Théorème d'imcomplétude de Gödel

[invite17ab2454]

Bonjour,

Je consulte les forums de Futura-Sciences depuis quelques temps...Mais je n'avais pas encore osé m'y lancer...Cette fois c'est fait depuis quelques minutes.

Je m'interresse particulièrement à la mathématique formelle et plus particulièrement au formalisme de Bourbaki.
Depuis pas mal de temps maintenant j'essaye de développer quelque chose sur le sujet en "Ada95"...

J'ai lu à plusieurs reprise le théorème d'incomplétude de Gödel...mais je n'ai pas du bien comprendre !
J'ai fait un petit raisonnement ultra simple en rapport avec ce théorème...mais je n'arrive pas à saisir ce qui ne marche pas...
pourrait on m'aider

Je joins mon raisonnement en pièce jointe.

Excusez-moi, pour la présentation, je débute dans les forums !!!
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[invite0207e1d5]

Bien sûr on peut télécharger le PDF, mais comme il ne contient que du texte, autant copier ton texte ici:

1) Soit T une théorie mathématique qui soit une théorie égalitaire et qui contienne les premiers axiomes de la théorie des ensembles (ceux qui sont juste nécessaires à la définition de l’ensemble vide).

2) Soit L1 et L2 deux lettres distinctes entre elles et qui ne sont pas des constantes de T. (C’est toujours possible).

3) Soit T’ la théorie obtenue en adjoignant la relation L1 = L2 aux axiomes explicites de T.

4) La théorie T’ est plus forte que T.

5) La relation L1 = L2 étant un axiome de T’ en est aussi un théorème.

6) Si la relation L1 = L2 était un théorème de T et comme L1 et L2 ne sont pas des constantes, la relation E1 = E2 serait encore un théorème de T pour tous les termes E1 et E2. Donc en particulier EnsembleVide = {EnsembleVide} serait un théorème, ce qui est absurde puisque l’ensemble vide ne contient pas d’élément !

7) Si la relation L1 =/= L2 était un théorème de T et comme L1 et L2 ne sont pas des constantes, la relation E1 =/= E2 serait encore un théorème de T pour tous les termes E1 et E2. Donc en particulier L1 =/= L1 serait un théorème. Mais ceci est absurde car L1 = L1 est un théorème de toute théorie égalitaire.

8) Ainsi la relation L1 = L2 n’est pas décidable dans la théorie T .

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On aurait ainsi montré que :

POUR TOUTE THÉORIE EGALITAIRE NON CONTRADICTOIRE QUI CONTIENT LES PREMIERS AXIOME DE LA THÉORIE DES ENSEMBLES, IL EXISTE AU MOINS UNE RELATION INDÉCIDABLE DANS CETTE THÉORIE, MAIS QUI EST UN THEORÈME D’UNE THÉORIE PLUS FORTE.

Ou, ce qui revient au même :

SI DANS UNE THÉORIE EGALITAIRE QUI CONTIENT LES PREMIERS AXIOMES DE LA THÉORIE DES ENSEMBLES, TOUTE RELATION EST DÉCIDABLE ALORS CETTE THEORIE EST CONTRADICTOIRE.

Ce qui me choque est que tu supposes L1 et L2 distincts dans T, et que tu définies T’ comme partie de T, hors tu introduits une contradiction dans la définition 4) en supposant L1=L2 alors que dans T, ils sont différents (distincts). T’ ne conserve donc pas la distinction et je ne vois pas en quoi tu peux dire que T’ est plus forte que T.

Pour préciser tout ça, il faudrait absolument que tu explicites les axiomes que tu retiens dans la définition de T, et notamment le sens que tu y donne des termes "constantes" et "distincts". La transformation de T en T’ ressemble à l'application d'une surjection non isomorphe d'un ensemble à un autre pour créer une analogie (par exemple en y définissant une distance ou une norme permettant de décider de l'égalité de deux éléments (ou plus précisément une classe d'équivalence dans laquelle deux éléments sont considérés égaux). Tu sembles vouloir appliquer un sens aux termes employés selon les espéces métriques, mais il est clair que dans ton raisonnement il manque la définition des propriétés que tu donnes à la distance entre deux termes...
Ta théorie T’ pour moi n'est pas plus forte que T, et les sous-ensembles métriques que tu associes à T’ est forcément une partie de T, mais tu ne démontres pas que T’ est non vide. Hors s'il est vide, impossible de trouver deux lemmes L1 et L2 dans T’ même si tu le peux dans T.

Il serait intéressant de comparer ta recherche ici aux théories des ensembles de problèmes P-complets et NP-complets (Sont-ils égaux? Peut-on trouver un problème qui soit à la fois P-complet et NP-complet? Peut-on même décider qu'un problème non complet est P-complet ou NP-complet avec un raisonnement fini?) Pour l'instant personne ne semble pouvoir répondre à cette question mais cela ne démontre pas que c'est une question indécidable. Et même si quelqu'un trouve un problème qui est à la fois P-complet et NP-complet, cela ne prouve pas pour autant que les ensembles soient égaux, ou que l'un contient l'autre.

Il me semble que dans ton cas, tu conclues sur l'intersection de deux théories mais que tu appliques le résultat à la théorie initiale (c'est à dire le sur-ensemble), alors que tu n'as même pas montré que cette intersection est non-vide. Hors si cette intersection est vide, L1 et L2 n'existent pas dans T’ donc tu n'as pas prouvé non plus que ces L1 et L2 existent aussi dans T, et il y est donc impossible de chercher la décidabilité de leur égalité dans T.

Les termes employés sont donc trop imprécis; il manque un formalisme ou une référence aux définitions que tu emploies des termes.

[invite0207e1d5]

Les termes employés sont donc trop imprécis; il manque un formalisme ou une référence aux définitions que tu emploies des termes.

En règle générale, une théorie n'est pas plus forte quand on y ajoute un axiome: la nouvelle théorie est une restriction mais rien ne montre qu'elle soit non vide, comme cela semble être le cas ici. Me trompé-je?

[invite17ab2454]

Bonsoir verdy_p et merci de ta participation.
Tu as raison pour mon texte en PDF...
le manque d'habitude.

Je vais essayé de répondre à tes remarques.

mon raisonnement repose sur le formalisme de Bourbaki exposé dans le tout premier chapitre de ses "Elements de Mathématique"

(1) Une théorie T' est plus forte qu'une théorie T si:
- Tous les signes de T sont des signes de T'
- Tous les axiomes explicites de T sont des théorèmes de T'
- Tous les schémas de T sont des shémas de T'
Dans mon raisonnement, T' est simplement obtenu en adjoignant un axiome explicite à T. Donc T' est donc bien plus forte de T, non ?!

(2) L1 et L2 sont deux lettres distincts, mais au sens des théories égalitaires, on ne peut rien en dire.
La relation "L1 = L2" est en fait l'assemblage "= L1 L2".
Dire que L1 est distinct de L2 permet simplement de pouvoir substituer L1 et L2 par des assemblages distincts.

(3) T peut être n'importe quelle théorie qui contient au moins les schémas et axiomes suivants (définitions Bourbaki):
- Les 4 schémas des théories logiques
- Le schéma des théories quantifiées
- Les deux schémas des théories égalitaires
- L'axiome d'extensionnalité de la théorie des ensembles.
- L'axiome de l'ensemble à deux éléments.
- Le schéma de sélection et de réunion.
...et c'est tout !
(Si les désignations te paraissent ambigües, je pourrais les expliciter)

(4) Une constante d'une théorie est tout simplement une lettre qui figure dans un axiome explicite le la théorie.
Dans mon raisonnement, je peux TOUJOURS choisir mes lettres pour quelles ne figurent pas dans les axiomes explicites de T .Ce choix est même "mécanisable" si j'ose dire. Par contre dans T' L1 et L2 sont effectivement des constantes puisque figurant dans l'axiome explicite L1=L2.

(5) Non non mon raisonnement n'a rien à voir avec les espaces métriques ! Il n'y a rigoureusement aucune notion de distance, norme, voisinage etc...
Encore une fois dire que L1 et L2 sont deux lettres distincts n'implique rigoureusement rien sur leur égalité au sens des théories égalitaires.

J'ai informatisé le formalisme de Bourbaki.
Si tu veux c'est un peu comparable à un système de preuve formelle.
Mais c'est très très long pour démontrer la moindre chose...J'en suis qu'au tout début de la théorie des ensembles !!!

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