k-algèbres.

**Anonyme007** · 23/04/2024, 16h50

Bonjour,

Soit $\text{[math]}$ un corps commutatif.
Sur le lien suivant : https://fr.wikipedia.org/wiki/Alg%C3..._sur_un_anneau , on définit un morphisme $\text{[math]}$ entre deux $\text{[math]}$ -algèbres non unitaires $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ pour les lois internes (addition et multiplication) et le produit par des scalaires par :
- $\text{[math]}$
- $\text{[math]}$
- $\text{[math]}$
pour tous $\text{[math]}$ et pour tout $\text{[math]}$ .

Ma question est la suivante :

Si $\text{[math]}$ , et $\text{[math]}$ la $\text{[math]}$ - algèbre unitaire des complexes, et $\text{[math]}$ une $\text{[math]}$ - algèbre non unitaire, à quoi est égale, $\text{[math]}$ puisque, $\text{[math]}$ est non unitaire et donc, ne peut pas vérifier, $\text{[math]}$ puisque $\text{[math]}$ n'existe pas dans $\text{[math]}$ ? Est ce que, $\text{[math]}$ s'injecte dans $\text{[math]}$ dans ce cas là, qui est non unitaire, qui fait de lui une $\text{[math]}$ - algèbre ?

Merci d'avance.

**gg0** · 23/04/2024, 17h09

Bonjour.

Le fait que F n'est pas unitaire n'interdit pas un morphisme entre E, unitaire et F. Mais il te sera facile de voir qu'alors f n'est pas surjective.
Tu devrais faire attention à ce que tu écris car "s'injecte" est une absurdité, en particulier pour le morphisme défini par f(x) = 0 pour tout x de E.; et de même en finissant par "qui fait de lui une $\mathbb{C}$ - algèbre" ce qui n'a pas de sens (qui est "lui" ? pas F, ni E puisque ce sont déjà des $\mathbb{C}$ - algèbres).

Il serait temps de mieux réfléchir avant de poser tes questions, depuis le temps que tu fais ça ...

**Anonyme007** · 23/04/2024, 17h35

Merci beaucoup pour ta réponse gg0.

Envoyé par gg0

Le fait que F n'est pas unitaire n'interdit pas un morphisme entre E, unitaire et F. Mais il te sera facile de voir qu'alors f n'est pas surjective.

Donc, $\text{[math]}$ peut prendre n'importe quel valeur $\text{[math]}$ avec, $\text{[math]}$ différent de $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ ? N'est ce pas ?
Si $\text{[math]}$ , est ce que dans ce cas là, $\text{[math]}$ s'injecte dans $\text{[math]}$ ?

Merci infiniment.

**gg0** · 23/04/2024, 20h18

Non, $\text{[math]}$ ne peut pas prendre n'importe quelle valeur; puisque son image doit être telle que les règles de définition des morphismes soient respectées.

Cherche un peu toi-même ce qui se passe, comment est l'image de f.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**Anonyme007** · 23/04/2024, 21h22

Envoyé par gg0

... comment est l'image de f.

L'image de $\text{[math]}$ est définie par la donnée de $\text{[math]}$ . Or, on a, $\text{[math]}$
D'où, $\text{[math]}$ . ( Ce passage me semble suspect, parce que, $\text{[math]}$ n'existe pas, et donc, on ne peut pas l'utiliser )
Puisque, $\text{[math]}$ ( puisque, par hypothèse, $\text{[math]}$ ), alors, $\text{[math]}$ .
C'est ça gg0 ?

Merci d'avance.

**gg0** · 23/04/2024, 22h26

Comme on ne peut pas l'utiliser, on ne l'utilise pas !
Un peu de sérieux s'il te plaît.
Je te parlais de l'image de f, tu parles de l'image de 1. Change de refrain. Pense à la situation globale. C'est quoi une algèbre ?

**Anonyme007** · 24/04/2024, 00h44

Envoyé par gg0

Je te parlais de l'image de f, tu parles de l'image de 1. Change de refrain.

L'image de $\text{[math]}$ est $\text{[math]}$ , mais je ne sais pas quoi faire de cette formule. Peux tu m'aider un peu plus gg0 ?
Merci.

**gg0** · 24/04/2024, 09h45

Eh bien, quelle est la structure algébrique de ce sous-ensemble de F ?

**Anonyme007** · 24/04/2024, 14h17

Envoyé par gg0

Eh bien, quelle est la structure algébrique de ce sous-ensemble de F ?

$\text{[math]}$ est un $\text{[math]}$ - espace vectoriel pour la multiplication externe.

**gg0** · 24/04/2024, 14h25

Oui, continue ...

**Anonyme007** · 24/04/2024, 14h56

On a, $\text{[math]}$
D'où, $\text{[math]}$ .
Puisque, $\text{[math]}$ ( car, par hypothèse, $\text{[math]}$ ), alors, $\text{[math]}$ .
C'est ça gg0 ?

Merci d'avance.

**gg0** · 24/04/2024, 15h25

Calcul toujours incorrect.
Pourquoi recommencer les bêtises ?

**Anonyme007** · 24/04/2024, 15h31

Je ne sais pas comment faire. C'est très difficile comme problème.

**gg0** · 24/04/2024, 15h38

Non, rien de difficile !

Sérieusement, si tu n'as pas le niveau pour voir ce qui se passe, ce qu'on peut dire élémentairement de l'image de f, une réponse ne te servirait à rien. Depuis 20 ans que tu fais des maths du supérieur, prétendant avoir résolu des conjectures de très haut niveau (mais ne publiant rien, ce qui montre que tu mens) et avoir résolu algébriquement l'équation générale de degré 5, tu devrais pouvoir te débrouiller avec cet exercice de niveau fin de L2.

Je ne connaissais pas cette question, je ne suis pas très bon en algèbre, mais je vois plein de pistes à suivre, des choses ultra-classiques ...

**Anonyme007** · 24/04/2024, 15h42

Aide moi un peu s'il te plaît gg0.

**gg0** · 24/04/2024, 16h04

Voyons ... Une algèbre, c'est une structure composite, quelles sont les structures qui définissent une algèbre (structures vues en L1) ? Que peut-on dire sur les morphismes de ces structures, sur leurs images ...

J'ai l'impression de faire traverser la rue à un bébé ...

**gg0** · 24/04/2024, 16h07

À noter : Tu ne cherches pas sérieusement, 6 mn avant de dire "Je ne sais pas comment faire", 4 mn avant de répondre "Aide moi", ce n'est pas sérieux !

**Anonyme007** · 24/04/2024, 16h19

Tu peux me donner la réponse ?

**gg0** · 24/04/2024, 16h50

Je t'ai déjà dit que ça ne te servirait à rien. Et il n'y a pas "la réponse", mais des réponses, par exemple :
C'est une sous-algèbre de F. Sa composition dépend fortement des propriétés de F.
Comme f est linéaire, le sev Im(f) est de dimension 0 ou 1. S'il est de dimension 1, il possède, en tant qu'algèbre, une unité, qui est f(1). Et, bien évidemment, une application d'un espace de dimension 1 dans un espace de dimension 1 de rang 1 étant un isomorphisme, f est un isomorphisme de C sur Im(f). C'est un isomorphisme d'espaces vectoriels, et, vues les propriétés de f, un isomorphisme d'algèbre.
Voilà, avec mes pauvres capacités en algèbre, et sous réserve de preuve à rédiger, ce que je vois. Et ce que tu aurais dû trouver seul, sinon tes 20 années à "faire des maths" ont été très mal utilisées (mais on t'a toujours dit que tu devais travailler les cours de licence au lieu de raconter des bêtises en copiant n'importe quoi. Mais tu es trop fainéant, intellectuellement.

**Anonyme007** · 24/04/2024, 17h03

Merci gg0.

Tu veux dire que $\text{[math]}$ doit nécessairement être une unité de $\text{[math]}$ , sinon, $\text{[math]}$ ?
Merci d'avance.

**gg0** · 24/04/2024, 18h47

Non !!

Tu me fais regretter d'avoir répondu.

**Anonyme007** · 24/04/2024, 19h38

Tu ne réponds pas de manière claire.

**gg0** · 24/04/2024, 19h42

Pourtant "non" c'est clair !
Mais tu ne lis pas les réponses. Je ne continuerai pas, tu es trop faible en maths pour comprendre ce qui est dit par les autres.

**Anonyme007** · 24/04/2024, 20h51

Bonsoir à tous,

Est ce que quelqu'un d'autre pourrait m'apporter une réponse claire à ce sujet ?

Merci infiniment.

k-algèbres.

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Re : k-algèbres.

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