Cardinalité d'un sous-ensemble

[Tomlindo]

Bonjour ou bonsoir,

je poste ici un problème qui, je suis sûr, pourra plaire à bien des lecteurs du Forum! J'ai une idée de réponse, mais celle-ci étant quelque peu heuristique, j'aimerais disposer d'avis externes sur la question, ou plutôt le problème.

Par ailleurs, le voici:

Réécrite en français, celle-ci donne: l'ensemble des applications de l'ensemble des entiers naturels dans lui-même est-il équipotent à celui des bijections de l'ensemble des entiers naturels dans lui-même ?

(Si ça peut aider, quelques résultats déjà connus: , et ...)

Merci d'avance pour les réponses éventuelles,
une bonne journée ou soirée!
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[Anonyme007]

Bonsoir,

Tomlindo,

Ce n'est-il pas une application directe de l'hypothèse du continu qui affirme qu'il n'existe aucun ensemble dont le cardinal est strictement compris entre le cardinal de l'ensemble des entiers naturels et celui de l'ensemble des nombres réels ? Voir ici, https://fr.wikipedia.org/wiki/Hypoth%C3%A8se_du_continu .

[Seirios]

Bonjour,

On peut facilement construire une injection de dans . Pour ce faire, regroupons les éléments de par paires, par exemple posons . Etant donnée une suite à valeurs dans , on peut construire une bijection qui envoie chaque sur le même de sorte que, si , la restriction à est l'identité, et, si , la restriction à échanges les deux éléments.

On a donc des injections , ce qui montre que est de cardinal .

[GBZM]

Bonjour,
On peut même, en poursuivant l'idée de Serios, décrire une application injective de dans , l'ensemble des permutations de .
Ètant donné , on lui associe la permutation qui, pour tout , envoie l'ensemble des entiers (où ) sur lui-même au moyen du cycle .

[A voir en vidéo sur Futura]

[Tomlindo]

Bonsoir,

Je connais bien cette sublime hypothèse, et je craignais justement qu'on se puisse retrouver dans pareil cas... Mais non! En lisant les réponses ci-dessous, on n'est pas dans un questionnement sans réponse!

Merci

[Tomlindo]

Bonjour,

C'est une très belle solution! Je me demande pourquoi je n'y ai pas pensé plus tôt...

Merci beaucoup pour cette aide, je garde bien le raisonnement en tête!

[Tomlindo]

Bonjour,

GBZN,

c'est exactement la motivation de mon problème! Je positionnais ce problème en remarquant que, par définition, ... Je cherchais donc à caractériser "l'infinité" de de cet ensemble des permutations, ce que vous avez fait!

Je vais tenter de développer l'idée intuitive dite "quelque peu heuristique" (qui ressemblait à une permutation comme vous l'avez faite, et qui me guidait à pareille réponse) que j'avais pour déterminer ce cardinal que je connais assurément désormais.

Merci pour votre réponse!

[Tomlindo]

(Post-scriptum. En fait, j'avais trouvé ma propre preuve, mais je ne m'en souvenais plus... Je la réécrirai proprement si vous voulez... :') )