Groupes, Anneaux, Corps, Algèbres

[invite6134d9a5]

Bonjour à tous!
Voilà je suis en maths spé et j'ai toujours eut un truc qui me dérangeait, c'est que j'oublie des groupes, des anneaux des sous groupes, tout le temps.

J'ai trouvé une idée à réaliser. Ça serait de faire un récapitulatif hiérarchisé des groupes, anneaux, corps et algèbres.
L'idée serait d'en répertorier un maximum (ceux utiles pour les concours du moins).
Je prends l'exemple avec les Groupes :
- Répertorier tous les groupes de références généraux (qui ne sont pas des sous-groupes de quelque chose.
- Faire ensuite l'inventaire des sous-groupes de chacun d'entre-eux et de les hiérarchiser en fonction de critères (cardinal, lci, domaine d'utilisation, etc...).
- Lister quelques propriétés essentielles pour ces groupes.

Après étendre ceci aux anneaux, corps et algèbre.
Un ami avait réalisé ceci sur quelque chose de très restreint, il avait hiérarchisé à trois niveaux avec :
automorphismes GL(E) --> automorphismes orthogonaux O(E) --> automorphismes orthogonaux directs SO(E)
Et de même pour les matrices. CE travail avait beaucoup clarifié les choses dans mon esprit.


Alors j'en appelle à vos connaissances, si pouviez faire des listes, me donner les groupes, des anneaux, sous groupes, etc...
Les hiérarchiser un minimum pour faciliter mon travail dans la suite, ce serait parfait, je posterai évidement le travail fini sur le forum.

Merci d'avance à tous

Aytonee
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[invite4ef352d8]

Bonjour,

malheuresement ce que tu demande est à priori totalement impossible, ou tout du moins totalement inconnu à l'heur actuelle !

des groupes on peut en trouver plein, rien que classifier les groupes fini simples a pris des années et le théorème les classifiant est un monstre de difficulté, chaque groupe ce decompose en "une suite de groupe simple" (sa suite de Jordan Holder) mais on ne sais pas retrouver tout les groupes ayant une suite de Jordan Holder donnée... et même si on savait faire cela ca ne classifierai que les groupes fini !

et puis la notion "qui n'est pas sous groupe de quelque chose de plus gros" est assez flou ! on peut toujours plonger un groupe dans un groupe plus gros, Gln(R) par exemple est un sous groupe de GLn(C), ou encore de GL(n+1)(R)

[invite4ef352d8]

mais on ne sais pas retrouver tout les groupes ayant une suite de Jordan Holder donnée...

enfin si, on sait un peu le faire en fait grace à la cohomologie des groupes... mais (à ma connaissance tout du moins) pas de façon systématique.

[indian58]

enfin si, on sait un peu le faire en fait grace à la cohomologie des groupes... mais (à ma connaissance tout du moins) pas de façon systématique.

Je pense surtout qu'il veut un bréviaire le plus exhaustif possible des structures rencontrées en prépa.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6134d9a5]

Oui alors évidement des groupes on peut en trouver des quantitées, mais comme le dit indian58, c'est une liste plus ou moins exhaustive que je recherche des groupes et anneaux que l'on rencontre au long de la prépa. Et Déterminer les groupes GLn(R) ou GL(n+1)(R) c'est pas non plus nécéssaire
Non mais voilà l'idée c'est d'avoir une liste sur lesquels se baser quand on veut montrer par exemple qu'un ensemble donné en exercice est un groupe, trouver un groupe de référence dont il serait le sous groupe est plus rapide et avantageux...

Voilà enfin indian58 l'a parfaitement résumé^^

[invite4ef352d8]

Mais c'est très flou quand même comme question !

montrer que G est un sous groupe d'un groupe de référence 'H' plutot qu'un groupe sert essentiellement à ne pas avoir à montrer l'associativité (qui est en général le plus dûr) et à pas montrer que le neutre est bien un neutre (ce qui est en général trivial), puisque l'on sait que H vérifie ces propriété et donc que G en hérite.

en gros utiliser ce genre argument revient exactement au même que dire "l'associativité est claire/bien connue" et à part les exemples abéliens Z,Q,R et leurs puissances les seuls qui me viennent à l'esprit sont ceux qui sont des "groupes d'automorphismes de quelque choses" qui sont des groupes en tant que sous groupe de S(E) (les bijection d'un ensemble E) (comme Gln, On, le groupe des transformation affine etc...)
et très honnêtement je ne vois pas quoi ajouter d'autre...

[invitebe0cd90e]

Salut Ksivler,

Ne soyons pas de mauvaises foi, il est vrai que parler des "groups qui ne sont aps des sous groupes de qqchose" est maladroit, mais je suis sur que tu vois ou Aytonee veut en venir

Evidemment qu'a isomorphisme pres il existe une infinité de maniere tordue de definir meme les groupes les plus simples, et evidemment qu'une classification exhaustive des groupes finis est hors de portée, mais là il s'agit seulement d'un rappel de cours, pas d'une tentative de découverte mathématique majeure Disons donc une liste des groupes classiques, ceux qu'on rencontre souvent dans la vraie vie... je dirais :

- les séries infinies : groups symmétriques, groupes alternés, groupes diédraux, groups cycliques
- quelques groupes de petit cardinal, au moins les deux groupes d'ordre 4
- les groupes de cardinal particulier, par exemple ceux de cardinal pq ou p et q sont premiers et distincts
- eventuellement les groupes linéaires d'espaces vectoriels sur des corps finis de petit cardinal ?

[invite4ef352d8]

mais je suis sur que tu vois ou Aytonee veut en venir >>> Non, je pense qui lui même ne voit pas clairement où il veut en venir.
pour moi Gln(k) est quand même de facon très naturel un sous groupe de S(k^n), et je ne pense sincèrement pas qu'il merite ce titre de "groupe qui n'est pas un sous groupe de quoique ce soit". De plus donner les sous groupe de Gln comme il le demande est impossible (biensûr on peut prouver des théorème à propos de propriété vérifier par les sous groupes de Gln, mais c'est assez loin du niveau de la prépa).

à propos des exemples que tu donne :
roups symmétriques, groupes alternés, groupes diédraux >>> sont des sous groupes de Sn, et je doute qu'un élèves de prépa est vraiment bessoin de savoir ce qu'est un groupe diédral.

les deux exemples suivant : je ne vois pas en quoi leurs connaissance peut aider à montrer que quelque choses est où non un groupe étant donné qu'ils n'ont aucun sous groupe interessant.

eventuellement les groupes linéaires d'espaces vectoriels sur des corps finis de petit cardinal ? >>> tu parle des isomorphismes entre certain GLn(Fq) et des Sp ou Ap ? je pense qu'apprendre cela par coeur serait une perte de temps pour un élève de prépa
et pour ce qui est des groupes linéaire généraux, j'en ai déjà parlé.

bref je ne répond pas par mauvaise fois, mais juste parceque je ne vois pas du tout quoi répondre à une question aussi vague !

tu pense vraiment que faire de la Zoologie de tout les groupes qu'on peut rencontrer va l'aider à résoudre des exercices mieux que d'aller directement s'entrainer à ces même exercices ?

pour reprendre les exemples que tu as donné plus haut : savoir qu'il n'y a que deux groupes d'ordre 4, et qu'un seul groupe d'ordre pq ne sert à rien à un élève de prépa, ce qui peut eventuellement lui être utile c'est de savoir le prouver !