Processus stochastique.

[Anonyme007]

Bonjour à tous,

Comment montrer qu'une intégrale d'Itô, est une Martingale ? C'est à dire, vérifiant, ?
Que signifie l'écriture : ?

Merci d'avance.
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[MissJenny]

Fs est la tribu engendrée par les Mt pour t<=s

[Anonyme007]

Bonjour MIssJenny,

Fs est la tribu engendrée par les Mt pour t<=s

Je n'ai pas bien saisi tes instructions. On m'a dit qu'il faut vérifier que est un martingale, en le montrant d'abord, pour un processus prévisible simple, ensuite, pour un processus prévisible général, par approximation par des processus prévisibles simples.

Comment le faire ? Et pourquoi il faut se contenter pour prévisible simple, et pour prévisible général ?

Merci d'avance.

[Anonyme007]

Bonsoir,

Soit un espace probabilisé filtré satisfaisant les conditions usuelles, et soit un mouvement Brownien standard adapté à la filtration .
Supposons que est un processus prévisible ( resp. progressivement mesurable ) tel que pour un , .
Alors, l'intégrale d’Itô est bien défini pour et, .

- Montrons que est une Martingale, lorsque est un processus prévisible simple,
Soit un processus prévisible simple de la forme, , où, , et chaque est - mesurable, et .
D'où, .

Pour, , on a la décomposition suivante : . Et donc,



En revanche, , car, est indépendant de , parce que, chaque incrémentation est définie sur .
Par conséquent, .

Et donc, puisque, , alors,

.

On a, , car, est - mesurable.
D'oû, est une Martingale, pour un processus prévisible simple.

Est ce que c'est correct jusque là ?
Si oui, comment établir que est une Martingale pour un processus prévisible général ?

Merci d'avance.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Anonyme007]

- Montrons maintenant que est une Martingale, lorsque est un processus prévisible général,
Soit un processus prévisible général avec, .
Il existe alors une suite de processus prévisibles simples telle que,.
Par l'isométrie de Itô, on a,
, où, .

Par conséquent, dans , et à fortiori dans .
On sait à priori que est une Martingale.

Montrons par passage à la limite à l'infini que, est une Martingale,
Soit , et soit ,
Pour tout , , pour tout , par définition de la notion de Martingale.
Puisque, dans , et dans , alors, par passage à la limite lorsque tend vers , on a, , pour tout , parce que, l'application linéaire, est continue sur .
Et le fait que, , pour tout signifie d'après le cours, que, .
Par conséquent, est une Martingale pour un processus prévisible général.
Et donc, est une Martingale.

Est ce que c'est correct tout ce raisonnement depuis le début ?

Merci infiniment pour vos retours.