Conjecture de Baum Connes.

[Anonyme007]

Bonjour à tous,

Soit un groupe localement compact, de Hausdorff, et ''second countable''.
La conjecture de Baum Connes stipule que, le morphisme d'assemblage,

est en fait un isomorphisme.
Aujourd'hui, j'ai pu remarquer l'existence de quelques similarités entre ce morphisme d'assemblage, et le morphisme induit par le théorème de Riemann Roch Hizerbruch, qui est, l'isomorphisme,

Si, est l'espace classifiant pour les actions libres et propres, alors,
D'où le morphisme d'assemblage se met sous la forme, qui ressemble fortement au morphisme,


Les deux morphismes sont,
- des morphismes de cohomologies généralisées.
- des morphismes d'espaces classifiants.

Est ce une coïncidence ?

Si ce n'est pas une coïncidence, est ce que le morphisme d'assemblage qui est un indice de Fredholm, peut être vu comme une classe caractéristique ? Si oui, quelle est la nature de cette classe caractéristique ? Autrement dit, est ce c'est une classe de Chern, par exemple ?

C'est une très belle remarque qui peut aider à mieux comprendre cette conjecture.

Merci d'avance.
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[Anonyme007]

D'où le morphisme d'assemblage se met sous la forme, qui ressemble fortement au morphisme,

Bref, le morphisme d'assemblage inverse, est une généralisation du morphisme caractéristique, pour les - algèbres non commutatives, , avec, qui par définition est, est la K-homologie équivariante de l'espace classifiant les actions propres du groupe , généralisant la cohomologie singulière ( i.e, ordinaire ), .

Voilá. Il reste à l'établir.

[pachacamac]

La conjecture de Baum Connes c'est du beaucoup trop lourd pour moi.
Mais merci d'avoir signalé son existence qui je trouve être une sorte d'Everest de l’abstraction mathématique

[Anonyme007]

Bonjour,

Merci pour ta participation à cette discussion pachacamac.
En fait, je n'ai pas encore terminé mon introduction,

Bref, le morphisme d'assemblage inverse, est une généralisation du morphisme caractéristique, pour les - algèbres non commutatives, , avec, qui par définition est, est la K-homologie équivariante de l'espace classifiant les actions propres du groupe , généralisant la cohomologie singulière ( i.e, ordinaire ), .

Je stipule que, le morphisme d'assemblage inverse, est donc, une classe caractéristique. Je m'explique,
Pour, , il s'agit d'une classe de Chern, qui associe à tout polynôme symétrique en la courbure, , une classe de fibrés vectoriels, dans, .
Pour, le morphisme d'assemblage inverse, que je stipule être une classe de Chern généralisée, elle doit associer une généralisation de la notion de polynôme symétrique , à une généralisation de fibré vectoriel .
Dans un premier temps,
- Un candidat prévu pour une généralisation du polynôme est le symbole d'un opérateur pseudo-différentiel , mais, on peut voir que c'est un peu restrictif.
- Un candidat prévu pour une généralisation du fibré vectoriel est un fibré de Hilbert non commutatif, mais c'est restrictif aussi.
Le défi à soulever est de construire un morphisme d'assemblage inverse, qui associe à tout opérateur elliptique généralisé dans , un - module, , dans où, est un espace de Hilbert complexe séparable, et, est une représentation unitaire du groupe de sur , et est une représentation de la - algèbre sur , et , et, l'espace des opérateurs bornés sur .
Alors, on procède comme ce que Alain Connes a fait.
Il a réussi à établir que toute variété riemannienne est entièrement déterminée par un triplet spectral ( Voir ici, https://en.wikipedia.org/wiki/Spectral_triple )
Donc, dans un premier temps, pour essayer de comprendre la conjecture de Baum Connes, il faut essayer de faire comme Connes : Il faut montrer pourquoi un symbole d'un opérateur pseudo-différentiel est entièrement déterminé par un opérateur elliptique généralisé dans .

C'est le défi à relever pour essayer de se rapprocher d'une preuve définitive de la conjecture de Baum Connes.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Alkatbert]

Bonjour,

Merci pour ce partage très stimulant.

Ta remarque sur la similarité structurelle entre le morphisme d'assemblage de la conjecture de Baum-Connes et le morphisme issu du théorème de Riemann-Roch-Hirzebruch est tout sauf anodine. En effet, les deux constructions relèvent bien de l’univers des cohomologies généralisées, et plus spécifiquement du cadre des théories orientées (K-théorie pour Baum-Connes, K-théorie algébrique ou topologique pour Riemann-Roch), avec un passage par des espaces classifiants et une logique d’index théorique.

Ce n’est donc probablement pas une simple coïncidence. Il y a une analogie profonde entre :

le morphisme d'assemblage (Baum-Connes) vu comme un passage de la K-homologie équivariante vers la K-théorie d’un C*-algèbre croisé,

et le morphisme de Riemann-Roch, qui relie des classes de K-théorie à la cohomologie via des classes caractéristiques (Todd, Chern, etc.).

Concernant ta question sur la nature du morphisme d’assemblage en tant que classe caractéristique : il est en effet interprété comme un indice analytique (de Fredholm), et à ce titre, il est lié à des classes caractéristiques via le formalisme de l’indice d’Atiyah-Singer. Dans certaines formulations (notamment celle de Kasparov), l’indice peut être exprimé en termes de classes de Chern du fibré associé, intégrées sur une classe fondamentale, via un morphisme d’orientation.

Donc, oui : il y a une classe caractéristique en jeu, même si elle n’est pas directement une classe de Chern au sens classique. Ce serait plutôt une classe définie via la K-théorie équivariante, qui, après application du morphisme d’assemblage, donne accès à l’indice analytique. Dans le formalisme de Kasparov, on peut voir l’indice comme une sorte de "classe de Chern non commutative" si on ose ce raccourci (à manier avec précaution).

En résumé :

Non, ce n’est pas une coïncidence.

Oui, on peut y voir une structure similaire aux classes caractéristiques.

Et ce lien pourrait justement servir à éclairer davantage la nature géométrique profonde de la conjecture de Baum-Connes, au-delà de l'opérateur de Fredholm.

Belle intuition, à creuser encore !

Bien à toi,

[Anonyme007]

Bonsoir,

Merci pour tes encouragements Alkatbert, et désolé d'avoir mis un peu de temps avant de te répondre.
Je continuerais à développer plus d'idées sur ce sujet sur ce fil. Tu peux bien sûr y participer, et tes contributions sont d'une grande qualité.

Cordialement.

[Alkatbert]

Bonjour Anonyme007, avec Hodge c'est parmi les conjectures les plus difficiles, je vous donne quelques références quand je m'intéressais à ce problème :
- Yu (2000) : Coarse geometry et dimension asymptotique.
- Tu (1999) : Groupoïdes étales et moyennabilité.
- Higson–Pedersen–Roe (2000) : K-théorie contrôlée.
- Connes–Moscovici (1995) : Formule locale d’indice.
- Davis–Lück (1998) : Assemblage algébrique.
- Kasparov–Yu (2006) : Plongements grossiers et dimension asymptotique.

A l'époque j'étais buté à la conjecture sous jacente de Novikov et aux limites liées à la généralisation pour tout type de groupe.

Bonne chance dans votre exploration quant à moi, je reviens aux fondamentaux en prenant les mathématiques comme un tout car l'ultra spécialisation n'aide pas à la résolution des problèmes complexes quand on est juste théoricien des nombres, spécialiste en topologie etc. Je prône plutôt pour l'approche interdisciplinaire des mathématiques dans la résolution des problèmes et de conjectures.