Bonjour,
J'aurais besoin des eclaircissements sur un exercice.
On a un signal continue d'un diapason: y(t)=cos(2*PI*440*t).
Le signal est échantilloné à 600Hz, il faut déterminer graphiquement le module de sa transformée de Fourier et de la représentez dans le domaine [-3*fe;3*fe].
Je ne sais pas du tout comment faire. Je n'ai pas eu un bon cours à ce sujet, du coup je me suis documenté mais ca reste encore flou.
Merci de votre aide.
la transformée de fourier retranscrit le spectre de la fonction, c'est à dire la contribution de chaque fréquence pour retrouver ta fonction.
Ici, pour refaire ta fonction, il suffit de mettre le paquet sur 440 Hz, c'est à dire un dirac sur 440 Hz.
J'ai trouvé une démarche, pouvez-vous me confirmer si c'est bon ?
J'ai calculé la transformée en Z de ce signal, donc c'est X(z)=(1-cos(2*PI*440)*Z^-1)/(1-2*cos(2*PI*440)*Z^-1+Z^-2).
J'ai determiné les racines au numérateur et les pôles au dénominateur.
Le lien entre la transformée de Fourier et la transformée en Z se situe sur un cercle de rayon 1 dont le parcours de la moitié du cercle faut Fe/2 (donc 300Hz).
Ensuite, il faut placer le point sur le cercle dont la fréquence vaut 440 Hz, ici ce sera dans la troisième quadrant (le sens positif de parcours est anti-horlogique).
Pour déterminer le module, il faut mesurer (graphiquement) le module de ce point par rapport à chaque racines et pôles.
Et, pour le calculer, il faut faire le rapport des produits des modules entre le point avec les racines et le point avec les pôles.
Bonjour,
Spidercochon, je n'ai même pas lu votre texte parlant de transformée en z....
Il y a bien plus simple, graphiquement !!!!
Si on se place dans l'espace des fréquance, Echantillonner un signal à la fréquencerevient à représenter le spectre une infinité de fois, décalé de
On peut dire aussi qu'échantillonner un signal revient à le multiplier par un peigne de Dirac de pas
Faites un shéma et tout sera clair....
ok j'ai peut être mal compris la question.
Donc, au niveau du spectre de fréquence, j'aurais un pic en fo (440Hz) et les suivant en n*fe-440 et n*fe+440.
Mais un niveau du module de la transformée comment on le détermine avec cette échantillonnage.
Je sais que le module vaut 1/2 dans le cas du signal continu. Mais, ici vu qu'on ne respecte shannon, il devrait être différente de 1/2 ?
Re,
Si on ne vous dit rien sur l'échantilloneur, vous considérez qu'il est parfait, idéal. Dans ce cas, chaque composante a la même amplitude, sur tout le spectre de fréquence, jusqu'à l'infini. C'est choquant, mais un échantillonneur parfait n'existe pas, et la multiplication par un peigne de Dirac n'est qu'une modélisation idéal.... D'ailleurs on est bien dans le forum mathématiques ?
Si vous voulez en savoir plus sur toutes ces histoires d'échantillonnages et d'imperfections qui peuvent se présenter, je vous recommande de chercher sur le net le cours de Jean Auvray sur l'échantillonnage (il a écrit des cours sur à peut près tous les domaines de l'électronique et des télécoms....). Il était professeur à l'université Paris 6.
Donc, dans le cas d'un échantillonnage à 600Hz du signal. J'aurais un spectre en fo=440Hz (pour n=0), un autre en 160Hz et 1040Hz (pour n=1),... Et, le module en 440Hz vaut 1/2 et en 160Hz, il vaut également 1/2 alors ?
Et pour caractériser le signal, il faut regarder dans l'intervalle [0;fe/2]. Dans, ce cas-ci on aura 160Hz et 440Hz. Donc, si on reconstitue le signal en temporel à partir de ce spectre, on aura l'addition de 2 signaux de fréquence 160 et 440Hz et de même amplitude ?
Bonjour,
Oui, c'est bien ça. Vous avez tout compris. J'insiste, mais tant pis, c'est dans le cas d'un échantillonneur idéal et parfait.
Cet exemple simple vous montre que la théorème de Shannon n'existe pas pour rien
Bonjour,Envoyé par Spidercochon
Je pense qu'il vous manque des fréquences en 760 Hz et 1360 Hz, également 1640Hz pour couvrir la bande jusque 1800 Hz ?
Comprendre c'est être capable de faire.
En effet, il manque bien ces fréquences pour répondre correctement à l'énoncé.
Merci pour vos réponses.
Re bonjour,
J'ai une autre question. On a vu plus haut que le spectre en fréquence est composé de différentes fréquences (160,440,760,1040,1360 et 1640 Hz). Donc, si on veut reconstituer le signal à partir de ce spectre, il faut mettre un filtre passe bas jusque 440Hz. Mais ne pourrait t-on pas mettre un filtre passe bande pour retirer le signal à 160 Hz et après le 440Hz? Comme ca, on a uniquement le 440Hz.
J'ai remarqué que si on respecte Shannon, un passe-bas suffit.
Bonjour,
Dans le cas présent, pourquoi voulez-vous placer des filtres supplémentaires ?
Je suppose que l'exercice était fait pour vous donner un exemple de ce qui se passe quand on ne respecte pas la condition de Shannon. Si vous vous trouvez dans ce cas là dans votre labo, vous ne savez pas que vous n'échantillonnez pas à la bonne fréquence, et donc vous vous contentez du passe bas habituel.... et vous obervez des trucs bizarres, qui doivent vous amener à vous poser des questions.
Sinon, le spectre échantillonné comporte un infinité de fréquences, pas seulement 160,440,760,1040,1360 et 1640 Hz....
Pour vous torturer un peu plus, dans certains cas, pour des signaux à bande étroite centrés sur une fréquence élevée (comme on fait en télécoms numériques avec le GSM, le DECT, etc...) on peut échantillonner le signal sans repecter la condition de Shannon et quand même reconstruire le signal correctement. Mais dans ce cas là on exploite une particularité du signal. Si cela vous intéresse, je dois avoir un exemple précis dans mes archives.
ok, c'est juste que la question après était de dire quel son va t-on entendre. Donc, ici on verra que cela va être différent.
Je voulais savoir si justement on pouvait retrouver le bon signal avec un mauvais échantillonnage.
