Quotien de doubles factorielles

[La Limule]

Bonjour,
Pour rappel, on utilise la notation n!! = n * (n-2) * (n-4) ....
Comment se comporte n!! / (n-1)!! quand n tend vers l'infini?
merci
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[Resartus]

Bonjour,
On prend le logarithme des (p+1)/p, et on se souvient que ln(1+1/p) est équivalent à 1/p quand n est grand. Donc cela diverge, qu'on prenne les pairs ou les impairs, mais pas très vite

[MissJenny]

au pif j'aurais dit que n!!/(n-1)!! ne doit pas être très différent de n!/(n-1)! = n puisque dans la première fraction, par rapport à la deuxième on prend en gros un facteur sur deux au numérateur et au dénominateur (même si ça n'est pas exactement les mêmes facteurs)

[jacknicklaus]

Suggestion : commencer par prendre les nombres pairs.
observer que , puis utiliser la formule de Stirling

[A voir en vidéo sur Futura]

[Resartus]

Re
@missJenny : comme le logarithme tend vers un logarithme (somme des 1/2p ou bien somme des 1/(2p+1) selon la parité de n; l'expression doit croitre comme racine(n)

[jacknicklaus]

Suggestion : commencer par prendre les nombres pairs.
observer que , puis utiliser la formule de Stirling

sauf erreur et pour n pair qui diverge comme racine(n)

[La Limule]

Un modérateur pourrait il corriger les fautes de frappe dans le titre? merci
merci également pour vos réponses

[La Limule]

Merci pour vos réponses,
Et en particulier a Résartus qui m'a signalé une divergences logaritmique quand on somme les logs.

En réalité j'avais lu un papier ou on sommait (de p=1 a n) les logs des (p+1)/p et ou en plus on divisait le résultat
par log (n + 1).
je m'était posé la question de l'existence d'une formule exacte pour l'expression avec les factorielles doubles
mais c'était une mauvaise idée, il fallair rester avec les logs

[stefjm]

au pif j'aurais dit que n!!/(n-1)!! ne doit pas être très différent de n!/(n-1)! = n puisque dans la première fraction, par rapport à la deuxième on prend en gros un facteur sur deux au numérateur et au dénominateur (même si ça n'est pas exactement les mêmes facteurs)

J'arrive après la guerre mais j'aurais bien mis une pièce sur n!!/(n-1)!! diverge en n^(1/2) puisque n!/(n-1)! = n^1.

Reste les impairs.

[MissJenny]

ça croît effectivement comme racine de n, mais avec des fluctuations qui croissent aussi avec n.

[La Limule]

si on prend comme indiqué dans la premère réponse de Resartus, le logarithme de l'expression on a
log 2 - log 3 + log 4 - log 5 + log 6 - log 7 ....
d'ou les fluctuations.
on a une série de log (j+1)/j) = log (1 + 1/j) qui s'ajoute
on peur choisir un grand nombre entier N ou l'on a une bonne approximation des logs par de 1/j
on a alors une constante (venant des termes antérieurs) plus une somme infinie de 1/N + 1/(N+1) + ....
qui diverge logaritmiquement
Dans le papier que je lisais on se proposais de trouver un coefficient pour cette croissante logarytmique
ainsi pour chaque log (n!! / (n-1)!!) on le divisait par log (1+1/n)
on obtenant ainsi une série convergente.

[La Limule]

vers la fin du post j'ai fait une erreur : dans le papier ils divisent par log (1 + n) et non par log (1 + 1/n)
c'est la moindre des chose pour rendre une série qui diverge lorarithmiquement....

[La Limule]

@MissJenny
si pour tout couple (x,y) de ta courbe je prends le couple
(x, log y / log x) ca ressemble a quoi?
merci.

[albanxiii]

Un modérateur pourrait il corriger les fautes de frappe dans le titre? merci

C'est fait, sur le premier message afin que le titre apparaisse sans typo.

[La Limule]

Merci albanxiii.

[La Limule]

@MissJenny

Plutot que prendre log y / log x, dans l'article
ils considèrent log y / log (x + 1)
comme ca on de divise jamais par zéro pour x entier > 0
normalement le log d'une racine de x est (log x)/ 2
et le quotient devrait tendre vers 1/2
si je ne me trompe pas.

[La Limule]

j'ai effectué dans calc le calcul de la suite des
log (n!!/ (n-1)!!) / log n avec n pair et effectivement
on a une décroissance monotone a partir de 1 (vers 1/2 ?)