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[Analyse] Suites



  1. #1
    Bekhbo

    [Analyse] Suites


    ------

    Bonjour à tous,

    J'ai un problème que j'ai essayé de résoudre par l'absurde...mais en vain.
    Pourriez-vous me donner une indication, une piste à suivre, svp?
    Voici le problème :

    Pour tout n€N*, on définit la fonction f_n : R ->R par :
    .

    1/ Montrer que pour tout n€N*, il existe un unique réel strictement positif tel que .
    2/ Montrer que la suite converge vers 0.

    Merci beaucoup !

    -----

  2. #2
    Gwyddon

    Re : [Analyse] Suites

    Pour la première question, c'est du cours de base (tu connais ton cours sur la continuité ?)

    Pour la seconde, essaye de montrer que la suite est décroissante. Etant minorée par zéro, tu pourras déjà en déduire qu'elle a une limite.
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  3. #3
    martini_bird

    Re : [Analyse] Suites

    Salut,

    se souvenir de la formule donnant la somme partielle d'une série géométrique peut aussi servir....

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  4. #4
    Bekhbo

    Re : [Analyse] Suites

    Pour la première question, c'est du cours de base (tu connais ton cours sur la continuité ?)
    On sait que la continuité d'une fonction monotone passant d'une valeur négative à une valeur positive a toujours une valeur alpha tq f(alpha)=0.
    On sait aussi que le polynome de degré n à une inconnue est algébriquement clos dans C.
    Mais on ne sait pas qu'il existe toujours des racines réelles.
    On sait aussi que si n=1, on a une racine x=1. Même avec une fonction f(x)=x²+x-1=0, il y a deux racines, une postive.
    Maintenant, pour n>3, montrer qu'il existe :
    1) Des racines réelles
    2) Une de ces racines est positive et une seule.

    Pour la deuxième question, j'y arriverais, il suffit de démontrer que et que 0<a_2<1.

    Merci d'avance.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    Gwyddon

    Re : [Analyse] Suites

    Là tu récites ton cours sans réfléchir à la situation, le fait que soit algébriquement clos on s'en tape le coquillage

    Par contre, réfléchis bien aux intervalles d'étude, et à l'éventuelle monotonie de la fonction étudiée.


    EDIT : ah oui pour faire joli, le théorème que tu utilises ici c'est le théorème des valeurs intermédiaires
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  7. #6
    Bekhbo

    Re : [Analyse] Suites

    Désolé, je ne vois pas du tout comment faire
    Et je ne vois pas à quoi me sert ce que vous dîtes.

    Pourriez-vous me donner une explication détaillée svp ?

  8. #7
    Coincoin

    Re : [Analyse] Suites

    Que vaut ta fonction en 0 ? En 1 ?
    Encore une victoire de Canard !

  9. #8
    Bekhbo

    Re : [Analyse] Suites

    f(o)=-1 et f(1) = n-1

    Et...?

  10. #9
    Gwyddon

    Re : [Analyse] Suites

    C'est quoi la valeur en 0 de fn ? C'est quoi sa limite en ? Ensuite comment se comporte-t'elle sur cet intervalle (croissante, décroissante, quelconque) ?
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  11. #10
    Gwyddon

    Re : [Analyse] Suites

    Citation Envoyé par Bekhbo Voir le message
    Et...?
    Et relis-bien ton cours, et relis bien la définition de l'énoncé. Si on te donne plus d'indice, on te donne la solution c'est inutile.
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  12. #11
    Coincoin

    Re : [Analyse] Suites

    Gwyddon, la monotonie, on s'en tape le coquillard. Tant que c'est continu, c'est bon.
    Encore une victoire de Canard !

  13. #12
    Gwyddon

    Re : [Analyse] Suites

    Non, la continuité assure l'existence, mais tu as besoin de la monotonie pour conclure quant à l'unicité. Contre-exemple : sur son intervalle de définition.
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  14. #13
    Coincoin

    Re : [Analyse] Suites

    Ok, t'as gagné, pas besoin de dégainer un contre-exemple, j'avais zappé le "unique".
    Encore une victoire de Canard !

  15. #14
    Bekhbo

    Re : [Analyse] Suites

    Dîtes-moi, f_n(1/n) est positive ou négative ?
    si f_n<0 , et f_n monotone, on aurait une deuxième racine positive dans l'intervalle [1/n ; 1]
    si f_n >0 , on aurait une racine positive dans l'intervalle [0 ; 1/n], avec f_n monotone.

  16. #15
    Gwyddon

    Re : [Analyse] Suites

    Citation Envoyé par Coincoin Voir le message
    Ok, t'as gagné, pas besoin de dégainer un contre-exemple, j'avais zappé le "unique".
    Désolé pour le contre-exemple, c'est le réflexe
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  17. #16
    Bekhbo

    Re : [Analyse] Suites

    Mmh, vous ne savez pas alors ?

  18. #17
    Gwyddon

    Re : [Analyse] Suites

    Pourquoi tu parles de deuxième racine positive dans le premier cas ? Il y a toujours une et une seule racine positive (et on attend toujours ta démonstration).

    En attendant, l'idée est bonne, car le deuxième cas est vrai à partir de (j'attend ta démo) et permet de trouver immédiatemment la limite demandée à la seconde question.
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  19. #18
    Bekhbo

    Re : [Analyse] Suites

    Pourquoi tu parles de deuxième racine positive dans le premier cas ?
    Parce que : "si f_n<0 , et f_n monotone"

    Mais, c'est moi qui attend la votre, je ne sais pas faire !!
    J'ai cherché en vain, et je suis venu ici car je ne sais pas comment faire. J'attend une explication détaillée, pour pouvoir comprendre, etc.

    Merci d'avance.

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