Cardinalité de l'ensemble de tous les sous-ensembles des entiers naturels sans ses singletons

[Peter Punin]

Bonjour à toutes et à tous,

Permettez-moi de soumettre la question suivante

L'ensemble N de tous les sous-ensembles des entiers naturels ℕ a la puissance du continu. Considérons maintenant l'ensemble N* = N \ S où S est l'ensemble des singletons {1}, {2}, {3}, … → ꝏ. L'ensemble N*, ou si on préfère l'ensemble N diminué de tous ses singletons, a-t-il aussi la puissance du continu?

(Ce qui me pose problème est le fait que la puissance du continu est démontrée pour l'ensemble N de tous les sous-ensembles des entiers naturels ℕ, tandis que N* est l'ensemble N amputé des sous-ensembles singletons de ℕ. Ce détail mettrait-il N* sous la coupe de l'hypothèse du continu avec son indécidabilité?)

Un grand merci d'avance,

Cordialement,

Peter Punin
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[pm42]

L'ensemble des singletons est dénombrable. Tu le retires à un ensemble qui a la puissance du continu donc il la garde.

Autre façon de voir : tu as retiré tous les entiers de la droite des réels. Mais il te reste ] 0, 1 [ dont on sait qu'il a le même cardinal que R. Donc ton ensemble a un cardinal au moins aussi grand que R, il est inclut dedans donc il est plus petit ou égal. Donc c'est le même.

[gg0]

Bonjour Peter Punin.

Tout ensemble est la réunion de ses singletons, donc si on lui retire ses éléments, il reste l'ensemble vide. . Cardinal .
Sinon, s'il s'agit d'enlever à l'ensemble des parties les parties à 1 élément, il est classique qu'enlever à un ensemble ayant le cardinal de un ensemble dénombrable redonne un ensemble ayant le cardinal de . Sauf erreur de ma part (Médiat corrigera dans ce cas), tu peux même enlever toutes les parties de cardinal fini, ne conserver que celles de cardinal dénombrable.

Cordialement.

[amineyasmine]

Bonjour à toutes et à tous,

Permettez-moi de soumettre la question suivante

L'ensemble N de tous les sous-ensembles des entiers naturels ℕ a la puissance du continu. Considérons maintenant l'ensemble N* = N \ S où S est l'ensemble des singletons {1}, {2}, {3}, … → ꝏ. L'ensemble N*, ou si on préfère l'ensemble N diminué de tous ses singletons, a-t-il aussi la puissance du continu?

(Ce qui me pose problème est le fait que la puissance du continu est démontrée pour l'ensemble N de tous les sous-ensembles des entiers naturels ℕ, tandis que N* est l'ensemble N amputé des sous-ensembles singletons de ℕ. Ce détail mettrait-il N* sous la coupe de l'hypothèse du continu avec son indécidabilité?)

Un grand merci d'avance,

Cordialement,

Peter Punin

Bonjour

Ce n’est pas clair, je ne comprends pas la question

L’ensemble N ne contient pas de singletons

Il contient des entiers, des éléments, des ……

Les singletons, ça ne devient singletons que lorsqu’on veut construit les sous-ensembles pour construire plus grand


Il y a quelque chose "d’énorme" qui ne va pas ici ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[pm42]

L’ensemble N ne contient pas de singletons

Si vu qu'il l'a définit comme les parties de ℕ. Certes ce n'est pas la meilleure notation et après, il fait la confusion entre élements de N et singletons en effet mais pour le moment, les autres participants à ce fil ont compris.

Il y a quelque chose "d’énorme" qui ne va pas ici ?

Oui mais pas ce que tu penses.

[gg0]

Désolé pour le début inutile de mon message d'hier (#3), mais l'utilisation de la même lettre N pour un ensemble et celui de ses parties m'a trompé.
Cordialement.

[Peter Punin]

Merci à toutes et à tous.

Me voilà rassuré.
La deuxième démonstration avancée par pm42 de la conservation de la puissance du continu pour N* = N \ S où N est l'ensemble de tous les sous-ensembles des entiers naturels ℕ, et S l'ensemble des singletons {1}, {2}, {3}, … → ꝏ, est particulièrement élégante. Y aurait-il un support – article ou manuel – que je pourrais citer*?
Toutes mes excuses pour le malentendu que j'ai manifestement créé par négligence typographique. J'aurai dû mettre “N” en gras pour désigner l'ensemble de tous les sous-ensembles de l'ensemble ℕ. Cela aurait évité la confusion visuelle entre N et ℕ. En plus, certain(e)s auteur(e)s mettent précisément en gras les dénominations attribuées aux ensembles d'ensembles. Mea maxima culpa.

Encore une fois merci,

Cordialement,

Peter

PS Maintenant que je tente de concrétiser mes bonnes intentions, je constate que je n'y arrive pas. Mettant le caractère concerné en surbrillance avant de cliquer sur B, j'obtiens [B]N. Est-ce normal?

[pm42]

Y aurait-il un support – article ou manuel – que je pourrais citer*?

Sans doute mais je n'en connais pas : j'ai sorti ça en utilisant le peu dont je me souviens de ma prépa où ce genre de chose était un grand classique.

Toutes mes excuses pour le malentendu que j'ai manifestement créé par négligence typographique. J'aurai dû mettre “N” en gras pour désigner l'ensemble de tous les sous-ensembles de l'ensemble ℕ.

Ecrit P(ℕ), c'est la notation standard pour l'ensemble des parties : https://fr.wikipedia.org/wiki/Ensemb...%27un_ensemble

[GBZM]

Bonjour,
On peut décrire une injection de dans : on envoie sur et chaque partie non vide sur . Cette injection montre que le cardinal de est au moins égal à celui du continu. Et comme on a bien sûr une injection dans l'autre sens ...