Bonjour,
J'ai un exercice où l'on me demande de justifier qu'une intégrale impropre est bien définie. Je trouve la réponse mais ma rédaction me parait bien longue, et j'aimerai bien savoir s'il n'y aurait pas une méthode "plus rapide".
Voici l'énoncé :
Alors on a une équation différentielle :
que l'on nommera l'équation (1) avec pour conditions initiales :
et
On suppose également qu'il existe un instant
On me donnes les deux intégrales suivantes :
sachant que
Voilà pour le problème.
La question est :
Justifier que les intégrales Em et Ee sont bien définies.
Je vais vous donner ma réponse pour l'intégrale Em.
Je remplace f(t) en utilisant l'équation différentielle (1) par ce qui est à gauche de l'égalité.
Par linéarité de l'intégrale je décompose Em en trois intégrales et j'obtiens :
La première et la troisième intégrale je peux les calculer car on a pu montrer dans la question précédente qu'il était possible d'écrire u comme :
Et en utilisant que l'intégrale de u'*u c'est u au carré sur 2 je peux obtenir les résultats des deux intégrales comme étant respectivement égaux à
Mais pour l'intégrale du milieu, je n'ai rien de plus rapide en tête que de dériver le u que j'obtiens ci-dessus, élever cette dérivée au carré, dire que c'est une fonction continue donc intégrable, et lever l'ambiguïté en +infini en utilisant les puissances comparées et en multipliant par exemple par
Avez-vous plus rapide ? Dites moi que oui svp !
Je vous remercie par avance pour votre lecture et pour votre aide.
Bien cordialement,
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