Une application bien définie ?

[ArnoGreg]

Bonjour,
je dois justifier que l'application suivante est bien définie :



Je ne vois pas comment m'y prendre.

Je sais que : .

Je me dis donc que, pour prouver que cette application est bien définie, je dois prouver que et donc que .

Comme indication il est écrit : est d'ordre 2, n'appartient pas au groupe engendré par , lequel est d'ordre .

Je n'arrive pas à faire le lien.

Pouvez-vous m'aider ?
D'avance merci !
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[slivoc]

Bonjour,

Il faut aussi montrer que cette application est bien définie au départ ! ( ne dépend pas des représentants )

[ArnoGreg]

Ah oui, je n'y avais pensé !
Je fixe donc et , et j'essaye de prouver que .

Je sais que .

De même .

Par suite, .

Mon raisonnement est-il exact ?

[gg0]

Bonjour.

Bizarrement, tu ne t'es servi nulle part de la définition de f. Qui est défini à l'aide de k et l, pas de leurs classes.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[slivoc]

La conclusion est fausse; il faut en fait montrer que si k_1, k_2 et l_1, l_2 ( où k_i et l_i sont dans Z) sont dans les mêmes classes, alors f(k_1,k_2)=f(l_1,l_2).

[ArnoGreg]

Ah oui, c'est vrai !

Je recommence.

Je fixe . Cela équivaut à dire que et donc . Ce qui permet d'écrire pour un certain .

De même, en fixant , on peut écrire que et donc . Ce qui permet d'écrire pour un certain .

Il en découle que :










puisque -1 est d'ordre 2 et que 3 est d'ordre 2^{n-2}





La valeur de ne dépend donc pas du choix des représentants pour figurer et .

Est-ce mieux ?

[slivoc]

ça me semble tout bon !
En fait on peut comprendre ça par le théorème de factorisation par un morphisme surjectif: https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%..._factorisation où dans ici G=Z, H=Z/2Z x Z/2^(n-2)Z et K=(Z/2^nZ)*

[ArnoGreg]

J'ai un peu de mal à le voir !

Pour pouvoir appliquer le théorème de factorisation pour les morphismes de groupes, il me faut donc un morphisme de groupes.

Si je prends et , qui sont bien deux groupes, j'ai du mal à voir pourquoi l'application

est bien un morphisme de groupes ?

Il faudrait , non ?

Où est mon erreur ?

[slivoc]

Non, c'est moi qui ai fait des erreurs : il faut prendre G=ZxZ, et f est donné par f(k,l)=((-1)^k).(3^l), qui est bien un morphisme de groupes. De même, pour H il faut lire 2Z x 2^(n-2)Z et non ce que j'ai écrit !

[ArnoGreg]

Ah oui, je vois !

On applique le théorème de factorisation avec l'application définie par .

Cette application est bien définie au départ du groupe . Il faut vérifier qu'elle est bien à valeurs dans .

Pour cela, je dois prouver que . Et là, j'ai du mal.

Autrement dit, je dois montrer qu'il existe tel que

D'une part : et donc dans
D'autre part : et donc dans

D'où : .
J'ai l'impression de faire fausse route !

[gg0]

Heu ... ton application f arrive dans Z, pas dans le bon ensemble.

Cordialement.

[slivoc]

Je note [x] la classe d'un élément dans un quotient.

Pour montrer que le morphisme est bien à valeurs dans le groupe multiplicatif, on peut remarquer que, pour k dans Z, [x] dans Z/kZ est dans dans (Z/kZ)* ssi et seulement si x est premier avec k.

Pour montrer l'inclusion des noyaux (ce que vous semblez faire à partir du "d'autre part"), il faut en fait en faire un peu plus: 2Z x 2^(n-2)Z n'est pas engendré par (2, 2^(2n-2)), ce sous groupe n'est même pas monogène !

[ArnoGreg]

Oups, c'est un oubli de ma part !
C'est bien !

Donc, pour prouver que f est bien à valeur dans je dois prouver que . Et ça, je n'arrive pas à le faire ! Un indice ?

[gg0]

Bonjour.

Tu as deux entiers donnés par leur décomposition en facteurs premiers, tu peux chercher un facteur commun.

Cordialement.

[ArnoGreg]

Bonjour,
je vais essayer !
Notons .

D'une part, divise et donc, s'écrit comme une puissance de . Soit avec .

D'autre part, divise . Or et donc . Par le lemme de Gauss, on en déduit que divise .

Ceci impose , puis .

Par conséquent, .

Cela fonctionne ?

[gg0]

Oui.

Sinon, simplement, un des deux nombres n'a que 2 comme diviseur premier, et l'autre que 3; donc aucun premier ne divise les deux, donc leur pgcd est 1.
Ou bien le pgcd a pour diviseurs premiers les diviseurs premiers communs aux deux nombres, et il n'y en a pas.

Cordialement.

[ArnoGreg]

Je comprends mieux, merci !

Ainsi, l'application au départ du groupe et à valeurs dans le groupe multiplicatif des inversibles définie par est bien définie.

C'est un morphisme puisque, par opérations sur les itérés dans le groupe d'arrivée, j'obtiens :



Enfin, il reste à vérifier que .

Pour cela, je fixe et je calcule son image. Je peux alors écrire et pour deux entiers relatifs et . Ainsi :



Ceci prouve que et donc l'inclusion est vérifée.

Le théorème de factorisation permet d'assurer que le morphisme se factorise par la surjection canonique en un unique morphisme .

Il me reste à justifier que .

Qu'en pensez-vous ?
Je fais un blocage sur le dernier point !

[slivoc]

ça à l'air bon! Pour le dernier point "à la main": considérer le morphisme ZxZ->Z/2Z x Z/(2^(n-2)Z) qui est la projection canonique sur chaque facteur, puis calculer le noyaux et montrer que c'est bien H. Conclure avec le premier théorème d'isomorphisme (https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%...27isomorphisme).

[ArnoGreg]

Ok !

Je considère l'application définie par .

Je ne vois pas problème de définition de cette application, au départ du groupe et à valeurs dans le groupe

Par ailleurs :


On a donc un morphisme de groupes.

Je constate que :







Et donc .

Le théorème de factorisation peut s'appliquer. Il assure que le morphisme , se factorise par la surjection canonique en un unique morphisme .

Du fait que , on peut affirmer que est injectif.

Du fait que :

on peut assurer que est surjective, et donc aussi.

Finalement, est un isomorphisme et donc :

Est-ce cela ?

[slivoc]

Oui ! Pour coller parfaitement avec le problème de départ, il faudrait juste préciser que l'application f du premier message est la composée de l'inverse de phi bar et de f bar du message #17.