la proportion de la surface de la sphère, même avec votre indication.

[pm42]

Tu as vu ça ?

https://fr.wikipedia.org/wiki/Secteur_sphérique

[Martine]

Oui, si l’angle mesure 30 deg alors on peut calculer a , a=r/2 et alors l’aire A=Pir( r/2 + 2h)
Prière de me corriger .

[Martine]

Il semble que je me trouve bien égarée, la figure n’est pas encore claire à mes yeux .

[GBZM]

Comment s'y retrouver sans avoir besoin de formulaire sur le "secteur sphérique" ?
On considère un cône de sommet le centre de la sphère de rayon et de demi-angle au sommet (l'angle entre l'axe du cône et une génératrice). Ce cône découpe sur la surface de la sphère une calotte sphérique, et le volume de l'intersection de la boule et du cône est égal au volume de la boule fois le rapport de l'aire de la calotte sphérique à l'aire de la sphère.
On connaît le volume de la boule de rayon .
Reste à évaluer le rapport de l'aire de la calotte sphérique à l'aire de la sphère. C'est ici que je fais intervenir la projection orthogonale de la sphère sur le cylindre qui l'enveloppe. Cette projection préserve les aires, dixit Archimède ; en particulier l'aire de la sphère est égale à l'aire latérale du cylindre soit et l'aire de la calotte sphèrique de hauteur est égale à l'aire de la portion de cylindre de hauteur soit .

Ici et donc le rapport de l'aire de la calotte sphérique à l'aire de la sphère est . Tous les éléments sont là pour calculer le volume de l'intersection de la boule et du cône.

[Martine]

Merci beaucoup pour votre aide. J’ai pu terminer l’exercice .

[GBZM]

Avec plaisir.