Bonjour
Pourriez vous m'éclaircir les idées sur ce point*:
j'ai une représentation sur Gl(V) (matrices n*n) d'un groupe de Lie G.
Il existe une algèbre de Lie canonique sur G.
Je peux munir Gl(V) d'une structure d'algèbre de Lie avec le crochet M1M2 – M2M1
Ma question*: comment prouver qu'il sagit de la meme algèbre de Lie que l'algèbre canonique*?
merci pour vos commentaires
Si vous aviez un lien avec l'explication ce serait parfait
Je ne cherche pas une réponse générale.
une réponse s'appliquant aux groupes classiques tels que SU(N) etc me suffirait tout à fait.
Bonjour
Ce qui m'étonne, c'est que si ton groupe est représenté par un ensemble de matrice, les vecteurs ne sont pas forcément tous inclus dans cet ensemble de matrice.
Par exemple, si g est le groupe des matrices inversibles (le représentation est l'identité), les vecteurs sont toutes les matrices. Donc les M1 et M2 ne sont pas forcement dans ton groupe.
J'ai surement raté quelque chose. Comment définis tu l’algèbre canonique ?
++
Pour le premier point c'est normal . Les matrices sont les images des elements du groupes on prend alors les vecteurs tangents à l'élément unité du groupe G il ne fait pas partie de G et n'a pas d'image dans les M(g).Envoyé par GrisBleu
en revanche si l'on prend une appication de [0,1] dans [id g1] (un chemin dans G passans par Id il a pour image un chemin dans les matrices qu'on peit dériver.
L'algèbre canonique sur G est obtenue grace à la dérivé de Lie sur les champs de vecreurs sur G
Soit A un Champ de vecteur (à gauche) on notela dérivée de Lie suivant A
cette dérivée appliquée à un champ (a gaucha) X s'écrit
Pour terminer avec ceci voici ce que je voudrais comprendre:
pourquoi pour tout champ X de l'algèbre de Lie canonique avec une base X_i tq [X,X_i] = a_1 X_1 + a_2 X_2 + etc ici [ ,] note la dérivée de lie
a t on une matrice image de X et des matrices M_1 vérifiant [M; M_i] = a_1 M_1 etc avec les memes coefficients (ici on a un vrai commutateur de matrices AB -BA
