Avec un ami, on chipote sur les tuyaux d'un examen, mais il nous reste quelques problèmes dans leurs résolution...
Il s'agit de dire si les assertions suivantes sont vraies ou fausses et de justifier.
1) Le produit tensoriel de représentations satisfait
.
2) Un groupe fini d'ordre 7 possède nécessairement 7 classe de conjugaison.
3) Les représentations du groupe SU(2) de dimension impaire (spin entier) sont équivalentes à leur complexe conjuguée, mais celle de dimension paire (spin demi-entier) ne le sont pas.
4) La restriction d'une représentation irréductible d'un groupe à un sous-groupe n'est jamais irréductible.
5) Si deux représentations irréductibles d'un groupe fini ont même caractère, elles sont équivalentes.
6) Le groupe SO(3) est un sous-groupe de SU(3) mais pas de SU(2).
7) Si D est une représentation irreductible d'un groupe fini G, les produits tensoriels
Voici ce qu'on a trouvé :
1) Aucune idée de comment procéder. On a essayé en se servant des caractères, mais sans résultat.
2) FAUX, il faudrait que le groupe soit abélien pour que ce soit VRAI.
3) On pensait se servir de l'indicateur de Frobenius Schur, mais sans certitude. Déjà, il faudrait qu'on arrive à calculer de représentations paires et impaires de ce groupe.
4) On pense que c'est FAUX (en général c'est pas irréductible, mais pas jamais), mais comment le justifier?
5) Intuitivement, cela paraitrait VRAI, mais à nouveau, comment le justifier?
6) SO(3) est un groupe quotien de SU(2), mais après, on voit pas.
7) Il semblerait que ce soit VRAI, mais pourquoi?
Qu'est-ce que vous en pensez et pourriez-vous nous aiguiller sur les démarches à suivre?
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Envoyé par fLAMISH 