Dualité de Poincaré.

[Anonyme007]

Bonjour à tous,

Sur le lien suivant, https://math.mit.edu/~robinz/files/PoincareDuality.pdf , l'auteur nous fournit une preuve complète, très détaillée, et élégante, du théorème de dualité de Poincaré, qui est une notion d'une grande utilité en topologie algébrique, et en géométrie algébrique, en utilisant juste une version élémentaire parmi une panoplie d'autres preuves qui existent dans la littérature, basée sur le recollement local de cartes ( i.e, pièces ) d'une variété topologique.

Néanmoins, cette version de preuve de m'intéresse pas en réalité, vue que j'en cherche une autre plus algébrique que topologique, utilisable en théorie des opérateurs, en K-théorie, et en tout le bagage utilisé en conjecture de Baum Connes. Sur le lien suivant, https://mathoverflow.net/questions/4...%C3%A9-duality , j'apprends qu'il existe une version algébrique à cette preuve du théorème de dualité de Poincaré en utilisant des notions algébriques comme l'isomorphisme de Thom, et classe de Thom. C'est exactement ce genre de preuve que j'ai besoin, car il est utilisé en langage de conjecture de Baum Connes. Est ce que vous pouvez m'indiquer où je peux trouver cette preuve dans la littérature sur le net ? Je m'adresse principalement à @Alkatbert s'il est toujours en visite régulière à ce site, ou à toute autre personne qui s'y connait bien dans ce domaine.

Merci d'avance.
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[Dockshifter80]

Hello!

Je ne connais malhereusement pas ce qui est mentionné sur ton lien mathoverflow, et concernant ta recherche de resources concernant l'isomorphisme/classe de Thom, je te conseillerai de contacter directement le compte mathoverflow qui l'a mentionné.

Je peux cependant te donner une autre piste concernant une approche algébrique/catégorique de la dualité de Poincaré: la dualité de Verdier.
La philosophie derrière la dualité de Verdier est l'étude de la catégorie dérivée:
- Si l'on veut comprendre les invariants (ou, pour être plus précise, l'homologie/cohomologie) d'un espace X, une catégorie très intéressante à étudier est la catégorie dérivée D^b(X), qu'on peut +- considérer comme la "catégorie des invariants de X" (pour être + précise, l'essentiel des invariants de X peuvent être formalisés comme des cas particuliers de "cohomologie de faisceaux". Or, les faisceaux sont des objects de D^b(X) et leur cohomologie corresponds à certains ensemble de morphismes dans D^b(X), donc on peut considérer en ce sens que D^b(X) "encode" dans le langage des catégories les invariants de X, je sais pas si mes explications font sens?)
- En parficulier, toute symmétrie de D^b(X) va donner une symmétrie entre les invariants de X, et tout un domaine de recherche (qui est de ce que j'ai compris très lié à la K-theory) consiste en essayer de décrire les symmétries entre des invariants comme un "cas particulier" de symmétries de la catégorie dérivée.
- Dans le cas qui peut t'intéresser, la dualité de Pointcarré est une symmétrie entre les invatriants de X que sont l'homologie singulière et la cohomologie singulière. Dans ce cas, il a été prouvé cette dualité était bien un cas particulier d'une symmétrie de D^b(X) (pour utiliser les termes techniques, je veux dire qu'on a une autoéquivalence de catégories qui satisfait ), appellée dualité de Verdier.

Une manière algébrique de montrer la dualité de Pointcarré est donc de
- Montrer la dualité de Verdier
- Montrer qu'un corollaire de cette dualité de Verdier est la dualité de Pointcarré.

Il s'agit d'une approche vraiment pas évidente (ce n'est pas une preuve simple du tout) mais c'est l'approche utilisée en géométrie algébrique non commutative (son itérêt est que la dualité de Verdier est + générale que celle de Pointcarré, que ce soit parce qu'elle "voir" des symmétries entre d'autres invariants que juste (co)homologie singulière, et qu'on peut aussi l'appliquer à des espaces ayant des singularités, donc pas forcément lisses), qui, de ce que j'ai compris est très liée à la K-theory.
Je ne sais par contre pas du tout si cette approche est applicable dans le contexte des C*-algebras donc ça ne va peut-être pas t'aider, mais j'espère quand même que mes explications étaient suffisamment claires et que ma réponse t'a quand même t'être utile.
En te souhaitant en tout cas le meilleur pour ta recherche/pour tes études.

[Anonyme007]

Bonjour,

Merci pour toutes ces précisions.
Ce que tu m'expliques ici m'ouvre l'appétit à retourner à mes anciens cours portant sur la théorie des dérivateurs de Grothendieck. Cela remonte à très longtemps que j'ai appris ces cours là sur des supports électroniques éparpillés un peu partout dans tous les coins du net.
Quant tu notes, , le foncteur sous entends être un dérivateur. Non ? Est ce que tous les dérivateurs vérifient ?
Quelle est la différence entre un foncteur dérivé comme , et un dérivateur , comme celui défini par, ?
Ici, https://en.wikipedia.org/wiki/Verdier_duality , je découvre la dualité de Verdier, ainsi que son lien étroit avec la dualité de Poincaré. Je comprends la démonstration. Je connaissais avant cette notion de manière superficielle, mais sans imaginer son interprétation dans le langage des dérivateurs.
Je te précise que je suis ni chercheur, ni étudiant. Je suis un simple passionné de mathématiques qui a quitté ses études depuis longtemps. Et mes domaines de prédilection sont la conjecture de Hodge, la conjecture de Baum Connes, la conjecture de Birch Swinnerton Dyer, et la conjecture de Navier stokes.

Cordialement.

[Dockshifter80]

Bonjour,

Que je sache la dualité de Verdier n'est pas directement liée à la théorie des dérivateurs non ! Ici je pense que le utilise la lettre "d" car c'est un foncteur de dualité. Il est défini comme , où est un complexe appelé "dualizing complex" (qui est "défini par" la dualité de Verdier).

Je pense que tu sais ce que c'est mais au cas où: foncteur dérivé à droite "R" est une construction qui permet d'avoir de la (co)homologie et qui apparait très naturellement dans la définition de catégorie dérivée, si ces deux notions (catégorie dérivée, foncteur dérivé) ne sont pas tout à fait claires pour toi je te conseillerai de commencer par essayer de les comprendre (car sinon il ne te sera malheureusement pas possible de comprendre dans les détails la dualité de Verdier). Tu peux trouver + d'informations là dessus dans des livres d'algébre homologque, par exemple "An Introduction to Homological Algebra" de "Charles A. Weibel" (parmis d'autres)

Bien à toi,

[A voir en vidéo sur Futura]

[Anonyme007]

D'accord. Merci beaucoup.

[pachacamac]

Les élèves de Grothendieck sont de retour