[Précision dans un énoncé] - Conditionnement d'une matrice

[nozno]

Bonjour à toutes et à tous,

Je travaille actuellement sur le théorème 3.18 du livre Analyse matricielle de Jean-Étienne Rombaldi (cf. capture jointe). Le théorème propose deux inégalités relatives à la stabilité de la solution d’un système linéaire sous perturbation du second membre (formule (3.5)), puis sous perturbation de la matrice (formule (3.6)).

Cependant, une formulation me semble problématique : l’énoncé de la deuxième inégalité (3.6) parle de comme de la solution du système perturbé , sans aucune hypothèse d’inversibilité de .

Cela me paraît incomplet, car rien ne garantit que la matrice perturbée reste inversible. En particulier, peut très bien sortir de si la perturbation est trop grande.

Je propose donc la reformulation suivante :

Sous les mêmes hypothèses que dans (3.6), il existe tel que si , alors et alors l’inégalité (3.6) est valable.

Cela repose sur le fait que est un ouvert de

Je serais curieux d’avoir votre avis sur ce point :
– Est-ce que vous partagez cette lecture ?
– Cette précision vous semble-t-elle nécessaire ou implicite dans ce type d’énoncé (niveau préparation agrégation)

Merci d’avance pour vos éclairages !

Guillaume
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[MissJenny]

(je note d au lieu de delta) : A+dA = (1+d)A et det(A+dA) = (1+d)^n det(A) donc si 1+d n'est pas nul, det(A+dA) n'est pas nul si det(A) ne l'est pas.

[nozno]

Merci pour votre réponse !

Mais je pense qu’il y a un malentendu sur la nature de la perturbation .

Dans votre message, vous supposez que , ce qui permet effectivement d’écrire , et donc de conclure que est inversible si et .

Cependant, dans le cadre du théorème de Rombaldi, est une perturbation de sans hypothèse de proportionnalité. On ne suppose pas qu’il existe un scalaire tel que .

Par conséquent, l’expression ne s’applique pas ici, et on ne peut pas en déduire l’inversibilité de sans précaution.

C’est justement pour cette raison que je proposais d’ajouter une hypothèse du type (pour un certain ) afin de rester dans , puisque cet ensemble est un ouvert de .

Qu'en pensez-vous ?

Cordialement,

Guillaume

[nozno]

(je note d au lieu de delta) : A+dA = (1+d)A et det(A+dA) = (1+d)^n det(A) donc si 1+d n'est pas nul, det(A+dA) n'est pas nul si det(A) ne l'est pas.

Pardon, j'avais oublié de vous citer !

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