théorème de Gödel

[Médiat]

Très bon site, justement les étapes 1, 2 et 3 étant standards pour la logique classique du 1er ordre (c'est bien ce dont nous parlons quand on évoque Gödel, non ?), j'ai cru qu'elles t'étaient suffisament familières pour ne pas avoir à les répéter, la seule partie spécifique est la partie 4, c'est pourquoi je l'ai explicitée, tout en me demandant pourquoi il était nécessaire de redire une chose aussi connue que la définition axiomatique d'un groupe, théorie dans laquelle la commutativité est indécidable.
Si tu disais où tu veux en venir, nous gagnerions du temps.

Je ne vois pas bien à quoi peut servir un système formel sans axiome (dans le cadre de ce fil), à part préparer quelques tautologies dans le système logique utilisé.

La théorie des Groupes telle que je l'ai présentée répond à certaines des exigences du théorème de Gödel, sauf qu'elle ne permet pas d'exprimer seule l'arithmétique, donc elle échappe à la conclusion de Gödel, et d'ailleurs j'ai donné un exemple d'axiome qui pemet de la transformer en théorie complète.
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[invité576543]

Si tu disais où tu veux en venir, nous gagnerions du temps.

Deux points, un majeur, un mineur.

Le mineur, c'est de comprendre de quel système formel tu parles. Mais ça n'a pas grande importance.

Le majeur est une réaction contre la confusion entre système formel et notion de vérité. Le site cité aborde d'ailleurs bien le sujet dans ses conclusions.

d'ailleurs j'ai donné un exemple d'axiome qui pemet de la transformer en théorie complète.

Résoudre le point mineur me permettrait peut-être de comprendre cette phrase. Je ne vois pas comment, avec l'axiome de commutativité une proposition comme deviendrait décidable. Si j'arrive à suivre ta logique, c'est similaire à la commutativité, c'est indécidable (et donc la théorie est incompléte), mais je peux le rajouter comme axiome, et je me retrouve avec une théorie limitée à certains groupes...

Cordialement,

[invité576543]

Très bon site, justement les étapes 1, 2 et 3 étant standards pour la logique classique du 1er ordre (c'est bien ce dont nous parlons quand on évoque Gödel, non ?), j'ai cru qu'elles t'étaient suffisament familières

Ca aussi je ne comprends pas. Les étapes 1, 2, 3 dépendent du système formel, pas seulement les axiomes . Si on les limite aux besoins de la logique classique du 1er ordre, le système formel ne couvre QUE la logique du premier ordre. Par exemple le jeu de symboles se limite à des variables représentant des propositions, un signe pour la négation, un signe pour le "ou", et des signes de ponctuation comme les parenthèses (sf erreur de ma part, de mémoire - on rajoute souvent un signe pour implique, mais il n'est pas primitif). Aucun moyen d'en faire quelque chose que je comprendrais comme une théorie des groupes.

Plus je cherche à comprendre ce dont tu parles, plus je confuse...

Cordialement,

[invited37a86e7]

Il me semble qu'un des exemples les plus intéressant est le théorème de Goodstein qui est indécidable dans Peano et démontrable dans une théorie plus puissante (muni des ordinaux transfinis).

Pour répondre à la question initiale de treborliryc: l'excellente nouvelle avec le théorème de Gödel, c'est qu'il est prouvé mathématiquement que les mathématiques sont inépuisables.

[Médiat]

Je ne vois pas comment, avec l'axiome de commutativité une proposition comme deviendrait décidable.

Ai-je dit cela ? Je ne crois pas, avoir dit que la commutativité rendait la théorie des groupes complète, l'axiome que j'ai ajouté pour ce faire est un axiome qui définit "les" groupes à un élément.

Si j'arrive à suivre ta logique, c'est similaire à la commutativité, c'est indécidable (et donc la théorie est incompléte), mais je peux le rajouter comme axiome, et je me retrouve avec une théorie limitée à certains groupes...

Si c'était ma logique je serais célèbre , mais sinon le raisonnement est correct ; comme je l'ai déjà écrit on peut ajouter une proposition indécidable à une théorie consistante, elle reste consistante, mais bien sur les modèles de cette nouvelle théorie étant a fortiori des modèles de l'ancienne, alors que le contraire n'est pas vrai, on peut dire que cette nouvelle théorie a "moins" de modèles que l'ancienne.

[Médiat]

Aucun moyen d'en faire quelque chose que je comprendrais comme une théorie des groupes.

C'est bien ce que je disais, les étapes 1, 2 et 3 ne suffisent pas, il faut les axiomes en plus, et généralement un peu de vocabulaire en plus, ici la loi de composition.

[invité576543]

Ai-je dit cela ? Je ne crois pas, avoir dit que la commutativité rendait la théorie des groupes complète

Décolé, j'ai mal lu le texte suivant

d'ailleurs j'ai donné un exemple d'axiome qui pemet de la transformer en théorie complète.

Cordialement,

[invite060037fc]

Bonjour,

Malgré que la question sur Kurt GOEDEL s‘est posé il ya de cela plusieurs années, le sujet reste d’actualité étant donne la stature de ce scientifique qui demeure l’un des plus grands penseurs de tous les temps.
Moi je dis bravo et merci à M.GOEDEL d’avoir d’avoir arrêté à temps et d’une manière magistrale, le grand projet de M. David HILBET (un autre grand mathématicien), qui consistait à « mécaniser » les mathématiques, moyennant « quelques ajout et retouches dans les axiomes, voir aussi le cas des 23 problèmes etc.…».
Quel dommage pour un esprit si brillant, il lui manquait la vision que tous les grands mathématiciens doivent avoir « c’est le côte philosophique et artistique de la chose ».
Peut-on mécaniser ou avoir seulement la prétention de mécaniser la philosophie, l’art ?
Ne dis-ont pas d’une théorie, formule qu’elle est très belle (Voir formules de DIRAC, EINSTEIN….)
L’œuvre de GOEDEL est loin d’être une idiologie qu’on peut contester aussi facilement et la remplacer par une autre.
C’est l’OEUVRE d’un géant qui a ébranlé les FONDEMENTS et certitudes de toutes les Mathématiques, elle a permis à celle-ci de faire sa mue et à réaliser de grand progrès depuis.
L’œuvre de GOEDEL a LIBERE les Mathématiques et l’esprit créateur des Mathématiciens en particulier ainsi que les autres scientifiques et la PENSEE d’une manière générale.
Que dit GOEDEL en termes de vérité :
- L'ensemble des assertions vraies est strictement plus grand que l'ensemble des assertions démontrables
- Une théorie ne peut pas se prouver elle-même. Il faut toujours un point de départ extérieur, la vérité mathématique ne peut être que relative.
Concernant le théorème d'incomplétude, je reste toujours admiratif devant la question que M.GOEDEL pose à la machine de Turing - ordinateur munis d’un programme arbitrairement long mais de taille finie et qui doit répondre par vrai ou faux à une affirmation qu’on lui donne sans jamais se tromper.
La question est :
"La machine ne répondra jamais VRAI à cette phrase"
Résultat : cette phrase est une vérité notoire pour tout être humain. Pourtant la machine ne pourra pas la découvrir, elle bloque !!


Suite à la crise des FONDEMENTS des mathématiques, à l’instar de la physique (physique classique-physique moderne/quantique/relativité.) M.GOEDEL a ouvert la voie à la complexité et aux dimensions infinies pour les mathématiques, à l’inverse de M.HILBERT qui avait pour projet de les enfermer dans un FORMALISME mécaniste pur et dur !!
Dans notre univers de l’infiniment petit à l’infiniment grand, On peut facilement imaginer des problèmes dont la complexité dépasse, et de loin l’échelle humaine. De ce fait, Les mathématiciens, comme les autres scientifiques, sont condamnés à remettre en cause sans cesse les fondements de leur édifice intellectuel.

Pour finir je dirais, que l’ŒUVRE de ce grand monsieur, est d’une profondeur et d’une richesse infinie et reste quand même incomplète (Une théorie mathématique cohérente et suffisamment riche est nécessairement incomplète !!!!!!!!!!!!!)

"Puisque toute ces choses nous dépassent, feignons de les avoir organisées"