Théorie des groupes.

[Anonyme007]

Bonjour,

Soit un morphisme de groupes.
D'après le théorème de factorisation, il existe un unique isomorphisme de groupes , tel que, , où, est la surjection canonique, et est l'injection canonique.
Comment montrer que, et le produit cartésien, sont isomorphes ?

Merci d'avance.
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[Anonyme007]

Pour résoudre cet exercice, j'ai pensé considérer le morphisme, défini par, pour tout . Il est évident que, est un morphisme de groupes. Pourquoi est injectif et surjectif ?
Merci d'avance.

[Anonyme007]

Pardon: Je voulais dire,
Comment montrer que, et le produit cartésien, sont isomorphes ?
Pour cela, je considère le morphisme, défini par, pour tout , où, si , et , si, . Il est évident que, est un morphisme de groupes. Pourquoi est injectif et surjectif ?
Merci d'avance.

[Anonyme007]

Voici pour l'injectivité,
Soit tel que, .
Puisque, , alors, , ou .
Si, , alors, . D'où, .
Par conséquent, .
D'où, est injectif.

Comment montrer maintenant que, est surjectif ?

Merci d'avance.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Bonjour.

Qui est ?
En admettant que , le théorème de factorisation s'applique bien ainsi. Mais ta question n'a pas de sens. Prends par exemple et pour l'application identique. Tu demandes comment montrer que et sont isomorphes !!!

[Anonyme007]

Bonsoir gg0,
Tu n'as pas tout lu en détail. J'avais corrigé un peu plus en bas.
Cordialement.

[gg0]

Même corrigé, c'est toujours un peu n'importe quoi !!

Il n'y a pas de G dans l'énoncé. Les lois sur G1 et G2 ne sont pas évoquées, pourtant elles comptent. Comme g est une application entre ensembles, il manque des éléments pour que l'on puisse parler de "morphisme de groupe", donc le "il est évident" est une escroquerie.

Enfin, la façon de prouver que g est surjectif est classique : Tu prends un élément quelconque (k,j) de l'ensemble d'arrivée ...

[MissJenny]

Comment montrer que, et le produit cartésien, sont isomorphes ?

je pense que ce n'est pas vrai (donc très difficile à démontrer).

prends G1 = Z, G2 = ({0,1},+) (+ modulo 2) et f(x) = reste de la division de x par 2. Alors Ker f = 2Z et Im f = {0,1}.

tu prétends que Z et 2Z x {0,1} sont isomorphes mais ça n'est pas vrai parce que (0,1)+(0,1) = (0,0) = 0 (l'élément neutre du groupe) et donc (0,1) = -(0,1) mais dans Z aucun élément non nul n'est son propre inverse.

[gg0]

Bien vu !

Je n'avais pas regardé en détail, vu le flou de ce qui était écrit; mais l'anonyme ferait bien de reprendre ses affirmations des messages #3 et #4 dans ce cas particulier pour voir ce qui cloche.

Cordialement.

[Anonyme007]

je pense que ce n'est pas vrai (donc très difficile à démontrer).

prends G1 = Z, G2 = ({0,1},+) (+ modulo 2) et f(x) = reste de la division de x par 2. Alors Ker f = 2Z et Im f = {0,1}.

tu prétends que Z et 2Z x {0,1} sont isomorphes mais ça n'est pas vrai parce que (0,1)+(0,1) = (0,0) = 0 (l'élément neutre du groupe) et donc (0,1) = -(0,1) mais dans Z aucun élément non nul n'est son propre inverse.

Oui, c'est vrai. Merci beaucoup.

Bien vu !

Je n'avais pas regardé en détail, vu le flou de ce qui était écrit; mais l'anonyme ferait bien de reprendre ses affirmations des messages #3 et #4 dans ce cas particulier pour voir ce qui cloche.

Cordialement.

D'accord. Merci.