Le retour des topos - categories et ensemble

[pachacamac]

Bonjour,

M’intéressant depuis longtemps aux topos ( via récoltes et semailles + Vidéos ) c'est la première fois que je fais l'effort d'essayer de comprendre de quoi s'agit -il.

Après avoir lu et (très ) partiellement comprise les pages sur la théorie de catégories, les catégories, les morphismes les foncteurs les faisceaux et préfaisaux, les sites et les topos sur wikipédia, une question naïve me trotte par la tête

Une categorie ne peut t'elle être définie comme un ensemble ?
dont les éléments seraient les objets qui vérifient les axiomes nécessaires pour faire partie d'une catégorie ?

Merci d'avance pour tout éclairage
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[MissJenny]

moi non plus je ne comprends pas tout, mais ce que je comprends c'est que l'important dans la théorie des catégories c'est plus les flèches que les objets. A la limite on pourrait ne se donner que les flèches, les objets étant identifiés aux flèches "identités" (lesquelles sont caractérisées par le fait qu'elles sont élement neutre à gauche et à droite).

[pachacamac]

Va falloir que j'y réfléchisse...c'est très abstrait...Elles partent d'où et arrivent où ces flèches?


Aussi j'ai une autre question, puisque pour développer la théorie, on reste me semble t'il dans cadre des catégories et des topos, pour l'instant je vois pas du tout comment elle est reliée aux autres branches des mathématique en particulier l' algèbre..
Bon je ne suis pas algébriste...

[GBZM]

Bonsoir,
"Elles partent d'où et arrivent où ces flèches?" Une flèche part d'un objet (sa source) et arrive à un objet (son but).
Exemple : la catégorie des groupes. Les objets sont les groupes, les flèches sont les morphismes de groupes.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Anonyme007]

Une categorie ne peut t'elle être définie comme un ensemble ?

Bonsoir,

Une catégorie est une collection d'objets et de morphismes.
Un ensemble est seulement une collection d'objets ( i.e, éléments de cet ensemble ).
Une catégorie ''petite'' est une collection d'objets et de morphismes, dont les objets forment un ensemble ( i.e, qui ne forment pas une classe propre ).

[pachacamac]

>>Elles partent d'où et arrivent où ces flèches?
>Une flèche part d'un objet (sa source) et arrive à un objet (son but).

Merci. c'est bien comme cela que je voyais la chose. J'ai posé cette question suite à la remarque de MissJenny qui m'a laissé perplexe:

> A la limite on pourrait ne se donner que les flèches, les objets étant identifiés aux flèches "identités"

[MissJenny]

je comprends ta perplexité. J'avais lu ça je ne sais plus où. L'auteur disait que ce qui comptait c'étaient les flèches et que si on connaissait toutes les flèches on connaissait les objets. Mais c'est vrai que quand on pense à une catégorie on imagine les objets comme des ensembles et les flèches comme des applications entre ces ensembles, et qui dit application dit ensembles de départ et d'arrivée. Mais en réalité rien ne dit que les flèches doivent être des applications, et de toutes façons Halmos par exemple définit une application sans avoir donné à l'avance son ensemble de départ ni son image (chez Halmos les applications sont toujours surjectives).

[GBZM]

Dans une catégorie, à tout objet on associe la flèche , avec les propriétés que l'on attend. On peut ainsi identifier la classe des objets à une sous-classe de la classe des flèches.

Exemple de catégorie "non concrète" (où les objets ne sont pas des ensembles avec une structure en plus, et les flèches des applications entre ces ensembles) : toute classe ordonnée est une catégorie qui a pour objets les éléments de cette classe et où on a une flèche de dans si et seulement si .

[pachacamac]

Bonjour GBZM, bonjour les autres,

J'en suis encore à réfléchir à ta première phrase et la signification de la flèche IdX :X -> X

Veut t'elle dire : A tout objet de la catégorie on associe la flèche (morphisme?) Identité qui à chaque objet de la catégorie lui associe lui-même ?

Peut on aussi associer aux objets de la catégorie d'autres flèches différentes de IdX?

Merci

[GBZM]

Ça fait partie des axiomes de catégorie : pour tout objet il existe une (unique) flèche qui est élément neutre pour la composition à gauche et à droite.

[pachacamac]

Merci.

Il existe pour tout objet de la catégorie une unique flèche identité mais il semblerait d'après wikipédia (auxquel je m'accroche pour essayer de comprendre un peu ) qu'un objet A d'une catégorie peut être source de plusieurs flèches..

[gg0]

Heu ... c'est évident si on lit la définition avec un esprit méthodique. La définition ne dit pas qu'il n'y a qu'une seule flèche partant d'un objet ou y arrivant. Donc il peut y en avoir plusieurs. Pour certains éléments ou pour tous. Cependant, il peut y avoir des objets d'où part une seule flèche et ou arrive une seule flèche. On sait laquelle. On peut même définir une catégorie par un ensemble d'objets et les seules flèches identité. Avec deux objets, c'est ton schéma où on supprime la flèche de a vers b.

Cordialement.

[GBZM]

Il faut savoir lire : quand on dit "il existe une (unique) flèche qui fait ceci cela", ça ne veut pas dire qu'il n'en existe pas d'autres qui font autre chose !
Exemple : soit un groupe. On lui associe la catégorie qui a un seul objet et comme flèches (forcément de cet objet dans lui-même !) les éléments de ce groupe, la composition des flèches étant la loi de composition interne du groupe. L'élément neutre du groupe est la flèche identité de l'unique objet.

[pachacamac]

Merci.

J'ai encore du mal à comprendre.

Si on prend pour G le groupe formé de l'ensemble des entiers relatifs Z , muni de l'addition. On lui associe la catégorie qui a un seul objet (ce groupe) okay

"Et comme flèches les élément de ce groupe"
Là je suis perplexe...

Cela veut t'il dire que pour l'unique objet de cette catégorie appelons le A , il part une infinité de flèches (une par nombre relatif ) puisque ce sont eux qui sont les éléments du groupe ?

[GBZM]

Il y a un seul objet, appelons-le , et pour chaque entier relatif dans une flèche qui part de et arrive en . La composée des flèches et est la flèche .
On peut jouer à la même chose avec au lieu de . La différence, c'est que dans le cas de toutes les flèches sont des isomorphismes, tandis que dans le cas de il n'y a que la flèche 0 (l'identité de ) qui est un isomorphisme.

[pachacamac]

Merci de ta patience pour m'expliquer ces catégories si abstraites.

Note : j'ai pris Z plutôt que N car j'ai cru comprendre en lisant la page sur les groupes de wikipédia (qui commence simplement mais qui va très loin) que {N, +} n'avait pas une structure de groupe ( pas d’élément inverse tel que a + b = 0) mais de monoïde ou de groupoïde...mais passons là n'est pas l'important dans mon incompréhension.

Je tente une autre (et probablement ultime) tentative pour essayer de t'expliquer et de m'expliquer ce que je comprend pas.

D’abord j'essaye de me représenter la catégorie associé au groupe {Z, +} qui a un seul objet en utilisant une représentation en "sacs" ou en "patate" comme avec les ensembles.

Donc j'obtiens "une patate" qui contient un seul élément "a" à partir duquel partent une infinité de flèches qui retourne à "a"..

Puis tu dis que pour chaque entier relatif il part une flèche de a qui retourne à "a" , faut' il en déduire que "a" bien qu'étant un objet unique est un ensemble qui contient tous les éléments de Z ?

Je pense comprendre qu'on peut composer (additionner) les flèches m et n mais une flèche toute seule par exemple celle qui part de m, arrive où? sur m ?

Bon courage si tu tentes de m'expliquer tout ça

Merci

[GBZM]

Puis tu dis que pour chaque entier relatif il part une flèche de a qui retourne à "a" , faut' il en déduire que "a" bien qu'étant un objet unique est un ensemble qui contient tous les éléments de Z ?

Non. n'est pas un ensemble, c'est juste un objet (l'unique objet) de la catégorie considérée. Il ne contient rien, il ne contient pas les entiers.
Toute flèche dans une catégorie a une source et un but qui sont des objets de la catégorie. Dans le dessin que tu as mis plus haut, en dehors des flèches identité il y a une flèche de source et de but , on dit que c'est une flèche de vers .

Je pense comprendre qu'on peut composer (additionner) les flèches m et n mais une flèche toute seule par exemple celle qui part de m, arrive où? sur m ?

Ta question n'a pas de sens : toute flèche part de et arrive à

[pachacamac]

Merci. J'abandonne
Je viens de parcourir deux cours sur les catégories, ça me dépasse complétement.

[GBZM]

Dommage. Ce n'est vraiment pas compliqué au fond, mais c'est déroutant si on a tendance à ne pas prendre au pied de la lettre les définitions et à les interpréter avec des idées préconçues (du genre vouloir voir une objet d'une catégorie comme un ensemble avec des éléments).

[pachacamac]

Dommage. Ce n'est vraiment pas compliqué au fond
C'est ce qu'a dit aussi Alain Connes.

Perso après un premier tour de la question, j'ai presque eu l'impression que c’était plus difficile que les mathématique de le RG ou de la MQ.en tout cas beaucoup plus abstrait
et pourtant j'ai été initié aux ensembles dès la cinquième ou la quatrième dans le cadre des Math Modernes.

Aussi une petite question à propos des ensembles :

J'ai lu aujourd'hui dans un cours sur les catégories qu'une des motivations pour cette théorie provenait du fait, démontré, que l’ensemble des ensembles n'est pas un ensemble.
Cela me semble contre intuitif.. si on pouvait m'expliquer pourquoi en quelques lignes ce serait le Pérou.

Merci

[oualos]

j'ai essayé de suivre le cours d'Alain Connes mais ai abandonné très vite.
Par contre le cours de Stéphane Dugowson, je suis arrivé à comprendre: il ne nécessite apparemment pas un (trop) fort niveau en mathématiques et il est très clair.
Je déconseille celui d'Alain Badiou car déjà ses explications sur les mathématiques étant loin d'être claires ni simples, il a le bon goût (!) d'y rajouter de la philo et pas n'importe laquelle: Kant et Hegel!

[gg0]

Bonjour Pachacamac.

Pour l'ensemble de tous les ensembles, en supposant qu'il existe, que ce soit un ensemble, on peut définir parmi ses sous ensembles deux catégories :
* les ensembles qui se contiennent eux-même (*), il en existe au moins un, l'ensemble de tous les ensembles (**).
* ceux qui ne se contiennent pas, comme {a,b}, l'ensemble des deux lettres a et b.
Ensuite, on peut définir deux sous-ensembles (parties) de l'ensemble de tous les ensembles :
*L'ensemble A de tous les ensembles qui se contiennent (l'ensemble de tous les ensembles en est un élément)
*L'ensemble B de tous les ensembles qui ne se contiennent pas.
Jusque là, pas de souci, mais vient une question : Où placer l'ensemble B ? Dans A ? Mais alors B doit se contenir, donc être dans B ! Mais s'il est dans B, il se contient, donc ne doit pas être dans B. B ne peut pas être placé dans A, ni dans B, donc il ne se contient pas (pas dans A) mais se contient (pas dans B). Contradiction.
Petit élément historique : Au moment de la découverte de ce "paradoxe", le logicien Frege venait de faire imprimer un bouquin où apparaissait la notion d'ensemble de tous les ensembles. Il a fait rajouter une page de garde qui prévenait que son travail recelait une grave faille logique.

Le seul moyen d'éviter cette contradiction est d'accepter que n'importe quelle collection ne soit pas un ensemble, la collection des ensembles n'est pas un ensemble.

Cordialement.

(*) un ensemble se contient si un de ses éléments est lui-même.
(**) puisqu'il est l'ensemble de tous les ensembles, est est un ensemble, il est élément de lui-même.

[pachacamac]

Merci beaucoup !

[oualos]

J'ai une question qui vu mon niveau risque de paraître naïve: vous parlez de l'ensemble de tous les ensembles.
Un ensemble peut être défini de tas de façon je crois: discret ou continu , ou encore défini par une propriété.
Est-ce qu'on ne risque pas de retomber sur le théorème de Gödel comme ça ?
Un des exemples que j'ai toujours en tête et celui des ensembles ne se contenant pas eux-mêmes: fait-il partie de l'ensemble de tous les ensembles?
L'exemple que j'avais vu est l'ensemble de tous les ensembles ne contenant pas Jeanne d'Arc: se contient-il lui-même ou pas ?
Dans les 2 cas de raisonnements on arrive à une conclusion que c'est indécidable.
Est-ce de cela que Frege voulait parler comme "faille logique" ?

[oualos]

Rectificatif: Il semble -mais je ne suis pas assez calé- qu'à l'époque de Frege on ne considérait que la logique classique.
d'après ce que j'ai compris, dans les topos on est dans une logique intuitionniste ce qui change énormément et donne des cas totalement contre-intuitifs.
Alors que prise globalement la logique classique est intuitive justement, la première dans l'histoire je crois bien...
Par exemple Dugowson disait qu'un ensemble fini peut contenir une partie finie -soit un nombre fini d'éléments- et aussi à côté une partie infinie: mais à l'arrivée dans ce type de logique, l'ensemble peut être fini.
ce qui semble totalement contre-intuitif et d'un degré supplémentaire dans l'abstraction des mathématiques: mais c'est un modèle qui n'a pas pour vocation de décrire la réalité dans laquelle on vit, sauf peut-être l'inconscient voire les phénomènes quantiques (?)

[gg0]

Oualos, on peut parler de "l'ensemble de tous les ensembles" en français courant (le mot "ensemble" a une multiplicité de significations), mais en maths, il n'y en a pas. Le mot technique "ensemble" est défini à partir d'une théorie des ensembles (il y en a plusieurs), mais dans aucune, la collection des ensembles n'est un ensemble, et, à ma connaissances, aucune de ces théorie ne définit ce qu'est un ensemble.
Aucun rapport direct avec le théorème de Gödel. Et avant d'écrire ta quatrième ligne, tu aurais pu lire vraiment mon message #22. Tu arrives trop tard. De plus, ce message répondait à ta question finale.

Cordialement.

[oualos]

le mot "ensemble" a une multiplicité de significations

c'est bien ce qu'il me semblait et je crois avoir compris (?) que le choix de la logique est déterminant pour sa définition.
Le théorème de Gödel est relatif à la logique classique si ma mémoire est bonne.
Avec les topoï on est dans un degré d'abstraction tel qu'il faut vraiment une grande habitude des mathématiques et de ses modèles pour arriver à comprendre.

[gg0]

A propos de ton message #25 :
* Dans n'importe quelle logique, une contradiction (A et non A) est une contradiction.
* Le caractère fini d'un ensemble semble indépendant de la logique utilisée, j'ai peur que tu aies mal compris quand tu écris "à l'arrivée dans ce type de logique, l'ensemble peut être fini."

Médiat t'en dira sans doute bien plus, il est spécialiste de ces questions.

Cordialement.

[gg0]

Message #27 : Je parlais des significations du mot "ensemble" en français courant.
Et tu sembles confondre les logiques (il y en a plusieurs) et les théories des ensembles (construites souvent sur la logique classique - il y en a plusieurs). Dans une théorie des ensemble données, le mot "ensembles" n'a pas de signification.

[oualos]

Merci pour tes précisions car c'est extrêmement difficile à comprendre, même expliqué par Dugowson qui essaie de parler un langage courant et fait de la vulgarisation.
Les autres videos comme celles de Alain Connes ou d'autres mathématiciens sont incompréhensibles pour moi mais merci quand même