Reconnaitre (facilement) si une configuration de composantes est celle d'un tenseur

[ThM55]

Comme vous m'avez fait douter un bref instant, j'ai été vérifier comment Yvonne Choquet-Bruhat fomule cela dans "General Relativity and the Einstein Equations", et elle utilise exactement le même argument que moi. Elle considère d'abord le commutateur de deux dérivées covariantes d'un vecteur v. Elle affirme qu'il dépend linéairement de v et non de ses dérivées (il faut le démontrer mais c'est très simple), donc qu'il existe des coefficients Rabcd qui multiplient le composantes de v. Elle dit ensuite que ces coefficients forment un tenseur (de Riemann) et une note de bas de page ajoute "because the left-hand side is a tensor and v is a vector".

A mon avis, on est tellement habitués à "savoir" que ces coefficients forment un tenseur qu'on ne voit plus l'obligation de le démontrer et Choquet-Bruhat a dû ajouter cette note de bas de page pour le justifier après relecture.
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[Amanuensis]

Ben non, il y a toujours quelque chose qui m'échappe.

On part de



qui est un opérateur linéaire à trois arguments (indices a, c et d), un tenseur de rang 3, par construction (additive), et on affirme l'existence d'un opérateur linéaire avec un quatrième argument (indice b) tel que l'application à ce quatrième(1) argument , avec X un élément d'un espace vectoriel (potentiellement quelconque, ici le tangent) donne comme résultat l'opérateur linéaire à trois arguments.

C'est une construction, l'existence n'a pas à être démontrée et la multilinéarité (en ses quatre arguments) me semble découler de la construction même, sans besoin de démonstration. (L'indépendance totale de l'argument ajouté par rapport aux trois autres est implicite.)

Où me gourre-je?

[Par contre l'interprétation de la construction demande développement...]

Note 1 : positionné en deuxième, par pure convention, l'ordre n'étant pas significatif du point de vue mathématique.

[Amanuensis]

Comme vous m'avez fait douter un bref instant, j'ai été vérifier comment Yvonne Choquet-Bruhat fomule cela dans "General Relativity and the Einstein Equations", et elle utilise exactement le même argument que moi. Elle considère d'abord le commutateur de deux dérivées covariantes d'un vecteur v. Elle affirme qu'il dépend linéairement de v et non de ses dérivées (il faut le démontrer mais c'est très simple), donc qu'il existe des coefficients Rabcd qui multiplient le composantes de v. Elle dit ensuite que ces coefficients forment un tenseur (de Riemann) et une note de bas de page ajoute "because the left-hand side is a tensor and v is a vector".

Certes. Mais le point saillant est l'interprétation de l'argument rajouté comme représentant une vitesse, alors que du point de vue mathématique cet argument rajouté peut être choisi quelconque. C'est bien un problème d'interprétation, pas de la "nature" tensorielle de l'expression.

A mon avis, on est tellement habitués à "savoir" que ces coefficients forment un tenseur qu'on ne voit plus l'obligation de le démontrer et Choquet-Bruhat a dû ajouter cette note de bas de page pour le justifier après relecture.

Je ne suis pas convaincu par cette explication de l'ajout de la note. Pour moi ce ne sont pas des "coefficients" (= composantes)... S'il y a une question sur la "nature tensorielle' (multilinéarité) elle porte sur la dérivée covariante (via la définition par l'idée de dérivée directionnelle).

[Amanuensis]

Au passage, si



est présenté comme un tenseur, c'est parce que



donc



est présenté comme un tenseur, et cela vient des propriétés de la dérivée covariante (sa linéarité en la direction, et que les deux espaces vectoriels sous-entendus sont identiques (à savoir le tangent, espace des directions) et donc peuvent être permutés).

===

Je n'ai toujours pas compris en quoi je me gourre. (L'argument présenté est juste un argument d'autorité, et ne porte pas sur la justesse ou non de mes affirmations.) Je persiste, cas si on montre où me gourre-je, j'aurais appris quelque chose, le seul but que je poursuis.)

[ThM55]

Au passage, si



est présenté comme un tenseur, c'est parce que



donc



est présenté comme un tenseur, et cela vient des propriétés de la dérivée covariante (sa linéarité en la direction, et que les deux espaces vectoriels sous-entendus sont identiques (à savoir le tangent, espace des directions) et donc peuvent être permutés).

===

Je n'ai toujours pas compris en quoi je me gourre. (L'argument présenté est juste un argument d'autorité, et ne porte pas sur la justesse ou non de mes affirmations.) Je persiste, cas si on montre où me gourre-je, j'aurais appris quelque chose, le seul but que je poursuis.)

Non, mon intention n'est pas de présenter un argument d'autorité. C'est seulement de trouver un moyen de m'extraire de cette discussion stérile et de ne plus devoir me répéter, ce que je trouve lassant, et aussi accessoirement m'éviter l'horrible corvée de taper du calcul tensoriel en Latex sur cet éditeur primitif.

[ThM55]

Petite remarque: contient des termes en dérivées premières et secondes de v, qui disparaissent du commutateur. Il y a donc linéarité pour l'addition et pour la multiplication par une constante mais pas pour la multiplication par une fonction. On ne peut donc pas l'écrire comme une simple contraction.

[Amanuensis]

Petite remarque: contient des termes en dérivées premières et secondes de v, qui disparaissent du commutateur. Il y a donc linéarité pour l'addition et pour la multiplication par une constante mais pas pour la multiplication par une fonction. On ne peut donc pas l'écrire comme une simple contraction.

Oui, j'en ai conscience. n'est pas un tenseur, mais un opérateur différentiel dont le résultat est un tenseur. L'application à X n'est pas une multiplication!

L'erreur que je fais est sûrement dans le fait que le X à gauche et le X à droite (dans l'expression de définition) représentent le même champ vectoriel, alors que ce que j'ai écrit consiste à prendre un Y à droite quelconque pour définir R et l'appliquer ensuite au cas particulier X. Ca doit changer quelque chose, mais je ne vois pas.

Non, mon intention n'est pas de présenter un argument d'autorité. C'est seulement de trouver un moyen de m'extraire de cette discussion stérile et de ne plus devoir me répéter, ce que je trouve lassant

Désolé. La sous-discussion sur le tenseur de Riemann n'est stérile pour moi seulement si cela n'aboutit pas à une compréhension pour moi. Très égoïste, j'en conviens.

Abandonnons la sous-discussion, donc.

Maintenant mon point principal n'est pas sur l'exemple de ce tenseur précisément, mais porte sur le sujet tel que posé. Ma compréhension est celle que j'ai indiquée; à savoir qu'un objet est "reconnu" comme un tenseur par sa propriété de multlinéarité, et que cela ne se lit pas sur les coordonnées. Je vois, mais je peux me tromper, dans la question et les réponses initiales, un parallèle avec le cas les vecteurs 'axiaux', mis sur un même plan avec des vecteurs de l'espace tangent sur la seule base des composantes, alors que la multilinéarité est celle d'un tenseur d'ordre 2, en jouant sur le fait qu'en dimension 3, les tenseurs d'ordre 2 antisymétriques (donc sur deux fois le même espace) sont définis par 3 composantes. Un "vecteur axial" n'est pas un tenseur, mais l'opération "produit vectoriel par un 'vecteur' axial" l'est. C'est l'usage de l'objet qui est pertinent, pas ses composantes.

Je ne sais pas si l'exemple des vecteurs axiaux, ou l'exemple du tenseur de Riemann d'ailleurs, illustre la problématique soulevée dans le message #1.