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developement limité



  1. #1
    Haomaru

    developement limité


    ------

    Bonjours a tous,

    j'ai un devoir de maths a faire et je bute sur une question :

    soit f(x) = exp(1/x)*(x-1) et C sa courbe representatrice
    et g(t) = exp(t)*(1-t)

    1ere question : donner le developement limité, a l'ordre 2, au voisinage de 0 de la fonction g

    2eme question : en deduire, en posant t=1/x, que la courbe C admet quand x->+infini, une asymptote que l'on construira..

    Quelqu'un peut m'aider ??

    merci d'avance

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    curieux

    Re : developement limité

    Bonjour,

    ici je vois deux questions...
    d'abord la première g(t) = g(0) + t g'(0) + (t²/2) g"(0) + o(t²)

    il te suffit de calculer g(0), g'(0) et g"(0)

    Quand tu reviens avec le DL, je t'explique la seconde étape

    A bientôt

  4. #3
    Haomaru

    Re : developement limité

    c'est bizarre je trouve que g'(0)=0 et g"(0)=0
    c'est normal ?
    ca me donne g(t) = g(0) + t*0 + (t²/2)*0 + 0*(t²)
    g(t)=1....

    c'est surement pas ca, si ?

  5. #4
    Coincoin

    Re : developement limité

    Non, g"(0) n'est pas nul...

    g(t)=exp(t)*(1-t)
    g'(t)=-t*exp(t)
    g"(t)=(-1-t)*exp(t) donc g"(0)=-1

    Donc g(t)=1-t²/2+o(t²)

    Une autre méthode est d'utiliser le dl de exp et de faire un produit de dl:
    g(t)=exp(t)*(1-t)=(1+t+t²/2+o(t²))*(1-t)=1-t²/2+o(t²)
    Encore une victoire de Canard !

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    curieux

    Re : developement limité

    puisque nous avons (merci coincoin) le bon développement limité de g(t), il te suffit de remplacer t par 1/x
    et de remarquer que g(1/x) =(1/x) f(x) soit encore f(x) = xg(x)

    tu obtiendras alors f(x) = x*g(x) = x(1-(1/2)(1/x²) + o(1/x²))
    f(x) = x - 1/(2x) + xo(1/x²)
    f(x) = x + e(x) avec e(x) tendant vers 0 quand x tend vers l'infini
    Ainsi tu as trouvé ton asymptote D : y = x

  8. #6
    Haomaru

    Re : developement limité

    ok,

    je vous remercie beaucoup
    je comprend mieux comment ca marche, merci encore!

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