Norme d'un opérateur : résultat expérimental étrange ?

[FGeoffrey]

Chers amis de la topologie, bonjour !
J'ai trouvé un exercice de prépas qui me paraît intéressant:
On considère l'espace vectoriel E des fonctions réelles continues sur [0,1] muni de la norme 2: ||f||=rac(int(f^2,0..1));
et l'endomorphisme de E qui à une fonction de E associe sa primitive qui s'annule en 0.
On demande la norme (subordonnée) de cet endomorphisme.
Expérimentalement, avec Maple, je trouve 2/Pi.
Je trouve ça bizarre et je n'ai aucune idée de la façon de le démontrer.
Qu'en pensez-vous?
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[gg0]

Bonjour.

Peux-tu expliquer ce passage : "Expérimentalement, avec Maple, je trouve 2/Pi."

Sinon, la façon de le démontrer est d'utiliser une des définitions de la norme subordonnée. Lesquelles connais-tu ?

Cordialement.

[FGeoffrey]

J'ai utilisé la définition de la norme subordonnée: |||T|||=sup(||T(f)||/||f||) pour f <> 0.
J'ai "approché" l'espace E par les fonctions en escalier sur [0,1] correspondant à une subdivision uniforme [x0=0, x1, ..., xn=1]
(||T(f)||/||f||) dépend donc de n paramètres (les valeurs de f sur [xi,xi+1[)
identify(Optimize:-Maximize((||T(f)||/||f||)) donne 2/pi

[gg0]

OK.

Il peut être plus simple d'utiliser la caractérisation |||T|||=sup(||T(f)||) pour ||f||=1 (conséquence de la linéarité de T). J'ai un peu regardé, mais je n'ai pas vu de "bonne idée". Les fonctions en escalier ne sont peut-être pas la bonne voie.
Sinon, la valeur 2/Pi ne me choque pas, les tests sur des fonctions simples ne la contredisent pas.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]