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Un morphisme d'algèbres



  1. #1
    ArnoGreg

    Un morphisme d'algèbres


    ------

    Bonjour,

    je dois montrer que l'application :


    est un morphisme d'algèbres, sachant que :

    - désigne une -algèbre ;

    - désigne la valeur du polynôme en l'élément .

    Pour cela, je vérifie les axiomes, et je coince pour établir que .

    En effet, j'écris le produit de deux polynômes :
    si et alors avec

    Et donc :


    Soit :


    Que j'écris de la manière suivante :


    Et là, je n'arrive pas à voir pourquoi on a l'égalité suivante :

    Pouvez-vous m'aider à y voir plus clair ?
    Merci d'avance !

    -----

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  3. #2
    Médiat

    Re : Un morphisme d'algèbres

    Bonsoir

    Quelle définition de PQ(X) avez-vous utilisée pour mettre au point la formule que vous avez donnée ?
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  4. #3
    ArnoGreg

    Re : Un morphisme d'algèbres

    Bonjour,
    j'ai pris ce que j'avais dans mon livre. Et que je retrouve ici https://fr.wikipedia.org/wiki/Polynôme_formel (dans la section "Opérations sur les polynômes")

    Il y a une erreur ?

  5. #4
    Médiat

    Re : Un morphisme d'algèbres

    Non, pas d'erreur, mais d'une façon générale, le produit de fonction (à valeur dans un ensemble muni d'une multiplication) est défini par (f.g)(x)=f(x).g(x) (d'où la définition pour les polynômes formels)
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    ArnoGreg

    Re : Un morphisme d'algèbres

    Je ne suis pas certain de vous suivre. Comment dès lors montrer l'égalité sus-cité ?

  8. #6
    ArnoGreg

    Re : Un morphisme d'algèbres

    Bonjour,
    j'ai essayé de reprendre, mais je n'y arrive pas. Voilà où j'en suis :

    .

    Et là, je n'arrive pas à m'en dépatouiller pour retomber sur une première somme allant jusqu'à p et la seconde allant jusqu'à q.

    Pouvez-vous m'aider ?

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  10. #7
    gg0

    Re : Un morphisme d'algèbres

    Soit j un indice entre 0 et p. Factorise partiellement en regardant dans chacun des termes de la somme entre crochet s'il figure et par quoi il est multiplié.
    Tu peux préparer ça en prenant p=4, q=3 et en développant les sommes.

    Cordialement.

  11. #8
    ArnoGreg

    Re : Un morphisme d'algèbres

    Bonjour,

    J'ai l'impression que le nombre de termes augmente très vite, je vais essayer !

    Pour simplifier, je vais prendre et et je vais noter .

    Ainsi :

    Je calcule , pour variant de à :



    .

    .

    .

    .

    .

    Et ensuite j'ai du mal à regrouper selon les bon paquets pour retrouver l'expression finale !
    Un indice ?

  12. #9
    gg0

    Re : Un morphisme d'algèbres

    C'est normal, tu ne fais pas le développement tel qu'il est écrit. Comment pourrais-tu y retrouver les alors que tu as déjà mélangé les coefficients et les racines ?

    En fait, c'est une formule plus générale de multiplication de sommes, que tu as déjà utilisée en cours pour justifier la formule de produit des polynômes :

    Tu peux te contenter de traiter cette égalité plus simple.

    Cordialement.

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