Un morphisme d'algèbres

[ArnoGreg]

Bonjour,

je dois montrer que l'application :

est un morphisme d'algèbres, sachant que :

- désigne une -algèbre ;

- désigne la valeur du polynôme en l'élément .

Pour cela, je vérifie les axiomes, et je coince pour établir que .

En effet, j'écris le produit de deux polynômes :
si et alors avec

Et donc :


Soit :


Que j'écris de la manière suivante :


Et là, je n'arrive pas à voir pourquoi on a l'égalité suivante :

Pouvez-vous m'aider à y voir plus clair ?
Merci d'avance !
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[Médiat]

Bonsoir

Quelle définition de PQ(X) avez-vous utilisée pour mettre au point la formule que vous avez donnée ?

[ArnoGreg]

Bonjour,
j'ai pris ce que j'avais dans mon livre. Et que je retrouve ici https://fr.wikipedia.org/wiki/Polynôme_formel (dans la section "Opérations sur les polynômes")

Il y a une erreur ?

[Médiat]

Non, pas d'erreur, mais d'une façon générale, le produit de fonction (à valeur dans un ensemble muni d'une multiplication) est défini par (f.g)(x)=f(x).g(x) (d'où la définition pour les polynômes formels)

[A voir en vidéo sur Futura]

[ArnoGreg]

Je ne suis pas certain de vous suivre. Comment dès lors montrer l'égalité sus-cité ?

[ArnoGreg]

Bonjour,
j'ai essayé de reprendre, mais je n'y arrive pas. Voilà où j'en suis :

.

Et là, je n'arrive pas à m'en dépatouiller pour retomber sur une première somme allant jusqu'à p et la seconde allant jusqu'à q.

Pouvez-vous m'aider ?

[gg0]

Soit j un indice entre 0 et p. Factorise partiellement en regardant dans chacun des termes de la somme entre crochet s'il figure et par quoi il est multiplié.
Tu peux préparer ça en prenant p=4, q=3 et en développant les sommes.

Cordialement.

[ArnoGreg]

Bonjour,

J'ai l'impression que le nombre de termes augmente très vite, je vais essayer !

Pour simplifier, je vais prendre et et je vais noter .

Ainsi :

Je calcule , pour variant de à :



.

.

.

.

.

Et ensuite j'ai du mal à regrouper selon les bon paquets pour retrouver l'expression finale !
Un indice ?

[gg0]

C'est normal, tu ne fais pas le développement tel qu'il est écrit. Comment pourrais-tu y retrouver les alors que tu as déjà mélangé les coefficients et les racines ?

En fait, c'est une formule plus générale de multiplication de sommes, que tu as déjà utilisée en cours pour justifier la formule de produit des polynômes :

Tu peux te contenter de traiter cette égalité plus simple.

Cordialement.