Question simple sur la convergence uniforme

[cheezburger]

Bonjour,

Soit A une partie d'un IK-evn E.

Est-on d'accord qu'une suite de fonctions qui converge simplement sur A, converge uniformément sur un nombre fini de points de A ?

Merci
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[gg0]

Bonjour.

Je serai d'accord si tu le prouve (application des définitions, ça prend trois lignes). A toi de faire ...

Cordialement.

NB : Ta preuve permettra d'être sûr de ce que tu veux dire.

[cheezburger]

Je veux dire qu'une suite de fonctions (f[n]) CVS vers f sur A ssi : ∀x∈A lim[n->+oo] f[n](x) = f(x)

c'est-à-dire : ∀x∈A ∀ε>0 ∃n0∈lN ∀n>n0 llf[n](x)-f(x)ll<ε.

Dans ce cas, en considérant l'ensemble fini B={a[1],...,a[N]} de N éléments de A, alors par CVS, pour tout k∈[l 1,N l] il existe un rang n[k] tel que ∀n>n[k] llf[n](a[k]) - f(a[k])ll<ε

En choisissant n[max]=max{n[1],...,n[N]} on a donc : ∀x∈B ∀n>n[max] llf[n](x) - f(x)ll < ε

c'est-à-dire : sup[x∈B](llf[n](x) - f(x)ll) < ε donc (f[n]) CVU sur B.

[gg0]

Voilà !

Et tu en sais plus que si je m'étais contenté de répondre "oui".

[A voir en vidéo sur Futura]

[cheezburger]

Merci à vous.