Le tout et ses parties, relations d'équivalence et d'égalité

[invite309928d4]

Bonjour,
D'après, wikipedia :

Si A est un ensemble, la restriction à A de l'égalité est une relation binaire à la fois réflexive, symétrique, antisymétrique, et transitive. C'est même la seule relation sur A possédant toutes ces propriétés. Une relation binaire ne possédant que les propriétés de symétrie, reflexivité et transitivé est une relation d'équivalence.

Ce qui différencie l'égalité de l'équivalence ce serait donc l'antisymétrie.
On aurait 2 types d'antisymétrie, l'antisymétrie faible où lorsque deux éléments de A sont en relation mutuelle, ils sont en fait confondus, et l'antisymétrie forte où lorsqu’un premier élément de A est en relation avec un second élément de A, le second élément n’est pas en relation avec le premier.

Si on considère qu'un tout A s'exprime dans ses parties A1, A2 etc. peut-on dire qu'il y a une relation d'équivalence qui n'est pas une relation d'égalité entre A et ses parties ?
Exemple :
on pose l'ensemble "Musique" constitué des éléments Do, Ré, Mi, Fa, Sol, La, Si, et on s'interroge sur la relation que j'appellerais "expression" qui relie la "Musique" aux notes : le Do exprime le tout que constitue la "Musique".

Do et Ré sont en relation par la "Musique", et donc pas d'antisymétrie forte (relations Do <-> Ré) ni d'antisymétrie faible (Do n'est pas confondu avec Ré), la relation "expression" serait une relation d'équivalence entre une partie et le tout.

De manière plus générale, est-ce que quelqu'un connaîtrait des développements mathématiques (logiques ?) sur les relations d'équivalence et d'égalité, par rapport aux relations entre un tout et ses parties ?
Outre un intérêt métaphysique (c'est la faute à Spinoza...), la question m'intéresse aussi pour ce qu'on appelle les propriétés émergentes, quand par exemple on dit que l'esprit émerge de la complexité du système cérébral. Dans ce discours, on passerait d'une relation d'égalité entre le tout et ses parties (système cérébral = ensemble de neurones etc.) à une relation d'équivalence : système cérébral <=> ensemble d'idées <=> ensemble de neurones.

Merci.
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[invite4793db90]

Salut,

je ne suis pas sûr de te suivre. Je reprends ton exemple :

Exemple :
on pose l'ensemble "Musique" constitué des éléments Do, Ré, Mi, Fa, Sol, La, Si, et on s'interroge sur la relation que j'appellerais "expression" qui relie la "Musique" aux notes : le Do exprime le tout que constitue la "Musique".

Do et Ré sont en relation par la "Musique", et donc pas d'antisymétrie forte (relations Do <-> Ré) ni d'antisymétrie faible (Do n'est pas confondu avec Ré), la relation "expression" serait une relation d'équivalence entre une partie et le tout.

Ce que je comprends, c'est que tu veux mettre en relation le tout et sa partie. Mais alors tu n'as pas une relation sur M={A, B, C, D, E, F, G} ( l'ensemble "Musique" est composée des éléments, Do, ...Si ), mais sur X={M, A, B, C, D, E, F, G}. Tu définis sur X ta relation "expression", que je noterai ~ comme d'usage, par A~M, B~M, ..., G~M. Mais j'ai l'impression que cette relation n'est pas symétrique. Sinon par transitivité, on aurait A~B~...~G~M et ainsi une seule classe d'équivalence...

Mais je ne t'ai peut-être pas compris ?

Cordialement.

[invite636fa06b]

Bonsoir,

Je ne suis pas certain d'avoir vraiment compris.
Si tu veux mettre en relation un ensemble et ses parties, tu tombes sur un "interdit" de la théorie des ensembles car il conduit à des paradoxes.
En revanche, il n'est pas impossible de "plonger" tes notes dans un ensemble plus grand (les mots du dictionnaire, par exemple) dont les notes feraient partie d'un sous-ensemble "Musique". On a bien une relation d'équivalence :
do équivaut à la parce qu'il font partie du même sous-ensemble. Cependant, pour pouvoir faire cela, il faut que tu découpes ton dictionnaire en parties qui englobent la totalité du vocabulaire et qui n'ont pas d'éléments communs.
J'ai du mal avec tes notions d'antisymetries faibles et fortes, j'aurais plutot inversé.
De fait, quand on compare la définition d'une relation d'ordre et d'une relation d'équivalence, c'est très proche : reflexif, transitif et symétrique pour la première et reflexif, transitif et antisymétrique pour la seconde.
En outre, antisymétrique ne veut pas dire non symétrique et il est possible qu'une relation soit les deux à la fois. Dans ce dernier cas, on démontre facilement que c'est l'égalité, seule relation d'ordre et d'équivalence

[invite4793db90]

Salut,

J'ai du mal avec tes notions d'antisymetries faibles et fortes, j'aurais plutot inversé.

Il y a aussi les épithètes large et strict qui me semblent appropriés.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Si tu veux mettre en relation un ensemble et ses parties, tu tombes sur un "interdit" de la théorie des ensembles car il conduit à des paradoxes.

Je ne comprends pas ce que tu veux dire par "interdit".

Si tu définis la relation entre un ensemble A et l'ensemble de ses parties par
aRb ssi b = {a} (c'est un exemple, il y en a plein d'autres), je ne vois pas quel paradoxe cela entraîne...

[invite636fa06b]

Je ne comprends pas ce que tu veux dire par "interdit".

Si tu définis la relation entre un ensemble A et l'ensemble de ses parties par
aRb ssi b = {a} (c'est un exemple, il y en a plein d'autres), je ne vois pas quel paradoxe cela entraîne...

Oui, tu as raison mais dans ce cas, on ne peut plus parler d'équivalence, d'ordre, de symétrie... sauf à assimiler partie et éléments

[Médiat]

Oui, tu as raison mais dans ce cas, on ne peut plus parler d'équivalence, d'ordre, de symétrie... sauf à assimiler partie et éléments

Une relation d'équivalence, ou d'ordre (ou même, simplement la symétrie) n'a de sens que pour une relation d'un ensemble avec lui-même onsidérés comme deux ensembles distincts, donc il est clair que l'on ne peut créer une relation d'équivalence entre un ensemble et ses parties, néanmoins, je ne vois toujours pas de paradoxe.

Quand tu parles d'assimilation entre partie et éléments, est-ce que tu veux dire considérer l'ensemble ? Dans ce cas il très facile de créer des relations d'équivalence, et encore plus facile de créer une relation d'ordre (c'est artificiel, mais cela ne crée pas de paradoxe).

[invite636fa06b]

Bonne journée,

Eh tu me pousses dans mes retranchements.
Je répondais au post initial qui évoque une relation d'équivalence, voire une égalité entre le tout et ses parties, de fait entre un ensemble et ses éléments. Oui, il existe de nombreux procédés pour construire une relation d'équivalence ou d'ordre mais certainement pas une égalité

[invite309928d4]

Bonjour,
merci pour vos remarques.
Après réflexion, j'ai l'impression que ceci se réduit à savoir si on peut déduire de l'appartenance à un ensemble une relation d'équivalence entre les éléments par rapport au fait d'être dans cet ensemble, ce que j'appelais "exprimer" le tout.

E = {x, y, z}
Chaque élément est en relation avec les autres par le fait d'être dans le même ensemble.

Symétrie : si xRy alors yRx
Transitivité : xRy, xRz, alors xRz
Réflexivité : xRx
Pas d'antisymétrie faible : xRy mais x différent de y

Par leur relation au tout : x <=> y <=> z

Note : le texte parlait d'antisymétrie et en fait antisymétrie forte semble être asymétrie, c'est-à-dire le contraire de symétrie.

Vous en pensez quoi ? Faux ? Complètement trivial ?

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Et pour donner une idée plus claire de l'origine de ma réflexion :
A la base, il s'agit de formaliser les relations entre 2 théories/points de vue décrivant un même objet.
Par exemple, en psychologie on fera des enquêtes à base de questionnaires comportementaux, de spécification des envies, idées etc.
En neurobiologie, on aura des systèmes neuronaux, des mesures biochimiques etc.
On aura la schizophrénie selon le psychologue (s1) et la schizophrénie selon le neurobiologiste (s2).
On pourrait dire que la schizophrénie du psychologue n'est pas celle du neurobiologiste et que la schizophrénie est l'union des deux.
S = {s1, s2}

Si on considère que s1 et s2 décrivent complètement la schizophrénie, si on postule que la représentation est équivalente à l'objet, on aurait une relation un peu paradoxale où S est identifié à s1 d'un côté et à s2 de l'autre, sans que pour autant s1 et s2 ne se confondent.
Ce serait quelque chose comme :
S <=> s1 <=> s2
et S = {s1, s2}

En français, la schizophrénie s'exprime, s'explique (<=>) complètement de manière psychologique, la schizophrénie s'exprime complètement neurobiologiquement et la schizophrénie est (=) psycho-biologique.

[Médiat]

Si on considère que s1 et s2 décrivent complètement la schizophrénie, si on postule que la représentation est équivalente à l'objet, on aurait une relation un peu paradoxale où S est identifié à s1 d'un côté et à s2 de l'autre, sans que pour autant s1 et s2 ne se confondent.

Cela ressemble fort à une projection (tu peux regarder en Géométrie, mais aussi dans les Catégories)

[invite4793db90]

Salut,

Bonjour,
merci pour vos remarques.
Après réflexion, j'ai l'impression que ceci se réduit à savoir si on peut déduire de l'appartenance à un ensemble une relation d'équivalence entre les éléments par rapport au fait d'être dans cet ensemble, ce que j'appelais "exprimer" le tout.

E = {x, y, z}
Chaque élément est en relation avec les autres par le fait d'être dans le même ensemble.

Symétrie : si xRy alors yRx
Transitivité : xRy, xRz, alors xRz
Réflexivité : xRx
Pas d'antisymétrie faible : xRy mais x différent de y

Par leur relation au tout : x <=> y <=> z

Note : le texte parlait d'antisymétrie et en fait antisymétrie forte semble être asymétrie, c'est-à-dire le contraire de symétrie.

Vous en pensez quoi ? Faux ? Complètement trivial ?

C'est en effet l'une des deux relations d'équivalence triviales : si tu regardes le quotient (les classes d'équivalence considéré comme éléments d'un nouvel ensemble), tu n'as qu'une seule classe, celle qui comporte tous les éléments. L'autre relation d'équivalence triviale est précisément l'égalité, où le quotient est le plus gros possible, équipotent à l'ensemble de départ lui-même.

N'oublions pas que l'objet des relations d'équivalence est d'identifier au sein d'un ensemble des éléments (par exemple pour les entiers, les pairs et les impairs).

Cordialement.