Théorème des résidus.

[Anonyme007]

Bonsoir,

Je révise mon cours d'analyse complexe. En particulier, la partie : Calcul d'une intégrale réelle à l'aide du théorème des résidus. Je voudrais devenir un peu familier avec l'utilisation du lemme de Jordan dans ce genre de calcul appliquant le théorème des résidus.
Est ce que vous pouvez me dire, comment calculer, , , en précisant quant intervient-t-il le lemme de Jordan dans ce calcul, et comment soigneusement l'utiliser ?

Merci d'avance.
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[MissJenny]

si je me souviens bien, il y a un point auquel il faut faire attention : quand on complète le contour par un demi-cercle, on a le choix entre le faire "par le haut" ou "par le bas" (Imz >0 ou <0), selon où se trouvent les singularités, et il ne faut pas oublier que si on passe par le bas, il y a un changement de signe, car le contour est alors orienté dans le sens opposé au sens trigonométrique.

[Black Jack 2]

Bonjour,

Cela fait longtemps … j'essaie.

Poser cos(x) = Réel(e^(ix))

intégrée sur un contour fermé constitué de l'axe des réels et d'un demi cercle dans le plan supérieur.

Pôles:
Les singularités sont les solutions de z² + a² = 0, soit donc z = i.a et z = -i.a
Seul z = i.a se trouve dans le contour (1/2 plan supérieur)

Calcul du résidu:
z = i.a est un pôle simple et donc le résidu :





Lorsque :
L'intégrale sur le 1/2 cercle tend vers 0 (par le Lemme de Jordan qui garantit que l'intégrale sur l'arc de cercle tend vers 0 lorsque le rayon tend vers l'infini).

Il ne reste que l'intégrale sur l'axe réel :



et en ne prenant que la partie réelle :
(Avec a > 0)

Méfiance, voir si pas trop d'erreurs.

Cela pourra peut être aider un plus habitué que moi (ou qui a moins oublié) à donner des compléments d'info.

[jacknicklaus]

Bonjour,
Il ne reste que l'intégrale sur l'axe réel :



et en ne prenant que la partie réelle :
(Avec a > 0)

Bonjour,

il est tout à fait exact que


mais , en conséquence

[A voir en vidéo sur Futura]

[Anonyme007]

Merci pour vos réponses Black Jack 2, jacknicklauss, et MissJenny.
Est ce que vous pouvez m'expliquer, pourquoi vous faites ce changement d'expression : dès les début ?
Et comment vous revenez à l'expression à partir de . Je n'arrive pas à comprendre ce passage malgré les explications de jacknicklauss.

Merci d'avance.

[jacknicklaus]

Et comment vous revenez à l'expression à partir de .

Très simplement: exp(ix) = cos(x) + i.sin(x)
formule d'Euler.

[Anonyme007]

Très simplement: exp(ix) = cos(x) + i.sin(x)
formule d'Euler.

Pour écrire les choses plus doucement, , d'accord, je comprends ça. Mais pourquoi, ?

[GBZM]

Bonsoir,
Parce que, si et sont des fonctions réelles, (linéarité de l'intégrale).

Ceci montre que jacknicklaus se trompe : la partie réelle de , c'est bien et pas

[Anonyme007]

Bonsoir,
Parce que, si et sont des fonctions réelles, (linéarité de l'intégrale).

Ceci montre que jacknicklaus se trompe : la partie réelle de , c'est bien et pas

Merci pour ta réponse. Mais, ce que je n'arrive pas à comprendre, est que, Black Jack 2, au début du fil, trouve que, . Je suis d'accord jusque là.
Puisque, , je n'arrive pas à conclure. Il faut trouver combien vaut aussi pour conclure, non ?

[GBZM]

Déjà tu t'es trompé en recopiant la réponse. Ensuite, réfléchis un peu : c'est quoi, la partie réelle d'un réel ?

[Anonyme007]

D'accord GBZM. Merci.



Car, .
Et donc, , et, .
Est ce que c'est ça ?
Merci d'avance.

[Black Jack 2]

D'accord GBZM. Merci.



Car, .
Et donc, , et, .
Est ce que c'est ça ?
Merci d'avance.

Bonjour,

Oui, c'est cela.
2 nombres complexes sont égaux ssi leurs parties réelles sont égales et leurs parties imaginaires sont égales.