Intervalle de confiance pour F=1 sur l'échantillon

[Milo]

Bonjour,
Je n'arrive pas à trouver la réponse à une question que je me pose, mais sans voir par quel bout la prendre.
Supposons que j'aie un processus aléatoire qui puisse donner deux résultats : Succès et Echec.
Évidemment, si la proba d'un succès sur une épreuve est P(S), alors la proba de n succès sur n épreuves consécutives est P(S)ⁿ
Mais si, ne connaissant pas P(S), j'effectue n observations qui donnent toutes S, alors ma meilleure estimation de P(S) est 1
Mais comment donner un intervalle de confiance à cette proba, pour un risque d'erreur donné ?
Merci de votre aide !
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[gg0]

Bonjour.

Comme d'habitude. Pour n épreuves et une proba de succès p, en supposant (ce que tu as fait implicitement) que les résultats sont indépendants, tu sais calculer la probabilité de l'événement X=n où X est la variable aléatoire "nombre de succès". Tu en déduiras les valeurs de p pour lesquelles P(X=n)>= c où c est la confiance voulue. C'est un intervalle [p0,1] qui sera ton intervalle de confiance (pour p pris dans cet intervalle, on a une probabilité supérieure ou égale à c d'obtenir n succès.
je te laisse faire le détail des calculs; pour n faible, on utilisera une loi binomiale, approximée par une gaussienne si n est grand.

Cordialement.

[Milo]

Merci beaucoup pour cette réponse rapide.
J'ai fait le calcul, et je pense qu'il y a un problème. En tout cas, moi j'en ai un, mais peut-être que je m'y prends mal.
Je dirais qu'on est dans le cas limite de la binomiale où k = n donc le nombre de combinaisons est 1, et (1-p)^(n-k) aussi, il ne reste que le terme p^k, et on trouve simplement P(X=n) = pⁿ.
Ça, ça ne m'étonne pas.
Du coup, si je fixe c, P(X=n) ≥ c ça donne pⁿ ≥ c donc p ≥ c^(1/n). Et donc je dis que l'intervalle de confiance est [p0,1] avec p0 = c^(1/n)
Ça veut dire que :

• si j'augmente n, j'augmente p0. En faisant plus de tests qui donnent tous "succès", je crois plus à des probas proches de 1. C'est OK.
• Mais là où je bugge, c'est que si j'augmente c, j'augmente p0, donc l'intervalle se réduit. En général, l'intervalle de confiance doit s'étendre quand on augmente le degré de confiance, non ?

Désolé si ma question montre que je suis une buse...

[gg0]

Non, c'est moi qui ai bugué ! Mais je ne trouve pas où !! Ta remarque me paraît tout à fait sensée.

Désolé de ne pouvoir faire mieux pour l'instant, j'espère que je finirai par comprendre, ou que quelqu'un d'autre trouvera.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[MissJenny]

il faut faire attention au fait que la théorie standard du maximum de vraisemblance n'est valable que pour un paramètre appartenant à un ouvert. C'est parce que dans ce cas on peut écrire les "équations de vraisemblance" (ou équation d'Euler), c'est-à-dire écrire que la dérivée de la vraisemblance est nulle. On a alors l'approximation gaussienne avec l'information de Fisher, etc. Quand on est à la borne de l'intervalle de variation du paramètre comme ici, on ne peut pas appliquer les méthodes ordinaires.

[Milo]

Ah, ok, merci.
Je me doutais bien que ça avait quelque chose à voir avec le fait qu'on est "en butée" sur une borne de l'intervalle.
Bon, pas de méthode ordinaire, donc.
... et donc, des méthodes pas ordinaires, c'est quand même accessible au commun des mortels ? Si vous avez des pistes, je suis preneur !
Merci

[GBZM]

Bonjour,

Tu pourras regarder cet article sur la "règle de trois" : https://en.wikipedia.org/wiki/Rule_o...e_(statistics)

[GBZM]

@Milo : je reviens sur ce qui te surprend et n'a en fait rien de surprenant
Effectivement, si on a épreuves de Bernoulli de probabilité de succès , alors la probabilité d'avoir succès est . Pour que cette probabilité soit au moins 5%, on veut donc . Si on rejette les pour lesquels la probabilité de n'avoir que des succès est moins de 10%, on est plus sévère et on rejette plus de , la condition est plus restrictive. D'accord qu'il n'y a là rien de surprenant ?